книги / Системы управления исполнительными механизмами
..pdfзователи), преобразователи координат, регуляторы, корректирующие динамические звенья, в том числе фильтры.
4.1. Исполнительные механизмы
Собственно ИМ, будучи механическими устройствами, осуществляющими передачу момента или усилия с привода ИМ на РО, могут быть в большинстве случаев представлены простейшей одномассовой механической схемой замещения. Лишь в случае наличия явных упругодиссипативных связей, зазоров, люфтов механические схемы замещения представляют двухили трехмассовой схемой [17–20]. Схема замещения одномассового ИМ с одноступенчатым редуктором приведена на рис. 4.1.
Мс
Jпр
Мω φ
Рис. 4.1. Механическая схема замещения одномассового ИМ
На рис. 4.1 введены следующие обозначения:
Jпр – приведенный к валу электродвигателя моментинерции ИМ,
J |
пр |
J |
д |
|
Jим |
, |
(4.1) |
|
|||||||
|
|
|
Kр2ед |
|
где Jд – момент инерции ротора электродвигателя и ведущей шестерни; Jим – момент инерции исполнительного механизма с ведомой шестерней и РО; Kред – коэффициент передачи редуктора; М, Мс – соответственно вращающий момент и момент сопротивления на валу электродвигателя; ω, φ – соответственно угловая скорость и угловое положение вала электродвигателя.
91
Уравнения движения ИМ в соответствии со вторым законом
Ньютона для вращательного |
движения и |
схемой замещения |
|
(см. рис. 4.1) имеют вид |
|
|
|
d |
1 |
M Mc , |
(4.2) |
|
|||
dt |
Jпр |
|
|
d |
Kред , |
(4.3) |
|
dt |
|
|
|
где ε – угловое ускорение электродвигателя.
В электрических исполнительных механизмах (ЭИМ) пе-
редача механической энергии с вала электродвигателя на РО осуществляется, как правило, с помощью понижающего редуктора, содержащего одну или более кинематических пар.
Электрические исполнительные механизмы постоянной ско-
рости поворотного и вращательного движения типов МЭО и МЭМ содержат в общем случае цилиндрические, конические, червячные и планетарные передачи. Механизмы прямоходные типа МЭП содержат дополнительно выходную кинематическую пару типа «винт – гайка». Сочленение выходного элемента ИМ, передающего перестановочное усилие или вращающий момент регулирующему органу (кулачка, рычага, фланца, штока и т.п.), осуществляется различными способами, но такими, которые не допускают чрезмерных зазоров и люфтов.
В любом случае математическую модель собственно механической части ИМ постоянной скорости можно представить интегрирующим звеном:
W р |
Y p |
|
Kред |
, |
(4.4) |
|
X p |
р |
|||||
им |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
где Х(р) – скорость вращения вала электродвигателя ИМ ω(р), рад/с; Y(p) – угловое (рад) перемещение φим(р) или линейное (м) перемещение Sим регулирующего органа ИМ; Kред – коэффициент
92
передачи редуктора, имеющий размерность «с» для поворотных и многооборотных ИМ, «м·с/рад» – для прямоходных ИМ.
Математические модели исполнительных механизмов пере-
менной скорости описываются теми же уравнениями (4.1)–(4.4), однако в отличие от механизмов постоянной скорости (ω ≈ ωн = const) скорость электродвигателя может изменяться с помощью управляемых силовых преобразователей энергии в широком диапазоне (ω = var). Поскольку в таких механизмах выходной координатой обычно является скорость электродвигателя или исполнительного механизма или какая-либо технологическая координата, из модели ИМ исключают уравнения (4.3), (4.4). В этом случае передаточная функция ИМ имеет вид
W |
р |
Y p |
K |
|
, |
X p |
|
||||
им |
|
|
ред |
|
где X(p) – скорость вращения вала электродвигателя ИМ ω(p), рад/с; Y(p) – угловая ωим(p) или линейная vим(p) скорость движения рабочего органа ИМ (соответственно рад/с или м); Kред – коэффициент передачи редуктора, имеющий размерность «м/рад» для ИМ с линейным движением РО, безразмерный – для ИМ с вращательным движением РО.
