книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм
.pdfЭто известная классическая задача, имеющая большое практическое значение. Многие молекулы можно предста вить в виде точечного диполя - системы из двух одинаковых зарядов +q и - q , находящихся на некотором расстоянии I
друг от друга. Когда говорят о поле диполя, то обычно пред полагают сам диполь точечным, т.е. считают расстояние от диполя до интересующих точек поля значительно больше I . Главной характеристикой диполя является его дипольный (электрический) момент.
Этой величине сопоставля ется вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и равный произведению заряда на век
тор I p =ql (рис. 1.4).
Для расчета поля дипо
ля Е воспользуемся прин ципом суперпозиции:
Е —Е++ Е_,
где Е+ и Е_ - напряженно
сти полей, созданных положительным и отрицательным за рядами соответственно. Их значения удобно представить в векторном виде:
Ё+= к-^г+, Ё.
Такая форма записи дает наглядную информацию
и о направлении векторов Е+ и Е_. Здесь для удобства вве
дено обозначение
4яе0
Таким образом, поле любого диполя |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
( |
~ |
г |
' |
|
|
|
|
|
|
Ё -k q |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
г- |
У |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
vr+ |
|
|
|
|||
Это выражение разумно представить через дипольный |
|||||||||||
момент |
р |
и расстояние от центра диполя до заданной точ |
|||||||||
ки поля |
г, |
направление |
на |
которую будем |
задавать |
через |
|||||
угол 0 (см. рис. 1.4). Для этого представим значения г+ |
и г_ |
||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
. |
|
|
I |
|
|
(3) |
|
|
г . |
~ Г ----- COS0, |
Г |
= r + —COS0. |
|
|
||||
|
|
+ |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Подставляя (3) в (2), получаем |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ё ^кд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г ----- COS0 |
|
Г + |
— COS0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r+ - r _ ) + ( r + + r _ ) ~ C O S 0 |
|
|
(4) |
|||||
При |
|
этом |
мы |
|
учли |
приближенные |
формулы |
||||
(1+ JC)3=1 + 3JC, |
—— ~ 1 —дг для х «с 1. Кроме того, из рис. 1.4 |
||||||||||
следует |
|
|
1 +х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г+ - г = - /, |
г++г_ ~ 2? |
|
|
|
||||
Эти |
соотношения |
позволяют записать |
выражение (4) |
||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
kql |
3кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е = |
—-±r- +—r-ql cos0. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
г |
г |
|
|
|
|
|
С учетом определения дипольного момента |
p =ql |
вто |
|||||||||
рое слагаемое можно представить в виде скалярного произ-
3к(рг)г
ведения----— , и тогда получаем окончательно
|
В _ Ък(рг)г |
кр |
|
|
(5) |
|
Е = ~ ~ ? |
7 |
' |
|
|
|
|
|
|||
Таким |
образом, нам удалось представить |
вектор |
Ё |
||
в виде суммы двух векторов: |
|
|
|
|
|
|
E = Et + Er, |
|
|
|
|
где вектор |
Е{ направлен вдоль |
оси |
диполя, а |
вектор |
Ег |
направлен вдоль прямой, соединяющей диполь и данную точку поля. Такое представление иногда оказывается очень удобным.
В заключение найдем модуль вектора Ё . По теореме косинусов получаем
Е2 = Е 2 +Е 2 - 2 ErE, cos0 =
=к< V cos2 0 +— - Ь^-rcos2 0
или
■ А л + 3cos20 , |
(6) |
где значение к определяется по формуле (1).
1.1.6. Взаимодействие диполя с точечным зарядом.
Найти силу взаимодействия F между точечным зарядом q0
и точечным диполем на расстоянии г, если дипольный мо мент р направлен вдоль соединяющей их прямой (рис. 1.5).
У нас есть два варианта. Один |
|
+Я |
<7о |
|
из них - воспользоваться готовой |
Q___ |
|||
►о-------- |
-о |
|||
формулой для напряженности поля |
I |
г |
|
|
диполя, другой - заново решить |
|
Рис. 1.5 |
|
|
задачу о взаимодействии точечных |
|
|
||
|
|
|
зарядов. Этот путь иногда является предпочтительным, когда под рукой нет готовых формул (кроме определений).
Бели воспользоваться готовым выражением для напря женности поля диполя (см. задачу 1.1.5), то получаем при
0 = 0,я
Г
При прямом применении закона Кулона совместно с принципом суперпозиции
где г отсчитывается от центра диполя. Выражение в квад ратных скобках можно приближенно представить в виде
Тогда
1.1.7. Движение заряда в поле диполя. Возможны ли круговые движения с постоянной скоростью точечного элек трического заряда вокруг неподвижного точечного электри ческого диполя?
