книги / Методы обеспечения надежности изделий машиностроения

ваться в качестве первого приближения нормальным законом распределения вместо биномиального закона. Здесь удобно ис­

пользовать преобразование i/= 2arcsin-\/jc. Как показано в работе

[4], случайная величина eY= 2arcsinу и м е е т распределе­ ние, близкое к нормальному, со средним значением, равным 2arcsin-\/l — и дисперсией D = Так как эти величины

171

независимы, то их разность в том случае, когда верна гипотеза #о, будет иметь нормальное распределение со средним значением

М = 0 и дисперсией D = -J—Н— -р = П^ П2 • Отсюда следует,

что случайная величина

где и _а_— квантиль нормального распределения; берется из

2

табл. 1 приложения.

Рассмотренный критерий состоит в том, что гипотеза Но = = (/?i=/?2) отвергается всякий раз, когда выполняется нера­ венство

В этом случае совокупности двух групп данных объединять не следует, так как они существенно расходятся.

Пример 6.4. Пусть на первом этапе до доработки изделие испытывалось в объеме 100 циклов функционирования (/гi = 100) и при этом было зафиксировано четыре отказа (т \= 4). После проведения доработки изделие испытывалось на функциониро­ вание в объеме 400 инк/мж (//, = 400) и при этом было зафикси­ ровано два отказа ( т 2 = 2).

Определить эффективность доработки с уровнем значимости

а= 0,1 и вероятность безотказной работы изделия.

Ре ш е н и е . По полученным результатам испытаний найдем величину

Но о равенстве вероятностей отвергается с ошибкой а =0,1. Следовательно, эффективность доработки подтверждается с

вероятностью 0,90, а надежность изделия будет определяться только результатами испытаний после доработки:

* т | + т 2 = / , + ^ ; т ' = / ' ; т " = / "

172

ка адежкос™ Й о ™ 01™ Mpa6oTK" подтверждена; 2) сцен-

Для проверки гипотезы H0 = Rt = R2 = R можно воспользо­

ваться приближенным методом, когда mi + m2> 3 0 В этом случае используем выборочную функцию

т2

Л Г ' - Ч ^ + i )

При подтверждении гипотезы Я0 функция (6.18) имеет нор­ мальное распределение, а величину R можно определить по результатам испытаний по формуле

то она принимается. Значения иа приведены в табл. 1 приложения. Пример 6.5. В процессе проведения испытаний на первом этапе было 25 отказов (mi =25) при объеме испытаний 1000 цик­ лов (л| = 1000). По окончании первого этапа выполнили дора­ ботку изделия. При проведении второго этапа испытаний в том же

иоценить надежность изделия.

Ре ш е н и е . Для расчета критерия в качестве оценки найдем

173

О т в е т : 1) эффективность доработки не подтверждена с уровнем значимости а = 0,1; 2) надежность изделия Р =0,9775.

6.4. СРАВНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОТКАЗА ПО КРИТЕРИЮ СОГЛАСИЯ (НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ)

Допустим, что в процессе испытаний фиксируются отказы, вероятности которых в двух группах данных соответ­ ственно равны Р\ и РгСтавится задача сравнить эти вероятности и определить принадлежность их к одной совокупности. Если в результате п\ независимых испытаний отказы появились т\ раз, а в результате лг независимых испытаний т2 раз, то статисти­ ка

(6.20)

Такая статистика при больших значениях пь имеет распре­ деление %2 с (г — 1)-й степенью свободы.

Это означает, что

где xi-a(r—1) находят из условия

вероятности отказов равны заданным значениям Л, принимается при статистике T(m|, тг)<Х ?-а(г— 1) и отвергается в противном случае. Вероятность ошибки первого рода приближенно равна а.

Критерий х2 позволяет сравнить вероятности отказов не толь­ ко двух групп данных, но и совокупности групп. В этом случае статистика выглядит так:

* Статистика — функция результатов наблюдений, используемая для оценки па^а^ет^ов^ распределения и (или) для проверки статистических гипотез

174

Критерий согласия %2 может быть использован при доработ­ ках изделий по оценке вероятностей как двух групп данных, так и совокупности нескольких групп.

Пример 6.6. По данным примера 6.4 оценить эффективность

(2 - 400-0,012)г _ Q ,g

'400-0,012

Число степеней свободы г = 2 — 1= 1.

Для уровня значимости а = 0,1 по табл. 4 приложения находим

XL»,. ( '= ! ) = 2,71.

Полученное значение Т(т\, т 2)= 8,16>2,71 свидетельствует о том, что гипотеза Н о о равенстве вероятностей Р \ = Р 2 отвер­ гается, т. е. проведенная доработка является эффективной. Для оценки надежности изделия необходимо использовать статисти­ ческие данные, полученные после доработки. Таким образом, критерий согласия %2 подтверждает справедливость критерия сравнения вероятностей, основанного на гипергеометрическом распределении (см. параграф 6.3).

