книги / Методы обеспечения надежности изделий машиностроения
..pdfВероятность безотказной работы изделия в целом явля ется произведением вероятностей безотказной работы состав ляющих узлов, механизмов или других сборочных единиц, вхо дящих в структурную схему надежности изделия:
P(t)= П Р,(/), |
(9.30). |
/=1 |
|
где N 1 — число узлов, механизмов и других сборочных единиц по структурной схеме надежности, участвующих при выполнении работы; / — время, в течение которого проводят работу.
Среднее квадратическое отклонение показателя P(t) для из делия в целом находят по формуле
°p(t) = |
Y, <£,<'>■ |
(9.31) |
Расчет коэффициента готовности Кг и среднего квадрати ческого отклонения ок выполняют, используя выражение
К = \ - Кр - Коб, |
(9.32) |
где КР и Коб — коэффициенты соответственно ремонта и тех нического обслуживания изделия;
|
N2 |
|
|
|
|
КР= |
I |
Кр„ |
|
(9.33) |
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
где Кр, — коэффициент ремонта |
/-го |
узла, |
механизма |
или |
|
другой сборочной единицы; N2 |
— число |
узлов, |
механизмов |
или |
|
других сборочных единиц, входящих в структурную схему надежности изделия и влияющих на коэффициент готовности;
КР, = т |
4 |
(9-34) |
1 |
9 |
|
где Tpi — время непланового ремонта /-го узла, механизма или другой сборочной единицы за рассматриваемый период экс плуатации Тъ\
Tpi— /в/Ш,, |
(9.35) |
где tBi — среднее время восстановления одного отказа /-го узла, механизма или другой сборочной единицы; т, — число отказов /-го узла, механизма или другой сборочной единицы за рассмат риваемый период эксплуатации Гэ;
243
X *■/ |
(9.36) |
|||
С = |
|
|
||
где tBj — время восстановления |
при /-м отказе /-го узла, ме |
|||
ханизма или другой сборочной единицы; / — порядковый |
номер |
|||
отказа /-го узла, механизма или другой сборочной единицы. |
||||
Тогда суммарное время непланового ремонта будет равно |
||||
N 2 |
|
|
||
т р = £ |
|
V |
(9.37) |
|
<=1 |
|
|
||
Коэффициент непланового ремонта определяют, используя |
||||
соотношение |
|
|
|
|
N2 |
|
|
||
I |
|
7- |
|
|
1=1 |
|
(9.38) |
||
« р = |
т, ’ |
|||
|
||||
где Гэ — суммарное время эксплуатации изделия.
Коэффициент технического обслуживания вычисляют по формуле
К об = -уЧ |
(9.39) |
* э |
|
где Г0б — время технического обслуживания изделия, предусмот ренное эксплуатационной документацией или полученное по результатам эксплуатации.
Так как оценку надежности проводят для всей совокупно сти изделий, находящихся в эксплуатации различное время за рассматриваемый период, то суммарное время эксплуатации всех изделий находят из соотношения
м
т э = |
X |
т я1, |
(9.40) |
|
/= 1 |
|
|
где Гэ/ — время эксплуатации |
/-го |
изделия |
к моменту оценки |
его надежности; М — число изделий, находящихся |
в эксплуата |
ции к моменту оценки надежности; |
|
т р = £ т р1, |
(9.41) |
/= 1 |
|
где Гр/ — неплановое время ремонта /-го изделия за рассматри ваемый период эксплуатации.
Вэтом случае для всей совокупности изделий, находящихся
вэксплуатации, коэффициент готовности равен
244
|
/*| |
/п |
|
2 > .. + 1 |
|
К = I - |
/=1 |
/= 1 |
м |
(9.42) |
|
I * -
/=1
где S — число изделий, находящихся одновременно на техни ческом обслуживании.
Так как время технического обслуживания каждого изде лия неизменно, то окончательно имеем
м
К = 1 ---------- |
• |
(9-43) |
/= 1
Среднее квадратическое отклонение коэффициента Кг в первом приближении принимаем равным среднему квадратическому отклонению коэффициента ЯР, предположив, что коэффициент Коб не изменяется, т. е.
