книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм

этого предположим, что все связанные поверхностные заря­ ды эквивалентны некоторому точечному заряду внутри ди­ электрика. Нам нужно только найти его величину q и рас­ стояние о поверхности h' Если при этом будут выполнены граничные условия на границе раздела диэлектрика с вакуу­ мом, то в силу теоремы единственности задача построения поля будет нами решена.

В соответствии с нашей идеей полное поле в вакууме является суммой поля заряда q и поля его «изображения» q

(рис. 1.43):

пространства, а г' - от заряда q в эту же точку. Эти вектора

Для того чтобы проверить наши предположения, необ­ ходимо «сшить» выражения (1) и (2) на границе раздела, т.е. потребовать выполнения граничных условий: непрерывность

касательных компонент вектора Е и нормальных компонент вектора D . Первое условие имеет вид

Видно, что если потребовать равенства углов ф и ф'

(т.е. h = fi), то соотношения (3) и (4) могут быть выполнены в любой точке границы при условии соответствующего под­ бора величин зарядов q и q” . Полагая ф= ф', находим

2 Я =й 8 + 1 (6)

Кроме того, из (3) следует, что заряд q” равен сумме за­ рядов q и q (это можно было предвидеть и заранее, исходя из логики наших рассуждений). Таким образом, мы показали, что заряд q находится симметрично заряду q относительно границы раздела. С учетом (5) и (6) получаем распределение полей в вакууме и диэлектрике:

Эти выражения удовлетворяют всем условиям задачи

ив силу теоремы единственности дают ее решение. При

е—» оо они переходят в соответствующие выражения для по­

ля точечного заряда над проводящей плоскостью.

Найдем теперь поверхностную плотность связанных за­ рядов а ' как функцию расстояния г от точечного заряда q .

Из соотношения а' = Рп =зее0Еп находим

^ _ q(B-l)h

(8)

2д(1+ е)г3 '

Выражение (8) можно получить и не вводя понятий фиктивных зарядов q и q Электрическое поле вблизи по­ верхности диэлектрика является суммой поля точечного за­ ряда q и поля зарядов поляризации с плотностью а' Вос­ пользуемся непрерывностью нормальной составляющей век­ тора D на границе диэлектрика:

А л = А л ~ * А л = е А я ’

где слагаемое------- составляющая напряженности электри2б0

ческого поля, созданного вблизи рассматриваемого участка плоскости с поверхностной плотностью заряда о '. Из (9) сра­ зу следует результат (8). При этом мы учли, что cosф = А/г Если проинтегрировать выражение (8) по всей поверхности диэлектрика, то можно найти и полный связанный заряд q

Однако его значение (S) мы уже нашли из других сообра­ жений.

Найдем теперь силу взаимодействия заряда q и всех за­ рядов поляризации. Мы уже выяснили, что все эти заряды эквивалентны одному точечному заряду q' , находящемуся от заряда q на расстоянии 2А. Исходя из закона Кулона с уче­ том (5) имеем

qq> - ?2(e -i) 4яе04А2 (е +1)16яе0А2

Если заряд q находится непосредственно на границе раздела (А= 0), исчезают поляризационные заряды на по­

верхности диэлектрика. Кроме того, так как г = г ', то из (7) следует

т.е. поле вектора Ё становится сферически симметричным (довольно неожиданный результат!). Связано это с тем, что исчезли связанные заряды на границе диэлектрика (именно они вносили несимметрию) и остался только связанный заряд непосредственно вблизи точечного заряда q .

Пусть полупространство, заполненное диэлектриком, ограничено проводящей плоскостью, над которой на рас­ стоянии А находится точечный заряд q . Каково теперь зна­ чение поверхностной плотности связанных зарядов?

Так как проводящая плоскость бесконечна и в бесконеч­ ности нет зарядов, то потенциал плоскости равен нулю. С та­ кой ситуацией мы уже сталкивались. В данном случае в пол­ ной мере можно применить метод электрических изображе­ ний. Наличие индуцированного заряда на проводящей плоскости эквивалентно точечному заряду q' =- q , являю­ щемуся зеркальным отражением заряда q . Но в данной про­ водящей плоскости происходит отражение и связанных заря­

дов поляризации o '! А это эквивалентно тому, что теперь все пространство будет заполнено однородным диэлектриком. Таким образом, мы пришли к задаче о поле двух точечных зарядов q и - q , находящихся в бесконечном диэлектрике на расстоянии 2h . Тогда поле в плоскости симметрии, перпен­ дикулярной прямой, соединяющей заряды q и - q , можно найти как

триков. Проводящий шар радиусом R и зарядом q нахо­

дится на плоской границе раздела двух диэлектриков с про­ ницаемостями е, и е2. Центр шара находится непосредст­ венно на границе раздела (рис. 1.44), Найти модуль напряженности электрического поля в диэлектриках и силу, действую­ щую на шар.