Пневматические исполнительные механизмы (ПИМ), как уже отмечалось в подразд. 1.3, описываются пропорциональным законом движения рабочих органов, т.е. могут быть представлены передаточной функцией
W |
р |
Y p |
K |
|
, |
(4.5) |
X p |
|
|||||
им |
|
|
им |
|
|
где X(p) – давление сжатого воздуха в надмембранной полости МПИМ или в надпоршневой полости цилиндра ППИМ, Па; Y(p) – линейное (м) или угловое (рад) перемещение РО ИМ; Kим – коэффициент передачи ИМ, имеющий размерность «м/Па» для прямоходных РО и «рад/Па» для поворотных РО.
93
Математическая модель электропневматического ИМ (ЭПИМ) может быть представлена также безынерционным пропорциональным звеном с передаточной функцией (4.5), однако входным воздействием Х(р) будет ток управления (обычно в пределах 4–20 мА).
Гидравлические исполнительные механизмы (ГИМ), как уже отмечалось в подразд. 1.4, описываются интегральным зако-
ном движения рабочих органов, т.е. могут быть представлены передаточной функцией
W р |
Y p |
|
Kим , |
|
X p |
||||
им |
|
р |
||
|
|
|
где Х(р) – разность значений давления рабочей жидкости в полостях гидроцилиндра ГИМ, Па; Y(p) – линейное (м) или угловое (рад) перемещение РО ИМ; Kим – коэффициент передачи ИМ, имеющий размерность «м/Па·с» для прямоходных РО и «рад/Па·с» для поворотных РО.
Математическая модель электрогидравлического ИМ (ЭГИМ) может быть представлена безынерционным пропорциональным звеном с передаточной функцией (4.5), где входным воздействием Х(р) является ток управления (обычно в пределах 4–20 мА).
4.2. Приводы
Поскольку в математических моделях ПИМ и ГИМ как объектов управления учтено действие соответственно пневмо- и гидроприводов (см. главу 1), в дальнейшем рассматриваются только принципы работы и ММ электроприводов (электрических машин) для ЭИМ с постоянной и переменной скоростью.
К приводам ЭИМ относятся следующие типы двигателей:
–коллекторные двигатели постоянного тока (ДПТ);
–бесколлекторные двигатели постоянного тока (БДПТ);
–асинхронные трехфазные и однофазные (АД);
–синхронные трехфазные и однофазные (СД);
–шаговые (ШД).
94
Коллекторные двигатели постоянного тока. К коллектор-
ным двигателям постоянного тока или просто двигателям постоянного тока (ДПТ) относятся электрические машины, преобразующие электрическую энергию питающей сети переменного или постоянного тока в механическую энергию движения рабочих органов (РО) исполнительных механизмов (ИМ).
В системах автоматизации большинства технологических процессов и установок на основе ДПТ для регулирования координат и параметров технологического процесса применяются силовые преобразователи энергии (СПЭ) различного типа в зависимости от требований к электроприводу и его роли в АСУТП.
Ниже приведены математические модели коллекторных ДПТ в различных общепринятых в теории управления формах [13–17].
Электродвигатели постоянного тока (ДПТ) представляют собой объекты управления, регулируемые в общем случае по цепям якоря и возбуждения [11,12]. Применяются для регулирования скорости и положения рабочих органов как общепромышленных, так и специальных механизмов. Являются приводами ЭИМ с переменной скоростью. Функциональная схема электродвигателя приведена на рис. 4.2, а, а схемы замещения – на рис. 4.2, б, в, г.
