книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм

1.3.6. Взаимодействие проводящих шариков в одно­ родном электрическом поле. Найти величину и направле­ ние силы взаимодействия между двумя незаряженными про­ водящими шариками радиусом г , помещенными в однород­

ное электрическое поле Е0, направленное параллельно линии, соединяющей центры сфер. Расстояние между цен­ трами сфер R » г .

В предыдущей задаче было показано, что незаряженный металлический шарик радиусом г , находящийся в однород­ ном электрическом поле Е0, эквивалентен точечному дипо­

лю с дипольным моментом р{= 4тсе0ггЕ0. Если же в это поле поместить точно такой же второй незаряженный металличе­ ский шарик, то в общем случае его дипольный момент рг

уже не будет равным ру. Это происходит потому, что второй шарик помещается уже в неоднородное поле (оно было одно­ родным только для первого шарика). Но если расстояние ме­ жду шариками R достаточно велико по сравнению с разме­ рами шариков, то можно пренебречь искажением поля и счи­ тать, что второй шарик также находится в однородном электрическом поле напряженностью Е0. Таким образом, наша задача сводится к расчету силы взаимодействия двух одинаковых точечных диполей, дипольные моменты которых направлены вдоль соединяющей их прямой. Поэтому вос­ пользуемся готовым решением из задачи 1.1.8:

F =2E I £I _

2яе0/?4 ’

где Pi = р2=4тге0г3£0. Окончательно получаем

„24тх&0г6Е02

f = ' R‘ ’

и эта сила будет силой притяжения.

Решите эту же задачу, если вектор Е0 перпендикулярен линии, соединяющей центры шариков. (Ответ:

водящей плоскости. Над бесконечной проводящей плос­ костью на расстоянии I от нее находится точечный заряд q .

Определить поверхностную плотность зарядов, индуцирован­ ных на плоскости, как функцию угла 0 между перпендикуля­ ром к плоскости и направлением на данную точку.

Это классическая задача на ис­ пользование метода электрических изображений. В соответствии с этим методом можно убрать проводящую плоскость и заменить ее электриче-

Вским изображением заряда q . Ранее мы выяснили, что изображением за­ ряда q в бесконечной плоскости бу­ дет заряд q ~~q, расположенный по другую сторону плоскости на таком же расстоянии I , что и заряд q . Ото­

бразим одну из силовых линий, про­ ходящих через рассматриваемую точку плоскости (рис. 1.33). Полное поле вне проводника (вектор Е ) в любой точке явля­ ется суммой двух векторов - Е+ (от заряда +q) и Ё_ (от заряда - q ). Вблизи поверхности проводника

1 Ч

4теп

Тогда модуль Ё

Е = 2- 1 Ч C O S0,

4пеп г2

итак как r =l! COS0 , TO

Е—— ~ _ c o s3 0. 2яе0г

Всилу связи плотности индуцированных зарядов и поля вблизи проводника получаем

Полный индуцированный заряд на бесконечной плоско­ сти АВ равен и противоположен по знаку заряду q . В этом легко убедиться непосредственным интегрированием выра­ жения (1) по плоскости АВ. Для этого разобьем плоскость АВ на тонкие кольца радиусом х и шириной dx. Тогда пол­

Еще проще воспользоваться теоремой Гаусса. Окружим заряд q и индуцированные заряды бесконечно удаленной

сферой с центром в точке О . На полусфере, проходящей внутри проводящей среды, поле и его поток равны нулю. На полусфере, проходящей в вакууме, поле совпадает с полем диполя, а потому обратно пропорционально кубу радиуса. И так как сама поверхность полусферы возрастает пропор­

ционально квадрату радиуса, то поток вектора Е через нее в пределе г —» °° обращается в нуль. Тогда по теореме Гаусса должен обращаться в нуль и полный заряд внутри данной сферы. Но этот заряд равен q + q ^ , значит, q ^ =- q .

13.8. Заряд между двумя проводящими плоскостями. Точечный заряд q находится между двумя большими парал-

дельными проводящими пластинами А и В , отстоящими от заряда на расстояния /, и /2. Найти полные заряды ql и q2, наведенные на каждой из пластин, если пластины соединены проводом.