Из симметрии задачи понятно, что как вектор Ё , так и вектор D должны иметь только радиальные составляющие: Er = Е, Dr = D . От­ сюда сразу следует, что никаких

связанных зарядов на границе раздела диэлектриков не мо­ жет быть (для появления связанных зарядов необходимо, чтобы вектор Ё имел нормальную составляющую к границе диэлектрика). Тогда не очень понятно, о какой силе, дейст­ вующей на шар, идет речь. Ответить на этот вопрос можно

только после детального анализа электрического поля вне шара и характера распределения всех зарядов вблизи поверх­ ности шара.

Разберемся сначала с электрическим полем. Для любой точки границы диэлектриков должно выполняться условие Еи = Е2х. Это означает, что Е{=Е2, т.е. напряженность элек­ трического поля обладает сферической симметрией. А вот индукция электрического поля в разных диэлектриках раз­ ная. Это следует из соотношения

Попытаемся теперь понять, почему напряженность элек­ трического поля оказалась одинаковой в разных диэлектри­ ках, ведь они имеют разные диэлектрические проницаемости. Связано это, очевидно, с неоднородным распределением, как зарядов поляризации, так и индуцированных зарядов вблизи поверхности шара. Для определения плотности индуциро­ ванных зарядов воспользуемся теоремой Гаусса для векто-

pa D , рассматривая замкнутую поверхность Slt часть кото­ рой проходит внутри шара, другая часть - в диэлектрике с проницаемостью е, вблизи поверхности шара (см. рис. 1.44). Отсюда сразу следует, что поверхностная плотность индуци­ рованных зарядов на поверхности шара вблизи первого ди­ электрика

2я/?2(е, +е2)

Точно так же находим и поверхностную плотность ин­ дуцированных зарядов на поверхности шара вблизи второго

Разберемся теперь со связанными зарядами, просту­ пающими на границе диэлектрика с проводящим шаром. Применим теорему Гаусса для вектора Е , используя поверх­ ность 5 ,. Имея в виду, что на границе раздела проводника с диэлектриком есть как сторонние (ст), так и связанные (<т') заряды, приходим к выражению

Е = (g i+cQ £о

Сдругой стороны, эта же напряженность

Е=_5L =

Аналогично

е2 27rR2(e[+e2)

Найдем теперь полную поверхностную плотность всех зарядов ст,полн вблизи границы раздела с первым диэлектри­

ком. Для этого сложим выражения (4) и (6)

'IПОЛН=ст,+с; =

2яД2(е! +е2)

Сложим теперь выражения (5) и (7)

^2полн <*г+< 2nR2(el+ e2) '

Видно, что полная плотность всех зарядов одинакова для любой точки поверхности шара и не зависит от соотно­ шения диэлектрических проницаемостей. Это и привело к тому, что напряженность электрического поля оказалась одинаковой для обоих диэлектриков и не зависящей от угла. Соотношение же диэлектрических проницаемостей, как вид­ но из выражений (4>—(7), влияет на распределение поверхно­ стной плотности индуцированных и связанных зарядов. Если, например, е ,> е 2, то |ст(|>|ст2| и соответственно |ст1|>|ст2|,

т.е. диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью формирует и ббльшие поляризационные заряды. Это приво­ дит к тому, что такой диэлектрик «вытягивает» на себя и ббльшие индуцированные заряды в металле.

Рассчитаем теперь силу, действующую на проводящий шар. Если бы шар был заряжен однородно, то, очевидно, пол­ ная сила была бы равна нулю. Но мы уже выяснили, что плотность индуцированных зарядов шара не одинакова. Это и приводит к появлению силы. Для расчета этой силы разо-

1.5.Конденсаторы

Всоответствии с определением

расчет емкости конденсаторов любой формы и их произ­ вольного соединения сводится к следующему. К указанным в условии задачи точкам подводится от какого-либо источ­ ника тока заряд q . Затем находится распределение напря­ женности электрического поля между всеми проводниками системы и на этой основе рассчитывается напряжение между указанными точками U Возможен и обратный вариант, ко­ гда задано напряжение U Тогда необходимо найти заряд, подведенный извне к системе.

Заметим, что о емкости какой-либо системы конденса­ торов как о величине, которая зависит только от того, какие взяты конденсаторы и как они соединены между собой, мож­ но говорить только тогда, когда эти конденсаторы соединя­ ются в незаряженном состоянии и только затем подсоединя­ ются к источнику тока. Если же при соединении какие-то из конденсаторов уже заряжены, то емкость системы, вообще говоря, будет зависеть не только от вида окончательной схе­ мы, но и от той последовательности, в которой соединялись в схему предварительно заряженные конденсаторы. В таких условиях использование понятия емкости применительно ко всей схеме вообще нецелесообразно.

Рассмотрим для примера задачу об определении емкости между точками а и Ъ схемы, представленной на рис. 1.45. Здесь мы не видим никакого знакомого соединения конден­ саторов - ни параллельного, ни последовательного. Так что известные формулы тут не пройдут. Поступим следующим образом. К точкам а и Ъ подсоединим источник тока с за­ данной ЭДС % (тем самым мы задаем напряжение £/=«?,