акг « |
° v |
(9.44) |
Среднее квадратическое отклонение коэффициента ЯРв первом |
||
приближении принимаем равным |
|
|
° к р ~ |
^р» |
(9.45) |
тогда среднее квадратическое |
отклонение |
коэффициента Кг |
для одного изделия равно |
|
|
<4 = ОУ |
|
(9.46) |
Среднее квадратическое отклонение коэффициента КР для всей совокупности изделий, находящихся в эксплуатации, при оценке надежности можно определить по формуле
о |
(9.47) |
Вероятность безотказной работы для всей совокупности изделий, находящихся в эксплуатации к моменту оценки надеж ности, вычисляют из соотношения вида
245
|
м |
|
P ( t ) = \ |
/= 1 |
(9.48) |
где mi — число отказов /-го изделия, |
влияющих на выполне |
|
ние работы и зафиксированных к моменту оценки надежности; П{ — объем эксплуатации в циклах к моменту оценки надежности.
Среднее квадратическое отклонение вероятности P(t) для всей совокупности изделий, находящихся в эксплуатации, определяют по формуле
Вычисление вероятности безотказной работы и среднего квадратического отклонения этой величины для всей совокуп ности изделий, находящихся в эксплуатации, при условии от сутствия отказов является нецелесообразным, так как вероят ность появления этого условия практически равна нулю.
Так как отдельные узлы, механизмы или другие сбороч ные единицы могут быть конструктивно выполнены как дубли рующие по схеме «два из трех» или другой схеме резервирова ния, то для каждого из этих элементов выполняют отдельный расчет с учетом резервирования. В случае выхода из строя элемента в схеме дублирования все отказы и объемы испыта ний объединяют в одну совокупность, причем объем испытаний увеличивается в 2 раза, так как одновременно работают два элемента или канала. Тогда вероятность безотказной работы с учетом резервирования для всей совокупности изделий, находя щихся в эксплуатации к моменту оценки надежности, будет равна
Р о б У ) = P(t)P'(t)P"(t)% |
(9.50) |
где P(t) — вероятность безотказной работы для нерезервиро ванной системы (элемента), которую вычисляют по формуле (9.48); P'(t) — вероятность безотказной работы для схем дубли рования; P"(t) — вероятность безотказной работы для схемы «два из трех» или другой схемы резервирования;
246
|
■ м |
гп\ |
■ |
|
1 |
|
|
P ' ( t ) = 1 - |
/=1 |
(9.51) |
|
м |
|
||
1 п\
. /=|
где т{— число отказов для дублированных схем /-го изделия, влияющих на выполнение работы и зафиксированных к моменту оценки надежности; n{=2ni — объем испытаний для дублиро ванных схем /-го изделия к моменту оценки надежности.
Среднее квадратическое отклонение величины P\t) равно
|
|
м |
|
\ |
м |
|
|
|
X |
т' |
I |
|
|
|
1— /= 1 |
|
|
|
||
P ' ( t ) [ \ - P ' { t) ] __ |
^ |
I » ; |
) ! = \ |
(9.52) |
||
/ = | |
|
|||||
° p f(t) — |
V |
/VI У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
Вероятность безотказной работы для схемы «два из трех» оп ределяют по формуле
р "(0 = р ?(/) + з р ?[1 - л (/)], |
(9.53) |
где Pi(t) определяют как для нерезервированной схемы, т. е. по формуле (9.48).
Аналогично проводят расчет надежности для других схем резервирования.
Общее выражение для определения среднего квадратиче ского отклонения величины Л>б(/) находится из соотношения
|
а роб(о = Vc£(/) + (T*P V ) |
+ <*?>"(/)• |
(9.54) |
Среднее значение наработки на отказ совокупности изделий, |
|||
эксплуатируемых |
к моменту оценки |
надежности, |
определяют |
по формуле |
Nl |
|
|
|
Т |
|
(9.55) |
|
1о |
|
|
где Т91 — время эксплуатации /-го изделия к моменту оценки надежности; пи — число отказов /-го изделия к моменту оценки надежности; М — число изделий, находящихся в эксплуатации.
