книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм

с

Q, = - j = 2я(1 - cos 0).

Тогда из (1) находим

в ^ /2*(1-с<” е ) д М . 2Tirsin0-2jr 2nr

3.1.11. Поле вращающегося шарика. Заряженный по поверхности шарик радиусом R с поверхностной плотно­ стью заряда а равномерно вращается вокруг своего диамет­ ра с угловой скоростью со. Пренебрегая влиянием вещества, найти индукцию магнитного поля внутри и вне шарика.

Довольно часто в сложных задачах, которые не уклады­ ваются в рамки простого применения какого-либо закона, или, если его применение сопряжено со значительными тех­ ническими трудностями, поступают следующим образом. На основании физических соображений (или аналогий) угадыва­ ется какое-либо решение, а затем оно проверяется на соот­ ветствие условиям задачи. Так и поступим.

При вращении шарика его движущиеся заряды эквива­ лентны поверхностным токам, которые и создают магнитное поле. Понятно, что для выбора вида предполагаемого реше­

тока эквивалентен круговому току dl =dq(S)/2n, где

dq = odS - G2%R2sin QdB. Тогда для силы тока dl получаем

dl = act)/?2 sin QdQ.

Отношение этого тока к длине RdQ есть линейная плот­ ность тока

i = сио/?sin 0 = J0 sin 0,

где /0 = сто)R.

Таким образом, вращающийся щарик эквивалентен кру­ говым токам, линейная плотность которых изменяется с по­ лярным углом 0 по закону синуса. В электростатике нами уже решалась задача 1.2.9 об электрическом поле заряженно­ го по поверхности шарика, поверхностная плотность заряда которого также изменялась по закону синуса. Там было пока­ зано, что вне шарика электрическое поле является полем то­ чечного электрического диполя, находящегося в центре ша­ рика, а внутри формируется однородное поле. Опираясь на эту аналогию, предположим, что и магнитное поле в нашей задаче вне шарика является полем точечного магнитного ди­ поля, а внутри шарика поле однородно. Это совершенно ра­ зумное предположение, основанное на полной аналогии электрических и магнитных полей, в чем мы уже не раз убе­ ждались.

Рассмотрим вначале магнитное поле вне шарика. Оно определяется полным магнитным моментом, который скла­ дывается из магнитных моментов отдельных элементарных поясков:

dpm= dl ■n(R sin 0)2 = C(oR2sin BdOnR2sin2 0 =

= com/?4 sin3 BdQ.

Интегрируя no 0 от нуля до я , получаем магнитный момент всего шарика

4naR*&

Pm

3 Воспользовавшись теперь полученным в задаче 3.1.1

выражением (5) для вектора В магнитного диполя, находим

где вектор г проведен из центра шарика. Модуль вектора В равен

Зг3

(угол 0 отсчитывается от направления вектора со). Обратимся теперь к расчету поля внутри шарика. Выше

уже говорилось, что это поле возможно однородное. Для

проверки этого предположения найдем хотя бы значение В на оси Z (с учетом симметрии поле на оси Z направлено вдоль этой оси). В соответствии с законом Био-Савара ин­ дукция магнитного поля, созданного в произвольной точке А на оси Z бесконечно малым кольцевым элементом площа­ дью dS (см. рис. 3.20), находится как

-AsinQ

4пг3

Здесь I - линейная плотность тока на кольцевом пояске площадью dS = InR1sin0d6, край которого располагается под углом 0 к оси Z ; г - расстояние от края пояска до точ­

^ = z//? (0<£ < 1). Тогда полное поле в произвольной точке

на оси Z можно представить в виде интеграла

С помощью замены переменных и = cos0 данный инте­ грал сводится к двум табличным интегралам, значение кото­ рых в сумме равно 4/3. Таким образом, величина В на оси Z не зависит от положения точки и составляет

д _

3

Это выражение с учетом связи i0 = owR можно записать в векторном виде

Используя данный результат и теорему о циркуляции вектора В , нетрудно показать, что магнитное поле в любой точке внутри шарика однородно (именно это мы и предпола­ гали ранее) и определяется формулой (2).

И в заключение осталось только проверить обоснован­ ность нашего начального предположения о том, что поле вне шарика является полем точечного магнитного диполя (значе­ ние однородного поля внутри шарика мы получили «честно» прямым расчетом). Для этого нужно проверить выполнение условий «сшивания» решений на поверхности шарика. Одно из этих условий заключается в равенстве нормальных со­

ставляющих полей (это следствие теоремы Гаусса для векто­ ра В). Из (1) находим

Впвне |г_д = | й о ^ С О 5 0

(мы учли, что направление нормали к поверхности шарика п совпадает с направлением вектора г ). В свою очередь из формулы (2) получаем

= з ^ ю с о в О .

Значения Впвне|г=/?и 5лвну1ри|г=л совпали. Применим те­

перь теорему о циркуляции вектора В к любому малому контуру, плотно прилегающему к поверхности шарика, при­ чем, часть контура находится вне шарика, другая часть - внутри (контур отражен на рис. 3.20 пунктирной линией). Из этой теоремы следует, что касательные составляющие векто­ ра В внутри и вне шарика должны быть связаны соотноше­ нием

внутри = )V (3)

(направление обхода контура связано с направлением тока правилом правого винта). Из (1) и (2) находим

Если учесть, что i = CTCO/?sin0, то соотношение (3) также выполняется. Таким образом, предположение о том, что маг­ нитное поле вне шарика является полем точечного магнитно­ го диполя, а внутри шарика - однородно, можно считать до­ казанным.