Применяя декомпозицию ДПТ, нетрудно заметить, что в его структуре имеется три основных подсистемы или цепи:
–цепь якоря, питаемая регулируемым напряжением Uя; Rэ, Lэ – соответственно эквивалентное активное сопротивление и эквивалентная индуктивность якорной обмотки; Eд – ЭДС электродвигателя; iя – ток якоря;
–цепь возбуждения, питаемая регулируемым напряжением Uв; Rв, Lв – соответственно эквивалентное активное сопротивление
иэквивалентная индуктивность обмотки возбуждения; iв – ток возбуждения;
–электромеханическая цепь, обеспечивающая преобразование электромагнитной энергии в энергию вращения вала ротора;
Jд – момент инерции ротора электродвигателя; M, Mc – соответственно вращающий момент на валу электродвигателя и момент сопротивления на его валу; ω – скорость вращения вала двигателя.
95
Рис. 4.2. Функциональная схема (а) и схемы замещения (б, в, г) электродвигателя постоянного тока
Приведем описание ДПТ в различных формах, что позволит при необходимости легко установить взаимосвязь математических моделей.
Для описания динамических моделей электрических цепей электродвигателя (см. рис. 4.2) воспользуемся законами Кирхгофа, а для описания механической цепи – вторым законом Ньютона. Тогда получим систему дифференциальных уравнений:
diя |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dt |
|
|
|
|
|
|
Uя Ед |
iя , |
|
|
|||||
T |
R |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
э |
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
diв |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
i |
|
|
|
|
||
|
|
|
U |
|
, |
|
, |
(4.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
в |
|
|||||||||
dt |
|
T |
R |
|
|
в |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
в |
в |
|
|
|
|
|
|
||||
d |
|
|
1 |
М Мс , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Jд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96
где Тэ, Тв – электромагнитные постоянные времени соответственно
обмотки якоря и обмотки возбуждения, Tэ Lэ , Tв Lв .
Rэ Rв
Электромагнитные цепи двигателя взаимосвязаны. При подаче напряжения Uя по цепи якоря протекает ток iя, и при наличии магнитного потока создается электромагнитный момент, вращающий ротор:
М СмФiя, |
(4.7) |
где См – конструктивная постоянная двигателя. Электромагнитные и механическая цепи также взаимосвяза-
ны, так как ток, протекающий по обмотке возбуждения, создает магнитный поток Ф, пронизывающий обмотку якоря и наводящий в ней ЭДС вращения:
Ед Се , |
(4.8) |
где Се – конструктивная постоянная двигателя, в системе СИ равная по величине См.
Анализируя выражения (4.7), (4.8), заметим, что произведение переменных приводит к нелинейности математической модели электродвигателя, регулируемого одновременно по цепям якоря
ивозбуждения. Кроме того, при регулировании напряжения возбуждения двигателя проявляется нелинейный характер изменения
потока Ф в функции тока возбуждения iв (намагничивающей силы F = wв iв, где wв – число витков обмотки возбуждения). Кривая намагничивания ДПТ соответствует нелинейному звену типа «насыщение» (рис. 4.3).
Рабочая точка с координатами {F0, Ф0} на кривой насыщения соответствует некоторому, например номинальному, режиму работы ДПТ.
ДПТ как нелинейный ОУ, регулируемый по цепям якоря
ивозбуждения, в соответствии с выражениями (4.6)–(4.9) и рис. 4.3 может быть представлен в виде структурной схемы (рис. 4.4).
