книги / Методы обеспечения надежности изделий машиностроения

5.10. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ КРИВОЙ РОСТА НАДЕЖНОСТИ НА ОСНОВЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРЕДПОСЫЛОК С УЧЕТОМ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

В предыдущем параграфе рассмотрены общие теоре­ тические предпосылки для построения модели доработок с уче­ том управляющих воздействий. М о д е л ь к р и в о й р о с т а н а д е ж н о с т и позволяет на основании расчета выбрать не­ обходимые управляющие воздействия в зависимости от заданной программы отработки. При этом предполагается, что задавае­ мая программа изменения выходной характеристики может быть каким-либо образом выбрана. Однако сам по себе вопрос о таком выборе представляет задачу специального исследования. Реше­ ние этой задачи состоит в том, чтобы изучить, каким образом изменяются выходные характеристики изделия (например, ве­ роятность безотказной работы изделия, среднее время его жизни и т. д.). Если по результатам отработки построены кривые роста надежности изделий, аналогичных вновь разрабатываемому изде­ лию, то одну из них можно принять за желаемую программу отработки этого нового изделия.

Отметим, что главное при построении модели кривой роста надежности — это допущение о возможности построения кривых роста отдельно для каждого вида отказов. Сложные техничес­ кие системы состоят из большого числа элементов, что может привести, соответственно, к большому числу отказов. Поэтому воспользуемся моделью изменения роста надежности, основываю­ щейся на рассмотрении типов доработок, число которых зна­ чительно меньше числа отказов. В основу построения кривой роста надежности положена математическая модель, опи­ сывающаяся вероятностными характеристикам'?:. В нашем случае выполнение доработки того или иного типа проводят с некото­ рой вероятностью.

Пусть отработке подвергается сложное восстанавливаемое изделие, в состав которого входят различные элементы. В про­ цессе испытаний доработку проводят только в том случае, когда причина отказа установлена. По отказам, причина которых не установлена, доработку не проводят и их учитывают как случай­ ные отказы.

В общем виде модель роста надежности является функцией объема испытаний, видов доработок и режимов испытаний и

где R(t) — вероятность безотказной работы изделия за заданный интервал времени [0 , /]; п — объем испытаний изделия, выра­ женный в циклах функционирования; / — число используемых типов доработок; k — число используемых режимов испытаний; t — длительность одного цикла испытаний.

151

Под испытанием изделия понимают экспериментальное оп­ ределение количественных и (или) качественных характеристик его свойств как результата воздействия на него при его функци­ онировании и моделировании (ГОСТ 16504—81). При испыта­ ниях изделие функционирует с заданными параметрами в за­ данном интервале времени [0, t] . При выводе уравнения отра­ ботки примем допущение — отказы, вызванные различными при­ чинами и требующие различных методов доработок, являются несовместными событиями.

Введем следующие обозначения:

Hi — событие, состоящее в появлении отказа на /-м цикле

испытаний, / = 1 ,л ; Р(Н[) — вероятность отказа на /-м цикле испытаний;

Dj/Hi — событие, состоящее в проведении доработки /-м ме­ тодом при возникновении отказа на i-м цикле испытаний;

P(Dj/Hi) — условная вероятность использования /-го метода доработки на i-м цикле испытаний при условии, что на этом цикле произошел отказ;

A /D j, Hi — событие, состоящее в успешном проведении до­ работки /-м методом при возникновении отказа на i-м цикле испытаний;

А — событие, состоящее в безотказной работе изделия в те­ чение заданного интервала времени [0 , t];

P(A/Djy Hi) — условная вероятность безотказной работы из­ делия в течение заданного интервала времени [0 , t] после прове­ дения доработки /-м методом в связи с появлением отказа на i-м цикле испытаний.

Так как в процессе4 испытаний изделие по части отказов доработкам не подвергается, то на основании формулы полной вероятности можно записать

где Ri(t) — вероятность безотказной работы изделия в течение заданного интервала времени [0 , /] после проведения доработки на /-м цикле испытаний; Pt{t) — вероятность отсутствия в течение заданного интервала времени [0 , /] после /-го цикла испытаний тех отказов изделия, по которым доработка не проводилась.

