книги / Основы радиоэлектроники

при Aw>0 Д/<0 и /?ДИф<0, т. е. тун­ нельный диод при некоторых напряже­ ниях смещения обладает отрицатель­ ным дифференциальным сопротивле­ нием. Лд„ф позволяет описать мощность малых сигналов Рс. Пусть

нелинейный элемент является потребителем энергии слабых сиг­ налов, преобразующим эту энергию в тепловую. При ЛДИф<0 мощность Рс отрицательна, а это означает, что нелинейный элемент является источником энергии для слабых сигналов и мо­ жет быть использован в активных цепях усилителей и гене­ раторов.

Если на нелинейный элемент действует постоянное напряже­

можно представить в виде ряда Фурье:

00

i(U0 + Ul cos<at)= £ /mJkcos (/rcoz + cp*).

к =о

Отношение амплитуды напряжения к амплитуде первой гармо­ ники тока определяет сопротивление нелинейного элемента по первой гармонике

R^Uo, f/1) = t/1//ml.

Это сопротивление зависит от напряжения смещения U0 и от амплитуды колебаний U^. Сопротивление нелинейного элемента по первой гармонике позволяет описать мощность сильных коле­ баний на этом элементе:

и рассчитываемой нелинейной дифференциальной емкостью, за­ висящей от напряжения: C(u) = dQldu. Ниже (в главе 3) будет показано, что такая емкость имеется в диодах с р-п переходом. Наиболее часто эта емкость определяется одной из двух формул:

где С0— емкость при м = 0, <р* — контактная разность потенци­ алов р-п перехода (<р*жО,5 В).

Нелинейная катушка индуктивности характеризуется легко измеряемой и рассчитываемой нелинейной дифференциальной индуктивностью, зависящей от тока:

V' d i

В качестве нелинейных катушек индуктивностей в радиоэлектро­ нике используются катушки с ферритовыми сердечниками, диф­ ференциальная индуктивность которых зависит от постоянного тока подмагничивания, протекающего через катушку.

§ 2.3. Комплексный метод исследования линейных цепей. Собственные и вынужденные колебания в линейных цепях

Широкое распространение в радиоэлектронике получили ли­ нейные цепи. Они часто используются для неискаженной переда­ чи и фильтрации сигналов, т. е. для выделения и передачи без искажений сигналов и подавления ненужных сигналов и помех.

Линейные цепи с сосредоточенными параметрами описыва­ ются обыкновенными дифференциальными уравнениями, кото­ рые составляются с помощью первого и второго законов Кир­ хгофа. Для цепи рис. 2.5, используя второй закон Кирхгофа, можно записать:

uL + uc + uR = e(t),

где

Отсюда следует интегродифференциальное уравнение:

| idt

О_

L 7,+ iR + °— =<’(>)-

С

Продифференцировав его один раз, получим обыкновенное диф­ ференциальное уравнение второго порядка:

Когда на систему не действует внешняя ЭДС, т. е. когда е = 0, колебания в системе представляют собой собственные колебания. Поскольку в систему извне энергия не поступает, будем искать собственные колебания в системе в виде гармонических колеба­

ний с частотой со, амплитуда которых изменяется по экспоненци­ альному закону:

'собст(0 = Ime al cos (©t + <p).

Мощным способом исследования линейных цепей является ком­ плексный метод. Представим искомое решение i{t) в комплекс­ ном виде:

1с0бСА 1)= 1теа,е ^ ,+^ = 1те (а+^ ,= 1те р',

где /т = /т /-,ф — комплексная амплитуда,

p = <x+ja>.

Действительная часть /со6ст (t) описывает^ мгновенное значение собственных колебаний тока ico6„ (t) Reico6cr(t) = ico6ci(t). Под­ ставляя /СОбст (0 в уравнение (2.1) при е = 0, имеем:

p 2Llme pt+pRime p,+ ± ime pt= 0.

Сокращая на Ime pt, получаем характеристическое уравнение:

(рис. 2.10). Если же в цепи имеется прибор с дифференциальным отрицательным сопротивлением (R = Rauф<0) и а> 0, при малых /(/) колебания тока не затухают, а нарастают (рис. 2.11). Это имеет место при возбуждении колебаний в генераторах.

Далее будем рассматривать только пассивную цепь (R>0). Из общей теории обыкновенных линейных дифференциальных урав­ нений следует, что при воздействии внешней силы e(t) в системе

где Z=j(oL+R-\---- -— j(t>C

комплексное сопротивле­ ние (импеданс) цепи из по­ следовательно включенных элементов с параметрами

R, L, С, Y = ^ — комплекс­

ная проводимость, обрат­ ная комплексному сопро­ тивлению (импедансу) Z;

Д пропорциональна комплексной амплитуде внешней силы Ёти зависит от частоты этой силы со. При одной и той же Ётна некоторых частотах, там, где |Z| — велико, амплитуда отклика

будет мала, а на частоте со = со0= —F= максимальна (рис. 2.12).

■JLC

Отсюда следует, что рассматриваемая линейная цепь обладает фильтрующими свойствами: она дает ярко выраженный отклик на некоторых частотах вблизи со0 и практически не откликается на внешние воздействия на других частотах.