247
Пример 9.8. В процессе 5 лет |
эксплуатации (7'э = 5 |
лет) |
|||||||||
ста |
изделий |
(М = 100) |
было |
зафиксировано |
двадцать |
отказов |
|||||
(т = 20). Из них пять отказов |
|
,о ° |
|
\ |
влияют на выпол |
||||||
^ |
£ |
m/ = 5j |
|||||||||
нение основной работы |
и |
отказ |
каждого |
элемента |
приводит |
||||||
к отказу изделия в целом; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
100 |
т / = 5 отказов также |
влияют на основную работу, но кон- |
|||||||||
£ |
|||||||||||
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
структивно относятся к схеме дублирования; |
|
|
|
|
|||||||
100 |
т"= 4 |
отказа влияют |
на |
основную |
работу, |
но |
кон- |
||||
£ |
|||||||||||
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
структивно относятся к схеме «два из трех»; |
|
|
|
||||||||
т = 20 все зафиксированные |
отказы в |
процессе эксплуата |
|||||||||
ции влияют на Кг- Суммарный объем испытаний за 5 лет эксплуатации всех
изделий в циклах составит
5-8760-100 |
« 2 1 0 0 |
ЦИКЛОВ, |
5-52-8 |
|
|
/= 1 |
|
|
где / = 8760 ч — общее число часов |
в году; |
п' = 52 — число |
недель в году; /ц = 8 ч — длительность одного цикла работы из делия за неделю. Известны также: /„= 5 ч — среднее время вос
становления одного отказа; S = |
10 — число изделий, одновременно |
||||||||
находящихся |
на техническом |
обслуживании один раз в год; |
|||||||
Тоб = 5 |
ч — среднее |
время технического обслуживания одного |
|||||||
изделия |
за |
год. |
|
|
|
|
|
||
По исходным данным определить следующие показатели |
|||||||||
надежности: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
^ 0 6 |
(0. аЯб(0’ |
<V |
^°' |
|
||
Р е ш е н и е |
1.По формулам (9.48) |
и (9.49) вычислим вели |
|||||||
чины: |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Я(/)= |
1 |
п |
5 |
|
0,998; |
||
|
|
2100 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
„ |
_ |
/Р(/)[1 |
- P( t ) ] |
/0,998-0,002 |
0,00097 |
||||
° р « ) |
— |
V |
п - 1 |
V 2099 |
|||||
|
|||||||||
2. Для отказов, выявленных в схеме дублирования, вероят ность безотказной работы и среднее квадратическое откло нение этой вероятности определим по формулам (9.51) и (9.52).
248
Ввиду того, что объем испытаний для резервированных схем увеличивается в 2 раза, то
|
100 |
|
|
|
|
|
P'(t) = \ - |
|
= 1 |
( - * — |
|
0,9999986; |
|
|
|
|
|
V2-2100 |
|
|
P'(l)l1- |
Р' (/)] |
V |
0,9999986- 0,0000014 |
0,000025. |
||
п - |
1 |
|
2100 - |
1 |
||
|
|
|||||
3. При отказах, выявленных в схеме «два из трех», вероят ность безотказной работы определяют по формуле (9.53):
Я"(0 = Р?(/) + з^(0 [1 — Л (0}
где
|
|
100 |
|
|
|
/>, (/) = |
1 |
п |
|
|
0,998; |
|
|
|
|
|
|
Р" (/) = |
(0.998)3 + |
3-0.9982 |
(0,002) = |
0,9999; |
|
«p-и - |
|
|
у о |
^ с о , |
_ 01000002 |
4. Общая вероятность безотказной работы по всей сово купности изделий к концу пятого года эксплуатации
Po6(t) = P{t)P'(t)P"{t) = 0,998-0,9999986-0,9999 = 0,9978.
Среднее квадратическое отклонение этой величины сос тавляет
° P o6(t) — V o 2™Р(/) +"Г Vp'(fO 'it) "Г+ иа />"(/)Р —
00097)2 + (0.000025)2 + (0.000002)2 = 0,001.
5.Кг определяют по формуле (9.42), при этом суммарное
время непланового ремонта находят из выражения (9.41). т. е.
м |
|
Тр = £ |
Тр1 = МТйш = 100-5-20 = 10000 ч. |
/= I |
|
Суммарное время эксплуатации |
|
м |
|
£ Тъ1 = |
MTJ = 100-5-8760 = 4 380 000 ч. |
/= I |
|
249
Суммарное время на проведение технического обслуживания всех изделий в течение 5 лет
м |
|
X г* = м т , |
ЮО-5-5 = 2500 ч. |
После подстановки полученных значений в формулу (9.43)
|
— Т |
10000 + -^ -5 |
|
К = \ - |
S |
06 |
|
|
1 |
---------4 3 8 0 0 0 ^ = ° ’" 77 |
|
|
|
||
i |
г- |
|
|
/= 1 |
|
|
|
Среднее квадратическое отклонение коэффициента Кг для совокупности изделий находят по формуле (9.46), предвари тельно определив коэффициент Кр из выражения (9.38):
м
|
|
10000 |
0,00228; |
|
|
4380000 |
|
|
|
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
а*; = Кр = 0,00228. |
|
6. |
Среднее |
значение* наработки на отказ, определяемое |
|
по формуле (9.55), |
равно |
|
|
м
43800°0 = 219000 ч.