Пусть число режимов испытаний, при которых происходит отработка изделий, равно некоторому фиксированному числу k. Тогда вероятность безотказной работы за заданный интервал времени [0 , /] после проведения испытаний хотя бы в одном из ре-

152

/

Под р е ж и м а м и и сп ы т а н и й и з д е л и я понимают проведение

испытаний: в номинальных условиях (при температуре окружаю­ щей среды 2 0 ° С ± 5 °С, влажности воздуха 65 % и номинальной нагрузке, характеризуемой коэффициентом /Сн = 1,0), при низких или высоких температурах, на вибрацию, на пылевлагозащищенность, в условиях повышенных нагрузок (/Сн> 1 ) и т. д.

Предложенная математическая модель позволяет построить кривую роста надежности в результате выбора соответствующих методов доработки с заданной вероятностью и режима испы­ таний. Используемые в математической модели вероятности или законы их распределения могут быть определены по результа­ там отработки изделий-аналогов.

т , — число отказов, по которым доработки не проводились с 1-го по /-е испытание; п, — объем испытаний (число циклов функ­ ционирования) на момент проведения доработки;

153

тодом за период с 1 -го по Z-е испытание включительно; /' — число всех проведенных доработок за период с 1-го по Z-e испытание включительно).

Подставив статистические данные в (5.114), найдем оценку вероятности безотказной работы изделия за заданный интервал

Оценку вероятности безотказной работы изделия за задан­ ный интервал времени [0 , t] после проведения испытаний хотя бы в одном из режимов можно определить по формуле

1-го по Z-e испытание включительно; k — число всех используемых режимов испытаний.

Из практики отработки изделий известно, что испытания обязательно проводят при всех назначенных режимах и, следова-

роста надежности показывает, что повышение показателя на­ дежности (в нашем случае вероятности безотказной работы) возможно только благодаря проведению доработок, при этом разные доработки не одинаково влияют на увеличение уровня надежности. При отработке технических систем уровень надеж­

154

ности повышается в большей степени в результате конструктив­ ных доработок, в меньшей степени — в результате улучшения технологии изготовления и в еще более меньшей — в результате изменения эксплуатационной документации.

Необходимо помнить, что доработку конструктор назначает в каждом конкретном случае. Ее можно назначить как по од­ ному появившемуся отказу, когда причина явно установлена, так и по повторяющимся отказам, когда причина явно не уста­ новлена. В последнем случае доработка может быть назначена из условия выполнения неравенства

(5.117)

где Ат — число повторяющихся отказов при проведении ис­ пытаний в объеме Ап.

В первом приближении частота отказов б= (0,01-=-0,05), при достижении которой в обязательном порядке проводят до­ работку при принятом допущении, что каждая доработка не снижает уровня надежности. Доработки изделия прекращают, как только достигнутый уровень показателя надежности удовлет­ воряет заданному требованию.

Имея статистические данные по отработке изделий, можно построить кривые роста надежности, с помощью которых про­ гнозируют отработку вновь разрабатываемых изделий-аналогов. Если кривая роста надежности, построенная по отработке изде­ лия, является непрерывной функцией распределения, то ее можно использовать при нахождении параметров управляющих воз­ действий. Для этого по предложенной математической модели (5.116) составляют систему дифференциальных уравнений [6 ]. Для этого введем дополнительно следующие обозначения:

P(Dj/Hi) = R | — условная вероятность использования /-го ме­ тода доработки на /-м цикле испытаний при условии, что на /-м цикле произошел отказ;

делия в течение заданного интервала времени [0 , /] после проведения доработки /-м методом на /-м цикле испытаний.

Вероятность безотказной работы изделия в течение заданного интервала времени [0 , t] после устранения конкретной /-й при­ чины отказа на /-м цикле испытаний в р-м режиме определяют, используя уравнение

R, (t) = Pi (t) [1 - Р (Я() R{R3] + P (Я,) RtR3R3, (5.118)

где Pi(t) — вероятность безотказной работы изделия после /-го цикла испытаний тех отказов, по которым доработки не прово­ дились.

155

Параметры модели R i, /?2 , /?з зависят от режимов и методов доработок, имеющих для каждой конкретной системы вполне определенный смысл. В соответствии с работой [6 ] составим уравнение вида

методы доработок, выраженные в виде вероятностных оценок. Используя соотношение (5.118) и определив требования к

данной характеристикой точности; коэффициенты а, и h опре­ деляют при испытаниях образцов-аналогов, т. е. по предыстории.

