книги / Методы обеспечения надежности изделий машиностроения

По аналогии с предыдущим выводом предполагаем, что от­ работка изделия проходит успешно благодаря обеспечению впол­ не конкретных значений скоростей dU(t)/dt изменения парамет­ ров управления. Тогда зависимость отклонений выходной харак­ теристики от параметров определится в регрессионной форме линейным соотношением

окончательные значения управляющих воздействий в виде веро­ ятностей методов доработок определяют по формуле

торой выражены в виде вероятностей успешной работы изде­ лия при использовании /-го метода доработок; Т — период от­ работки изделия, выраженный в виде вероятности; /?тр — тре­ буемое значение вероятности безотказной работы отрабаты­ ваемого изделия.

Для нахождения методов доработок по полученной вероят­ ности P(t) в явном виде определяют наработку на отказ, а по наработке — параметры доработок, т. е. значения физических величин.

161

Г л а в а 6

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ДОРАБОТОК ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

6.1. СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ ЗНАЧИМОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ЧАСТОТ ДВУХ ГРУПП ДАННЫХ

В практике отработки изделий задача по оценке эф­ фективности проведенной доработки может быть решена метода­ ми качественного и количественного анализа. Качественный метод анализа используют в том случае, когда доработка свя­ зана с улучшением технических характеристик изделия, обес­ печивающих удобство работы оператора, комфортность и эсте­ тичность помещения, в котором он находится, и другие пара­ метры. При количественной оценке эффективности проведенных доработок принимают специальные статистические критерии зна­ чимости, суть которых состоит в сравнении показателей надеж­ ности изделия до проведения доработки и после нее. Разрабо­ таны различные статистические критерии значимости. Рассмот­ рим некоторые из них применительно к оценке эффективности доработок сложных изделий многоразового использования.

Статистический критерий значимости частот двух групп дан­ ных может быть основан на биномиальном законе распределения этих частот. Пусть данные испытаний восстанавливаемой систе­ мы сведены в таблицу или представлены графически (рис. 6.1).

Число от ка зоб, т

163

Анализ графика показывает, что в точке А происходит зна­ чительное изменение частоты отказов после проведенной до­ работки. Задача состоит в том, чтобы оценить значимость рас­ хождения двух групп данных, разделенных точкой А. Пусть в

тоту отказов в первой группе через h\ = m \/n\1а во второй группе через Л2 = m2/n 2. Тогда вероятность расхождения двух групп данных для биномиального закона распределения частот опре­ делится по формуле

где Сл, — число сочетаний из п\ элементов по г отказам;

Сл2Ш1+т2" г — число сочетаний из п2 элементов по (m i-fm 2 — г) отказам.

Если вероятность P(h\, ft2) окажется меньше или равна 0,05—0,1 или любого другого заданного уровня значимости, то это свидетельствует о том, что частоты отказов двух групп данных имеют существенное расхождение, т. е. объединять эти совокупности не следует. Очевидно, в процессе испытаний может быть несколько точек А, каждая из которых делит данные на две группы, представляющие совокупности с значительно раз­ личающимися частотами отказов. Если изменение не обнаружи­ вается, данные необходимо рассматривать Как однородные, т. е. их можно объединить, в одну совокупность и рассматривать как однородные.

Проверку изменения частоты отказов следует проводить ограниченное число раз, так как при частой проверке на уро­ вень значимости оказывает влияние повторная выборка*. Веро­ ятность P(h\t h2) может быть вычислена непосредственно с по­ мощью таблиц биномиальных коэффициентов. Такие таблицы

Если (6.1) содержит более трех членов, то приближение, обеспечиваемое нормальным распределением, будет достаточно точным [23]. В табл. 6 приложения приведены значения вероят­

контролируемой партии или потока продукции для контроля и принятия реше­ ния о соответствии установленным требованиям (ГОСТ 15895—77).

164

Недостатком этого критерия является то, что он может быть применен при малом объеме испытаний и соответственно незна­ чительном числе отказов. Несмотря на этот недостаток, стати­ стический критерий значимости изменения частот двух групп данных широко применяют при оценке эффективности дорабо­ ток изделий с низким уровнем надежности. Особенностью слож­ ных изделий многоразового функционирования является то, что эти изделия, в основном, работают в циклическом режиме, а заданные высокие показатели надежности подтверждаются, как правило, большим числом испытаний, насчитывающим от не­ скольких сотен до нескольких тысяч циклов, при которых воз­ можно и значительное число отказов.

Рассмотренный выше критерий значимости для оценки эф­ фективности доработок высоконадежных изделий ограничен в практическом использовании из-за громоздких вычислений. По­ этому чаще применяют приближенный критерий значимости, основанный на нормальном распределении.

Пример 6.1. Пусть по результатам испытаний грузоподъем­ ного крана в первой совокупности было зафиксировано девять отказов (mi = 9) при 200 циклах нагружений (/ii = 200), после чего была проведена доработка механизма управления и прове­ дены испытания в объеме 140 циклов нагружения (п2=140), при этом зафикисирован один отказ ( т 2 = 1). Определить эффек­ тивность доработки и найти вероятность безотказной работы крана.

Р е ш е н и е . Для определения эффективности доработки воспользуемся формулой (6.1) и табл. 6 приложения:

Полученный результат показывает, что проведенная дора­ ботка эффективна с уровнем значимости P(hi, /i2)<0,05. Следо­ вательно, объединять совокупности двух групп данных не реко­ мендуется, а оценку надежности нужно проводить по данным второй совокупности:

ботки механизма разгрузки было зафиксировано шесть отказов (mi = 6) при 300 циклах разгрузки (пi = 300). После проведен­

работки, найти надежность работы изделия.