9.3. ОБЩИЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ОЦЕНОК НАДЕЖНОСТИ
И ИХ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ
Известно, что функция надежности для различных за конов распределения может зависеть как от одного, так и от нескольких параметров распределения. Если функция надежности зависит от двух и большего числа параметров, то для нахож дения ее точечной оценки достаточно подставить точечные оценки неизвестных параметров в формулу для определения надежности. Для функции надежности с одним неизвестным па раметром доверительную границу определяют, подставляя в
250
функцию надежности нижний или верхний доверительный предел оцениваемого параметра. В случае, когда имеется более одно го неизвестного параметра, доверительные пределы этих па раметров нельзя непосредственно подставлять в функцию на
дежности |
[10] |
с целью получения доверительного предела |
|
последней. |
|
значение и дисперсию оцен |
|
Если |
можно ^найти среднее |
||
ки надежности |
P(t) = P(ty А,), то |
приближенные доверительные |
|
пределы получим, воспользовавшись общей закономерностью, согласно которой при большом объеме выборки величина nP(t) распределена по закону, близкому к нормальному.
Среднее значение функции надежности определяют как
математическое |
ожидание функции |
выборочного |
момента [10]: |
||
|
М [р it, Й] = |
Р (t, X) + f |
(9.56) |
||
где Я(/, X) — некоторая |
функция |
надежности; |
X — параметр |
||
распределения, |
причем |
при |
п-^со |
математическое ожидание |
|
параметра само принимает значение параметра, т. е. М[Х]=Х. Выражение Д1/гг) является функцией, зависящей от объема
выборки п. При п-+ со эта функция стремится к нулю.
В соответствии с [10] дисперсия функции надежности
определяется по формуле |
|
|
D [Рit, X)] = |
Dlx\ + f |
(9.57) |
Если надежность является функцией двух оценок парамет ров распределения, например P(ty а, £), то в этом случае мате матическое ожидание и дисперсию находят из соотношений
М [Р it, а, Ю] = |
P(t, а,Х) + f |
(9.58) |
|
D [Pit, а, Й1 = |
D [о] + ( - ^ - ) 2 D Ш + |
|
|
+ 2(^ )(^ )*<а'® + '(^) |
(9'59) |
||
где К(а, X.) — корреляционный момент. |
следу |
||
При нахождении производных в |
выражении (9.59) |
||
ет подставлять вместо оценки |
само |
значение параметра, т. е. |
|
а = а , $. = Х.
После нахождения математического ожидания и дисперсии функции надежности ее доверительные границы определяются по формуле
Pit, a, X) = M[Pit, а, Й ]± Ц.+т УР[Я(/. а,Й1 |
(9.60) |
251
Нижний доверительный предел для функции надежности будет равен
P(t, а, к) = M[Pit, о, Л)] — и,_TVD [/>(/, а, ЭД |
(9.61) |
где у — доверительная вероятность; и\ - у — квантиль |
функции |
нормального распределения, определяемая по табл. 1 приложения. Если функция надежности подчиняется закону распреде
ления |
Вейбулла, то ее |
оценку и доверительный предел |
опреде |
|
л яю т |
из соотношений [10]: |
|
|
|
|
|
P i t , а, Ю= е - йа; |
|
(9.62) |
DiPit, а, X)] = /2'1е -2^ |
$,2loga/Z)[a]+ D К] + 2AilogJKia, Ю}; |
|||
|
|
|
|
(9.63) |
|
P ( t , а, к) = |
P i t , а, к) ± и |+т ^ D I P it, а, Ш |
(9.64) |
|
Оценка и доверительный предел функции надежности нор |
||||
мального распределения имеют вид |
|
|
||
|
P(t, a, a) = |
<p(-*- g -a) + ф ( а g - !) — 1; |
(9.65) |
|
|
P(t,a,a) = ф (^ 1 ^ ! _ ) . |
(9.66) |
||
Нижний доверительный предел для функции надежности равен |
||||
|
Р it, а, ст) = Ф ( |
- |
(9.67) |
|
где а — среднее значение оцениваемого параметра; |
|
|||
|
|
п |
|
|
о — среднее квадратическое отклонение оцениваемого параметра;
|
a = |
(*■■- я)2; |
|
|
Ф(ц) — функция |
нормированного |
нормального |
распределения. |
|
Для функции |
надежности, |
определяемой |
по |
формулам |
(9.65) —(9.67), можно найти толерантные пределы, |
характери |
|||
зующие вероятность попадания на них определенной доли рас пределения. Эти пределы следующие:
а ± k (у, a, п) a. |
(9.68)^ |
252