Таким образом, сформулировав требования к оценкам на­ дежности /?1Тр(/) и охарактеризовав точность выполнения этих требований (5.123), необходимо найти управляющие воздей­ ствия Uij(t) и соответствующие им режимы испытаний. Для этого составляют систему дифференциальных уравнений [6 ]:

156

%(t) = Rinp( t ) + l M - M O -- W O ]

/ = 1

Для интегрирования системы дифференциальных уравнений необходимо иметь следующие исходные данные: интервал вре­ мени [О, Т\ постоянные Л, <х„ а,\ функциональные зависимости

RhP(t), Rmp(t), Xij„p(t); начальный вектор состояния хц при t = t0.

После нахождения параметров *,•,(/) вычисляют необходимые управляющие воздействия:

Таким образом, решениями пассивной задачи по построению математической модели роста надежности являются уравне­ ния (5.112—5.114), а управляющие воздействия с использова­ нием этой математической модели в общем виде выражаются

позволяющей учесть управления в явном виде и сохранить пред­ посылки общей теории. С целью обеспечения эффективности доработок по статистической модели (5.114) в результате направ­ ленных воздействий используем информативную модель для

157

коллинеарных систем. В этом случае управляющие воздействия направлены на реализацию события, состоящего в проведении доработки /-м методом. В нашей модели управляющие воздей­ ствия непосредственно связаны с вероятностью, т. е. каждому значению конкретного параметра соответствует определенная вероятность /?,{/), а управление осуществляется косвенно через вероятностные характеристики. Влияние каждого управляющего параметра хц на результирующий эффект осуществляется по предыстории с помощью функции регрессии. Примем в качестве соответствующих координат следующие величины:

где Rij(t) — текущее значение вероятности безотказной работы на /-м цикле испытаний отрабатываемого изделия /-м методом дора­ боток; Rijrp(t) — требуемая вероятность безотказной работы на i-м цикле испытаний отрабатываемого изделия /-м методом до­ работок.

В нашем случае вероятность безотказной работы Rij(t) явля­ ется переменной величиной, которая, как правило, увеличивается в процессе отработки в результате принятия конструктивных и других решений. Основная задача отработки состоит в том,

плавное, экспоненциальное изменение величины ДRij(t) в соот­ ветствии с тем, как изменяется во времени решение дифферен­ циального уравнения

Тогда

Примем срок отработки изделия Т0 = 3 года. В этом случае

158

Следовательно, соотношения (5.131) и (5.132) определяют условия отработки изделия, которые обеспечиваются выбором управляющих воздействий, а отработка изделия обеспечивается ’в результате определенных приращений ДU — вектора управ­ ления в принятом интервале, т. е. за счет обеспечения вполне конкретных значений скоростей изменения вектора dU(t)/dt. Одновременно с этим производные dU(i)/dt являются вероят­ ностными значениями параметров, влияющих на отклонение ДR(t). Зависимость отклонений ДR(t) от параметров определится в регрессионной форме линейным соотношением

где В =[&//] — матрица коэффициентов, связанных с парамет­ рами управления; Ьц — элементы матрицы, выраженные в виде вероятностей соответствующих параметров.

Выражение (5.133) можно записать в виде линии регрессии:

Тогда управляющие воздействия можно непосредственно свя­ зать с наработкой на отказ в явном виде. Таким образом, по разработанной математической (вероятностной) модели (5.111) или статистической модели (5.115) определяют наработку на отказ и находят параметры управления в явном виде.

Рассмотренная вероятностная модель отработки может быть использована также и при наложении ограничений как на выход­ ную характеристику, так и на управления. В этом случае управ­ ляющие воздействия определяют из соотношений (5.108) и

(5.109).

Перейдем теперь к рассмотрению задачи по выбору управ­ ляющих воздействий на момент времени t испытаний отраба-

159

тываемого изделия при соответствующем режиме и различных методах доработок. В этом случае получим следующую систему уравнений:

где

Я, (О

— вектор вероятностей успешной работы отрабатываемого из­ делия в момент t испытаний при реализации ji-го режима;

^[Яц/]Лх/

—матрица размера kxl, составленная из вероятностей успеш­ ной работы отрабатываемого изделия на момент t испытаний при использовании /-го метода доработок.

Вформуле (5.137)

является вектором вероятностей использования /-го метода до­ работок на момент t испытаний отрабатываемого изделия.

Таким образом, вектор вероятностей успешной работы в |А-м режиме испытаний линейно связан с вектором вероятностей методов доработок

160