Заданный в задаче вопрос можно поставить иначе: существует ли такое геометрическое место точек в поле ди
поля, для которого вектор Е направлен перпендикулярно оси диполя, сохраняясь постоянным по величине? Обратимся к картине силовых линий электрического поля диполя (рис. 1.6), из которой хорошо видно, что такое геометриче ское место точек существует и им является окружность, пер пендикулярная оси диполя и проходящая, например, через
точки А и В . Для определения положения этой окружности воспользуемся выражением для напряженности электриче ского поля диполя, полученным в задаче 1.1.5:
|
4яе0г |
4яе0г |
|
(» |
||
Так |
как вектор |
Е |
должен |
|||
смотреть |
перпендикулярно |
оси |
||||
диполя, |
т.е. |
перпендикулярно |
||||
вектору |
р , то для любых точек |
|||||
искомой |
окружности |
должно |
||||
выполняться |
условие |
Ер =0. |
||||
Поэтому |
помножим |
скалярно |
||||
выражение |
(1) |
на |
вектор |
р |
||
и приравняем произведение ну |
|
||
лю. Тогда приходим к уравне |
|
||
нию |
|
|
|
3(рг)2 _ р 2 |
Рис. 1.6 |
||
“ |
? |
~ 7 ' |
произведения рг по |
После |
раскрытия скалярного |
||
лучаем |
|
|
|
3cos2 9 = 1—»cos0 = ±>Я7з .
Откуда следует, что круговые движения точечного заря да в поле диполя возможны на любом расстоянии от диполя. Плоскость круговой орбиты заряда перпендикулярна к оси диполя, а угол 9 между направлением дипольного момента и радиус-вектором, проведенным от диполя к движущемуся заряду, определяется выражением
cos9 = ±>/l73, |
(2) |
где знак минус относится к положительному |
заряду, |
а плюс - к отрицательному. |
|
Найдем теперь скорость этого заряда. Так как движение происходит по окружности радиуса R =rsin 0 , то для заряда второй закон Ньютона будет выглядеть как
mv2 =QE, |
(3) |
~ т |
|
где Q - величина заряда; m - его масса; значение Е опре деляется выражением (6) из задачи 1.1.5
Е =— ^Ц-ТТ+Зсов^ё. 4я£0Г
С учетом условия (2) напряженность электрического поля
|
|
|
Е = |
Р |
Я , |
|
(4) |
|
|
|
|
|
4пе0г3 |
|
|
||
а радиус окружности |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/г = Гл/2/3 . |
|
(5) |
|||
После подстановки выражений (4) и (5) в (3) находим |
||||||||
|
|
г^_ |
PQ |
2 |
_ |
|
PQ |
|
|
|
4ite0mrz л/з |
|
6y/3n£0mh2 ' |
||||
где h - расстояние от диполя до центра окружности, по ко |
||||||||
торой вращается точечный заряд. |
|
|
|
|||||
1.1.8. |
Взаимодействие диполей. Найти силу взаимодей |
|||||||
ствия |
F двух точечных диполей, находящихся на расстоя |
|||||||
нии I , если их дипольные моменты |
р, и |
р2 направлены |
||||||
вдоль соединяющей их прямой (рис. 1.7). |
|
|||||||
|
|
|
|
В |
этой задаче |
удобно считать |
||
0________~ г + |
диполь р1 источником электрическо- |
|||||||
Р 1 |
I |
Pi |
го поля, в котором находится второй |
|||||
|
рис 1 q |
|
диполь с дипольным моментом р2. |
|||||
Тогда полная сила, действующая на второй диполь, |
|
PNRPU |
|
F =q2(E+-E _ ), |
(1) |
где q2 - заряд второго диполя; Е+ и |
Е_ - напряженности |
электрического поля, созданного первым диполем, в точках, где расположены положительный и отрицательный заряды второго диполя. Разность Е+ и Е_ - это приращение векто
ра Е на отрезке, равном длине второго диполя /2, в направ лении оси диполя. Вследствие малости этого отрезка
дЕ |
(2) |
|
Из выражений (1) и (2) можно найти выражение для си лы, действующей на диполь р , находящийся в произвольном
электрическом поле:
F - Mэ/.