165

Р е ш е н и е . По табл. 6 приложения находим P(h\, Л2)= 0,143. Полученное значение вероятности, расхождения частот двух групп данных свидетельствует о том, что проведенная доработ­ ка с уровнем значимости P(/ii, Л2)<10,05 не эффективна, следо­ вательно, при оценке надежности необходимо объединить обе совокупности, т. е.

От в е т : P{hu Л2)= 0,143; £«0,998.

6.2. ПРИБЛИЖЕННЫЙ КРИТЕРИЙ ЗНАЧИМОСТИ, ОСНОВАННЫЙ НА НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

Если в формуле (6.1) сумма биномиальных коэффи­ циентов содержит более трех членов, то приближение, давае­ мое на основе нормального распределения, будет достаточно точным.

Суть метода оценки эффективности доработок состоит в сле­ дующем. Предположим, что вероятность отказа изделия до дора­ ботки равна Р1, а после доработки — Р2. До доработки было проведено п\ испытаний и при этом отмечено гп\ отказ, а после доработки соответственно проведено п2 испытаний и зарегистри­ ровано /л2 отказа. Следовательно, частота отказов в первой совокупности равна h\ = m\/ri \ =Р\, а во второй — h2 = m2/n 2= P2.

Задача с о с т о и т в т о м , чтобы проверить равенство двух вероят­ ностей Pi и Р2, т. е. равенство Р \= Р 2. Примем, что частота появ­ ления отказов распределена нормально, поэтому разность час­ тот также распределена нормально [23] со средним значением распределения M [h\—h2] = 0 и дисперсией

будет распределена нормально с параметрами ноль и единица,

166

В этом случае и2 распределена нормально, параметры распреде­ ления М(Л|— Л2] = 0 и D [hi—h2] = 1.

В критической области распределение описывается неравен­ ством

Для лучшего приближения величин и\ и М2 найдем их сред­ нее значение и используем это значение при нахождении веро­ ятности расхождения двух групп данных. Последовательность вычисления и\ и и2удобнее представить в виде таблицы (табл. 6.1).

При вычислении arcsin-Jh можно использовать значения sinx, приведенные в таблицах работы [11]. Вероятность расхож­ дения двух групп данных равна

где и — квантиль нормального распределения; берется из табл. 1 приложения.

Если окажется, что вероятность P(hi, Л г)^(0,05-i-0,1) или меньше (равна) другому заданному уровню значимости, то рас­ хождение следует считать существенным. В этом случае объеди­

нять совокупности п\ и п2 нельзя.

Если вероятность расхождения двух групп данных P(h\, h2)> > (0,05н-0,1) или больше любого другого заданного уровня значимости, то можно считать, что выборки п\ и п2 принадлежат одной генеральной совокупности , т. е. их можно объединить в общую выборку.*

* Генеральная совокупность — множество всех рассматриваемых дейст­ вительных или условных предметов, над которыми проводят серию наблюдений (ГОСТ 15895—77).

167

Р (Ль h2) = 2Ф( — и)

Пример 6.3. По результатам первого этапа испытаний изде­

Определить эффективность доработки при заданном уровне значимости (P(hi, /z2) < 0,1). Оценить надежность изделия по результатам испытаний.

Р е ш е н и е . Для нахождения вероятности расхождения двух групп данных приближенным методом воспользуемся табл. 6.1:

Полученное значение вероятности расхождения двух групп данных Я(А|, А2)=0,14 свидетельствует о том, что при заданном уровне значимости Р(Н\, ft2) ^ 0 ,1 выборки следует объединить в одну генеральную совокупность. Проведенная доработка ока­

залась не эффективной, а оценку надежности необходимо про­ водить по формуле

От в е т : Я(Л,, Л2)=0,14; £ = 0,977.

169

аз. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ДОРАБОТОК ПО ВЕРОЯТНОСТЯМ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ДВУХ ГРУПП

ДАННЫХ, ПОЛУЧЕННЫХ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ

Предположим, что изделие проходило испытания в два этапа, при этом на первом этапе было проведено п\ испытание, после чего была проведена доработка.

На втором этапе было проведено п2 испытания. Под этапом испытаний следует понимать не только испытания, связанные с доработкой изделия. Одним из этапов могут быть, например, заводские испытания, а в качестве другого — полигонные.

Примем допущение, что испытания проводят в одинаковых условиях, при этом отказы происходят независимо друг от друга. Пусть на первом этапе появился m \ отказ, а на втором — пг2 отказ. Допустим, что заданным показателем надежности из­ делия является вероятность безотказной работы

Требуется найти критерий, согласно которому можно было бы принять или отвергнуть гипотезу Но о том, что R {= R 2. Если гипотеза Но отвергается, то принимают одну из конкурирующих гипотез — H \= (R \C R 2) и л и H2(R \> R2)y при этом ошибка пер­ вого рода а не должна превышать заданного значения.

Под ошибкой первого рода понимают вероятность расхож­ дения или уровень значимости результатов испытаний двух со­ вокупностей.

считать первой. Случайные величины пг\ и т2 независимы и под­ чиняются биномиальному закону распределения.

Вероятность появления исхода (mi, т2) определяют, исполь­

Для построения критерия с уровнем значимости или ошиб­ кой первого рода, не превышающей а, воспользуемся свойством критерия факторизации, формулой условных вероятностей [4] и запишем условие, при котором верна гипотеза Н0, т. е. R \= R 2\

Так как (6.10) не зависит от равенства вероятностей R {= R 2y то для нахождения критических точек в совокупности множества х

170