97
Ф
Ф Ф0
F
F
0 |
F0 |
Рис. 4.3. Кривая насыщения магнитной цепи ДПТ
Пусть изменения аддитивных (управляющих и возмущающих) воздействий незначительны или, по крайней мере, непрерывны. Тогда нелинейную модель ДПТ целесообразно линеаризовать в окрестности вектора рабочих траекторий и представить в виде линейной модели. В качестве рабочих траекторий примем уравнения M0 = CмФ0iя0, Eд = CеФ0ω0, а все переменные ДПТ будем рассматривать в приращениях, т.е. в малой окрестности рабочих траекторий, и обозначать через символ приращения ∆. Проведем также касательную линеаризацию кривой намагничивания, задавшись координатами {F0, Ф0} текущей рабочей точки и соответствующими приращениями F и Ф (см. рис. 4.3).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
Uя |
|
|
|
|
|
|
|
1 / Rэ |
iя |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
1 |
|
|
ω |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
См |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jд р |
|
|
|
|||||||||
– |
|
|
Тэ р 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Eд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Се |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uв |
|
|
|
1 / Rв |
|
|
|
Iв |
|
|
F |
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Тв р |
1 |
|
wв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4. Структурная схема ДПТ как нелинейного объекта управления, регулируемого по цепям якоря и возбуждения
98
Тогда математическую модель ДПТ можно представить системой уравнений в приращениях:
iя |
|
1 |
|
1 |
|
U |
|
С |
|
|
i |
|
, |
|
|
|||||||||
T |
R |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
я |
е |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
я |
|
|
|
|||||
|
|
|
э |
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iв |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
i |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(4.9) |
||||||||
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t |
|
|
|
Rв |
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Tв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
С i |
|
|
i |
М |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
t |
|
|
Jпр |
|
м |
в0 |
|
|
0 |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ед , М – приращения координат ЭДС двигателя и электро-
магнитного момента |
вдоль вектора рабочих |
траекторий, |
Ед Се 0 0 , |
М См iя0 0 iя ; |
– при- |
ращение магнитного потока, Kф F Kфwв iв ; Kф – коэффициент линеаризации кривой насыщения магнитной цепи, являющийся функцией координатрабочейточки(см. рис. 4.3), Kф F .
Структурная схема ДПТ, соответствующая уравнениям (4.9), приведена на рис. 4.5.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
Uя |
|
|
1/ Rэ |
|
|
iя |
|
|
|
M |
|
1 |
|
|
Δω |
|
|
|
|
Ф0 |
|
См |
|
|
|||||||
|
– |
|
Тэ р |
1 |
|
|
|
|
Jд |
р |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eд Се Ф0 iя0 ω0
Uв |
|
1 / Rв |
|
|
Iв |
|
F |
|
Ф |
|
|
|
wв |
Kф |
|||||
|
|
Тв р |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.5. Структурная схема линеаризованного ДПТ как объекта управления, регулируемого по цепям якоря и возбуждения
99
Пусть электродвигатель регулируется только по цепи якоря (напряжение возбуждения Uв = const, а следовательно, Ф = Фн = const). Тогда математическая модель электродвигателя примет вид
diя |
1 |
|
|
1 |
U |
|
C |
|
i |
|
, |
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|||||||
dt |
|
T |
R |
e |
н |
я |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.10) |
|||||
d |
|
э |
э |
|
|
|
|
. |
|||||
|
1 |
|
Cм нiя Мс |
. |
|
|
|
||||||
dt |
Jд |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математическая модель в виде формул (4.10) описывает ДПТ как линейный объект второго порядка.
Для перехода от дифференциальных уравнений (4.10) к опе-
раторным произведем замену |
d |
p. |
Тогда получим |
|
||||||||||
dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pi |
1 |
|
|
1 |
U |
|
C |
|
|
i |
, |
|
||
|
|
|
|
я |
н |
|
||||||||
я |
T |
|
R |
|
e |
|
я |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
|||
|
|
э |
|
э |
|
|
|
|
|
. |
||||
р |
|
1 |
|
Cм нiя Мс . |
|
|
||||||||
|
Jд |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По операторным уравнениям (4.11) составим структурную схему электродвигателя, приведенную на рис. 4.6.
Как видим, структурная схема ДПТ, регулируемого по цепи якоря, содержит четыре типовых линейных динамических звена: апериодическое, интегрирующее и два безынерционных, а также два суммирующих звена.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mc |
|
|
|
|
|
|
Uя |
|
|
|
|
|
iя |
|
|
– |
|
|
|
|
|
Δω |
|
|
|
1 / Rэ |
|
|
|
M |
1 |
|
|
|
||||
|
СмФн |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Тэ р 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
– |
|
|
|
Jд |
р |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Eд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
СеФн |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.6. Структурная схема ДПТ, регулируемого по цепи якоря
100