Входящую сюда производную принято называть произ водной вектора по направлению. Найдем эту производную
в нашем случае. Значение Е |
определяется выражением (6) |
||
из задачи 1.1.5 при 0 = 0: |
|
|
|
Е = |
/3 |
' |
|
|
|||
Откуда |
|
|
|
дЕ |
&Ф1 |
(3) |
|
Э/ |
/4 |
||
' |
|||
Собирая вместе выражения (1)—(3), получаем |
|||
г _ 6Ар,р2 |
|||
F - |
~ |
|
|
Причем диполи притягиваются, если они обращены друг к другу противоположно заряженными концами, и отталки ваются в противном случае. Решите эту же задачу, если ди польные моменты перпендикулярны соединяющей их пря
мой. (Ответ: / = Зкр{ргИА)
1.1.9. |
|
Поле квадруполя. Электрический квадруполь со |
||
стоит из двух положительных и двух отрицательных одина |
||||
ковых |
по |
величине |
точечных зарядов q , расположенных |
|
+ |
/ |
^ |
|
в вершинах квадрата со сторо |
|
ной I , как показано на рис. 1.8. |
|||
Ч V |
|
1 |
|
Найти электрическое поле та |
I |
|
|
|
кого квадруполя в точке А , на |
о--- |
о |
у------ |
г |
А ходящейся на расстоянии г » I |
|
от его центра О , если линия |
|||
|
|
+ |
|
ОА параллельна одной из сто |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.8 |
рон квадрата. |
|
Понятно, что поле квадруполя можно получить наложе нием полей двух диполей. А как рассчитывать поле диполя, мы уже знаем. Поэтому вначале рассчитаем поле диполя в точке, находящейся на перпендикуляре к оси диполя, вос становленном из центра диполя, и отстоящей от центра на расстояние г :» I . Из рис. 1.9 видно
^дип = 2/£_ cos (X, |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
I |
I |
|
|
|
cosa = |
Е_=Е, |
|
|
|
2 у1 г 2 + 1 2 / 4 |
2г ’ |
|
|
|
|
Таким образом, находим |
|||
|
^Дип |
_кр |
kql |
' |
|
3 |
з |
||
|
|
Г |
г |
|
|
Заметим, что этот же ре |
|||
|
зультат можно получить и из |
|||
|
общей формулы |
(6) |
задачи |
|
|
1.1.5 при 0 = л:/2. |
|
|
|
Сложим теперь поля двух диполей, помня, что их ди
польные моменты смотрят в |
противоположные стороны, |
|
а сами диполи находятся на небольшом расстоянии / друг от |
||
друга. Поступая аналогично задаче 1.1.8, имеем |
||
|
Э£„ |
_ Ъкд12 |
|
Fквадр = |
1 = |
|
Эг |
|
Заметим общую тенденцию: поле одиночного заряда |
||
убывает с расстоянием как 1/г 2, поле диполя - как 1/г 3, по |
||
ле квадруполя - как 1/г 4 |
|
|
1.1.10. |
Взаимодействие полярной и неполярной моле |
|
кул. Неполярная молекула с поляризуемостью Р находится |
||
на большом расстоянии I от полярной молекулы с диполь |
||
ным моментом |
р . Найти модуль силы взаимодействия этих |
|
молекул, если вектор р ориентирован вдоль прямой, прохо
дящей через обе молекулы.
Если полярная молекула обладает дипольным моментом и является источником электрического поля, то неполярная молекула не обладает дипольным моментом и, следователь но, не создает электрического поля. Тогда не очень понятно, о какой силе взаимодействия идет речь? На самом деле непо лярная молекула не обладает дипольным моментом в отсут ствие внешнего поля. Но если молекула попадает во внешнее поле, то она приобретает дипольный момент, пропорцио
нальный этому полю: |
|
р =$е0Е , |
(1) |
где Р - поляризуемость молекулы, определяемая ее конкрет ным видом. Поэтому можно воспользоваться формулой для силы взаимодействия двух диполей, полученной в задаче
1 . 1 . 8:
Р _ 6 крхрг F ~ —
Здесь рх= р , а значение р2 можно рассчитать по формуле
(1), в которой Е - напряженность электрического поля, соз данного полярной молекулой (см. формулу (6) из задачи 1.1.5 при 0 = 0 ),
F _ u p |
|
Е ~ г |
■ |
Окончательно получаем |
|
Ш 2Ре0р 2 _ |
3Рр2 |
V4д2е0/7
1.1.11.Заряженное кольцо и неполярная молекула. На оси тонкого равномерно заряженного кольца радиусом R находится неполярная молекула. Исследовать устойчивость положения молекулы в зависимости от ее расстояния до цен тра кольца.
Как отмечалось в предыдущей задаче, неполярная моле кула, попав в электрическое поле, приобретает дипольный
момент р =$е0Е , где Р - поляризуемость молекулы. В этом случае на нее начинает действовать сила
дЕ
F = р
дх ’
где производная дЕ/дх берется в направлении вдоль сило вой линии (см. задачу 1.1.8). Подставляя сюда выражение для дипольного момента, получаем
•-у ч 1 ос д Е \х) |
( 1) |
а д = - р е , — |
где Е(х) определяется распределением напряженности элек трического поля вблизи молекулы.
В нашем случае электрическое поле создано на оси тон кого равномерно заряженного кольца. Рассчитаем это поле. В силу симметрии задачи очевидно