3.2. Силы в магнитном поле

На находящийся в магнитном поле проводник с током

где dl - вектор, совпадающий по направлению с током и ха­ рактеризующий элемент длины тонкого проводника. Если же

Интегрируя выражения (1) и (2) по элементам тока (ли­ нейным или объемным), можно найти магнитную силу, дей­ ствующую на тот или иной объем проводника или его линей­ ный участок. В частности, сила, действующая на контур с то­

где интегрирование проводится по данному контуру с то­ ком / При малых размерах контура выражение (3) удобно представлять в виде

F

где рт - модуль магнитного момента контура; дВ/дп - про­

изводная вектора В по направлению нормали Я. Направле­ ние вектора силы совпадает с направлением элементарного приращения вектора В, взятого в направлении вектора рт

в месте расположения контура. Если рассматривать только проекцию силы на некоторое направление X , то

Рх = Рт дп

Момент амперовых сил М для произвольного контура с током рассчитывается по формуле

й = [? .* ]•

Работу амперовых сил можно рассчитывать обычным образом, но иногда удобной оказывается формула

бА= Ш>,

где ЬА - работа амперовых сил при элементарном переме­ щении контура; (1Ф - приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении. Если при перемещении поддерживать ток постоянным, то полная работа

Л = /(Ф 2 -Ф ,), где Ф, и Ф2 - магнитные потоки сквозь контур в начальном

и конечном положениях Ф = j BdS . s

3.2.1. Взаимодействие параллельных проводов. Два длинных провода с пренебрежимо малым сопротивлением замкнуты с одного конца на сопротивление R, а с другого конца подключены к источнику постоянного тока. Радиус се­ чения каждого провода в г| раз меньше расстояния между осями проводов. При каком значении сопротивления R про­ вода отталкиваются?

Поставленный в задаче вопрос кажется несколько странным. Еще из школьного курса физики известно, что раз­ нонаправленные параллельные токи всегда отталкиваются, в этом проявляется магнитное взаимодействие. Откуда же здесь может появиться притяжение? Дело в том, что незави­ симо от наличия тока, на каждом проводнике имеются избы­ точные поверхностные заряды, причиной которых являются полюса источника тока (рис. 3.21). Эти заряды имеют разные знаки, что и приводит к кулоновскому притяжению про­

как провода имеют пренебрежимо малое собственное сопро­ тивление, то величину Я можно считать постоянной по дли­ не проводов и разной по знаку для разных проводов. В этом случае электрическая сила, действующая на единицу длины провода,

F,= XE,

где Е - напряженность электрического поля, созданного

другим проводом. Ее значение нетрудно найти из теоремы Гаусса

Е=—— , 2П£0/

где I - расстояние между проводами. Тогда 12

2яе0/

Значение магнитной силы, приходящейся на единицу длины провода, найдем как

FM=IB,

где В - индукция магнитного поля, созданного длинным проводником с током I (см. задачу 3.1.2)

В = М .

2п1

В итоге

Тогда

или с учетом закона Ома

2

_ ЕрЦ)

F3 R2 U

где U - напряжение между проводами. Расчет напряжения в двухпроводной линии проводился нами в задаче 1.3.2, и для него было получено значение

Таким образом,

Fu р0 1п2л

F, е0 я2/?2

Для определения сопротивления /?„, при котором ре­ зультирующая сила взаимодействия проводов обратится в нуль, необходимо положить FM/ F3= l. Откуда

Если R < RQ, то провода отталкиваются, если же R > RQ - притягиваются. Таким образом, наблюдаемое обычно на опыте отталкивание разнонаправленных параллельных токов, про­ исходит только при достаточно малом сопротивлении, когда можно пренебречь электрической силой притяжения.

3.2.2.Прецессия кольца. Равномерно заряженное тон­

кое непроводящее кольцо массой т и зарядом q вращается

с большой угловой скоростью со вокруг своей оси во внеш­

нем однородном магнитном поле с индукций В . Найти угло­ вую скорость прецессии кольца Q , если его ось составляет

некоторый угол с вектором В .

Явление прецессии возникает, если к быстро вращаю­ щемуся симметричному телу приложить постоянный по ве­ личине момент внешних сил. В этом случае вектор момента импульса тела описывает конус вокруг фиксированного на­ правления с некоторой угловой скоростью, называемой ско­ ростью прецессии. Одно из самых наглядных проявлений

прецессии - вращение оси наклоненно­

Вго волчка по образующей конуса во­ круг вертикальной оси.

Внашем случае постоянный по ве­ личине момент внешних сил обуслов­ лен магнитным взаимодействием кру­ гового тока, образованного вращением заряженного кольца, с внешним маг­ нитным полем. Обратимся к рис. 3.22. Вращающееся заряженное кольцо экви­ валентно контуру с током l - q (о/2п.

На этот контур со стороны внешнего магнитного поля дейст­

вует вращательный момент сил М = >стремящийся ус­

тановить магнитный момент рт по направлению поля В . Под действием момента М вектор рт и соответственно вектор

момента импульса L совершают в силу инерционности вра­

щающегося кольца прецессию вокруг направления вектора В со скоростью Q . Будем полагать эту скорость много меньше угловой скорости вращения кольца (О.