§2.4. Спектры вынужденных колебаний в линейных

инелинейных цепях. Принцип суперпозиции

Врассмотренном выше примере— линейной цепи с постоян­ ными параметрами удалось найти отклик — вынужденное колеба­ ние с той же частотой. Такие же результаты получаются в любых линейных цепях с постоянными параметрами — как в сосредото­ ченных, так и в распределённых— линейная цепь с постоянными параметрами не приводит к появлению спектральных составляю­ щих отклика на частотах, отличных от частоты внешней силы.

Влинейной цепи с переменными параметрами в отклике появля­

ются спектральные составляющие, которых не было в спектре внешнего воздействия. Для доказательства рассмотрим диффе­ ренциальную проводимость, которая периодически меняется во времени G(t) = G0 + Gi cosoj t. При воздействии малого гармони­ ческого напряжения Au(t)= Umcosco21получаем ток

А/(t) = G(t) AM(/) = G0Umcos co21+ c o s ((ot —co2) t +

cos((o1-t-to2) t,

т. e. отклик (ток) содержит не одну, а три спектральных со­ ставляющих. Это свойство цепей с переменными параметрами

ствия. Этот принцип играет важную роль: он позволяет при прохождении сложных многочастотных сигналов через линейные цепи анализировать комплексным методом прохождение через них отдельных спектральных составляющих сигналов, а затем складывать результаты (отклики). Таким образом, анализ про­ хождения сигналов через линейные цепи резко упрощается.

Принцип суперпозиции выполняется и для линейной цепи с переменными параметрами. Для доказательства рассмотрим цепь, содержащую дифференциальную проводимость (7(f), меняющуюся во времени, на которую сначала действует на­

i=G(t)-u = G(t)-ui + G(t)u2 = ii + i2 равный сумме токов (откли­ ков) на отдельные воздействия (напряжения).

Однако принцип суперпозиции не выполняется для нелиней­ ных цепей. Чтобы доказать это, рассмотрим цепь с нелинейным элементом, ВАХ которого имеет вид i=au+bu2. При воздей­ ствии напряжения их получаем ток il =aul +bu12, при воздей­ ствии напряжения и2 имеем i2 = au2 + bu22, а при воздействии суммы напряжений находим:

/ = а («! + и2)+ b(ui + и2)2= аи1+ аи2 + Ьих2-\-Ьи2 + 2 Ьи^ •и2=

= /'i + i2 + 2buiu2.

Откуда следует, что отклик (ток) цепи на сумму воздействий (напряжений) не равен сумме откликов на отдельные воздей­ ствия. Невыполнение принципа суперпозиции осложняет анализ процессов в нелинейных цепях.

§ 2.5. Линейные двухполюсники и четырехполюсники

Широкое распространение в радиоэлектронике получили ли­ нейные двухполюсники и четырехполюсники. Двухполюсником называется устройство, содержащее любое число элементов и имеющее два зажима. Двухполюсник называется линейным, если он содержит только линейные элементы. Пример такого двухполюсника приведен на рис. 2.13. К зажимам АВ можно приложить любое напряжение u(t), тогда через зажимы А и В бу­ дет протекать один и тот же ток /(/), что можно доказать, используя первый закон Кирхгофа для узлов 1, 2, 3, 4. Действи­ тельно г = г\ + i2 = /3 = ;4+ ;5 = /6. При гармоническрм напряжении и= Ui cos (со t + <рн) с комплексной амплитудой C/1 = (/1eJ<pH вы­ нужденные колебания — ток в этой линейной системе также будет гармонической функцией i= Ixcos(co/ + <Pi) с комплексной ампли­ тудой /, = / t ej4>l.

Ф (со)= фвых(со)—ф„х(ю) называется фазо-частотной характеристи­ кой (ФЧХ). Эта величина показывает, как изменяется начальная фаза колебаний на выходе четырехполюсника по отношению в начальной фазе входного колебания при изменении частоты входного воздействия.

С учетом принципа суперпозиции значение комплексного ко­ эффициента передачи или АЧХ и ФЧХ позволяет полностью описать выходное напряжение uBtlx(t), если известно входное

В качестве примера рассмотрим коэффициент передачи линей­ ного четырехполюсника, изображенного на рис. 2.16. Под дей­ ствием мВх(0= UBXcos(ot протекает ток / с комплексной амплиту-

АЧХ в данном случае описывается формулой:

1

|X(CD)| =

у / 1 +(02R 2C 2

а ФЧХ имеет вид:

<р (ю) = —arc tg со CR.

АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 2.17.

Рассмотрим условия неискаженной передачи сигналов. Будем считать сигнал на выходе четырехполюсника неискаженным, если выходной сигнал £/вых (t): 1) имеет ту же форму; 2) отличается от

Рис. 2.17

входного в К раз по величине и 3) запаздывает относительно входного на любое вр>емя t0 (рис. 2.18)

Пусть для простоты входной сигнал uBX(t) представляется в виде конечного числа составляющих. Подставим (2.2) в (2.3), получим ряд гармонических составляющих:

(2 5)

+ Фвх.--<Мо)-

Сравнивая (2.3) и (2.5), легко увидеть, что для неискаженной передачи сигналов требуется (АГ(со)| = АГ; ср(со)= —со/0 или, объеди­ няя предыдущие условия:

K = K e~Jm%

т. е. АЧХ не должно зависеть от частоты, ФЧХ-линейно меняется

с частотой (см. рис. 2.19), а время запаздывания t0 = —^ опреде-

асо

ляется производной ФЧХ по частоте. Реальные сигналы имеют

\К\