Пример 6.7. Изделие подвергалось испытаниям в три этапа. На первом этапе испытаний было проведено 100 циклов испы­

175

отказах (m2 = 3) и на третьем — 200 циклов испытаний (яз = 200) при одном отказе ( т з = 1 ) . Оценить принадлежность получен­ ных результатов испытаний к одной совокупности с уровнем значимости а = 0,1. Найти надежность изделия.

следует объединить результаты всех трех этапов испытаний в одну совокупность. Для оценки надежности изделия следует взять

6.5. КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА

В практике отработки технических систем часто бывает так, что доработку осуществляют после завершения некоторого этапа испытаний, а затем проводят следующий этап испытаний. В этом случае оценить эффективность доработок можно методом сравнения эмпирических функций распределения для двух этапов испытаний по критерию Колмогорова. Суть этого критерия состоит в следующем. Для каждого этапа испытаний эмпирические функ­ ции определяют по формуле

где Xi<x<Lxu+\\ здесь x = ti/T\ — момент остановки испытаний из-за отказа; Т — суммарная наработка изделия; т , — число отка­ зов на /-м интервале (/= 1 ,2 , , /); п — общее число испытаний в циклах.

176

После построения эмпирических функций Ft{x)* и /^(х)* (их можно представить в виде таблиц или графиков) в соответству­ ющих точках этих функций находят максимальное отклонение

Проведенные A. H. Колмогоровым исследования показали, что

Значения функции К(у) даны в табл. 7 приложения [4]. Вы­ числены также некоторые квантили случайных величин Dn, задава­ емых формулой (6.25). В табл. 7 приложения приведены значе­ ния Dna при а = 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01 и л = 1-М00. Числа Dna удовлетворяют условию

Гипотезу о принадлежности двух групп данных одной совокупно­ сти отвергают с уровнем значимости а при Dn-\fn> К\~а [здесь К{КР)= р, т. е. КР— квантиль уровня р для распределения Колмо­ горова]. Если п ^ Ю 0, то Dn сравнивают с числами Dna (табл. 7 приложения). Гипотезу о принадлежности двух групп одной совокупности отвергают с уровнем значимости 1—а, если Dn > Dna- В противном случае гипотезу принимают.

Пример 6.8. Период испытаний отрабатываемого изделия был разбит на два этапа, причем после завершения первого этапа была проведена доработка. Сведения о результатах испытаний сведены в табл. 6.2. Найти эффективность доработки. Оценить надежность изделия.

Р е ш е н и е . По формуле (6.25) с использованием данных табл. 6.2 найдем максимальное отклонение эмпирических функ­ ций:

Dn = 0,25 - 0,15 = 0,1.

Из табл. 7 приложения для величин п = 20 и а = 0,1 находим Dna= 0,265. Так как Dn< D na, то гипотеза Но о принадлежности двух групп данных одной совокупности подтверждается, т. е. для оценки надежности необходимо обе группы данных объеди­ нить:

* f ,(*) = /=■„; F2(X)= F>2.

177

О т в е т. 1) гипотеза Н0 о принадлежности двух групп данных одной совокупности подтверждается с вероятностью 1—а =0,9; 2) оценка надежности равна /?=0,8.

6.6. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ ЗНАЧЕНИЙ ДВУХСРЕДНИХ ИЗ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ

СОВОКУПНОСТЕЙ

На практике эта гипотеза может быть использована при оценке эффективности доработок изделий. Наиболее прием­ лемым является случай, когда выборки получены по данным независимых испытаний, т. е. результаты испытании до прове­ дения доработки не зависят от испытаний после проведения доработки. Суть этого критерия состоит в следующем. Предпола­ гается, что измерения являются выборками из двух нормально распределенных совокупностей со средними значениями pi и \i2 и дисперсиями о2 и Для проверки гипотезы_по = р-1 = Ц2 оп­ ределяют средние выборочные значения х\ и хг параметров и средние выборочные их отклонения S\ и S2 по результатам двух этапов испытаний.

178

Критерием оценки является выборочная функция (критерий Стьюдента)

где

пенях свободы можно по табл. 8 приложения на^ти значения

где

^ т а в и т с и з а д а ч а с р а в н и т ь upwM-»- эффективность доработки

отказами этапов испытаний и ^ ен^ходные данные испытаний с уровнем значимости а = 0,05.

приведены в табл. 6.3.

179

6.3. Результаты испытаний (к примеру 6.9)

Р е ш е н и е . Найдем средние значения наработок и их средние квадратические отклонения по формулам (6.29) и (6.30):

J __ 15+ 25 + 40+100+150 + 200 + 250 + 280 + 320 + 400 + 450 +

Л, ----------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------► -

180