Распределение поля между пластинами носит довольно сложный характер (рис. 1.34, а). Поэтому попробуем так ви­ доизменить постановку задачи, чтобы поле выглядело более

Р

б

Рис. 1.34

просто, но это никак не повлияло бы на ответ. Будем рассуж­ дать следующим образом. Что произойдет, если заряд q пе­ реместить в другую точку плоскости Р ? При этом, очевидно, изменится только распределение индуцированных зарядов на плоскостях А а В, сами же заряды q{ и q2 останутся преж­

ними: индуцированные заряды просто перемещаются вместе с зарядом q . Если же поместить на плоскость Р несколько точечных зарядов, то вследствие принципа суперпозиции ка­ ждый заряд индуцирует на плоскостях А и В такие заряды, как если бы он был один. Поэтому, если нас не интересует распределение индуцированных зарядов, а только их величи­ на, то заряд q можно равномерно «размазать» по всей плос­ кости Р с некоторой плотностью а . От этого индуцирован-

ные заряды не изменятся, а задача становится совсем простои, так как мы приходим к однородному полю (рис. 1.34, б). Заме­ тим, что снаружи пластин А и В поля нет! Из этого сра­ зу следует

ст = -(а , + а 2), где а, и ст2 - поверхностные плотности зарядов пластин А

и В. Причем эти плотности связаны с напряженностью по­ лей Ех и Ег соотношениями

Аналогичный вид имеют и выражения для искомых за­ рядов qx и q2 через заряд q .

Решение этой задачи с помощью метода изображений весьма затруднительно: необходим бесконечный ряд фиктив­ ных зарядов, располагающихся на разных расстояниях по обе стороны от пластин А и В . В итоге мы приходим к беско­ нечному ряду знакопеременных слагаемых, суммирование которого не совсем просто. И задача резко упрощается, если заряд q поместить посередине между пластинами А и В.

В связи с этим рассмотрим такую задачу.

Посередине между заземленными проводящими пласти­ нами 1 и 2 находится точечный заряд q . Расстояние между пластинами 21. Найти плотности индуцированных зарядов в точках А и В (рис. 1.35, а). Краевыми эффектами пре­ небречь.

1 2

А В

Я

о распределении индуцированных зарядов по проводящей плоскости. Согласно ей одиночный заряд q индуцирует на

каждой проводящей плоскости напротив себя заряд с по­ верхностной плотностью

Я

о = - (1)

lid 2 '

Казалось бы, что это и будет ответом нашей задачи. Это не совсем так. Действие индуцированных зарядов эквива­

лентно симметрично расположенным зарядам q{m = g2(1) =

= - q . Их величина и расположение подбирались так, чтобы

потенциал проводящей плоскости, в которой производится

отражение, был равен нулю. Но теперь заряд д,(1) даст нену­

левой вклад в потенциал второй плоскости (как и заряд q2w

в первой плоскости). Для того чтобы исправить ситуацию,

придется добавить еще заряды <7,(2> = q22) = q , расположен­ ные симметрично проводящим плоскостям А и В на рас­ стояниях уже 31. Легко сообразить, что этот процесс необхо­ димо продолжать и дальше, располагая отраженные заряды на расстояниях 51,11 и т.д. и при каждом отражении изме­ нять знак заряда на противоположный. Таким образом, кар­ тина расположения отраженных зарядов при наличии двух проводящих плоскостей будет выглядеть так, как показано на рис. 1.35, б. На нем обозначено: q - реальный заряд, qxw -

л-е отражение заряда q в первой проводящей плоскости, q2(n) - л-е отражение заряда q во второй проводящей плос­ кости (аналогичная картина наблюдается и в оптике при на­ личии нескольких зеркал). Все эти заряды одинаковы по мо­ дулю, но у них разные знаки (при каждом последующем от­ ражении знак изменяется на обратный).

В итоге полную плотность индуцированных зарядов на каждой плоскости в точках А и В можно представить в виде бесконечного ряда убывающих знакопеременных слагаемых. В соответствии с формулой (1) и рис. 1.35, б имеем

Этот ряд сходится достаточно быстро и с точностью по­ рядка одного процента (отбрасывая все члены, начиная с 132) получаем

ол = ав = -0,1Л 5^.

13.9. Проводящий шар и точечный заряд. Полая про­ водящая сфера радиусом R имеет заряд Q . В сфере имеется малое отверстие. Как будет меняться потенциал сферы, если точечный заряд q перемещать из бесконечности через отвер­

стие внутрь сферы (рис. 1.36)?

объем сферы является эквипотенциальным. В силу принципа суперпозиции потенциал любой точки поля можно опреде­ лить как

Ф= Ф<7+ФG’

где ср9 и сре - потенциалы, создаваемые точечным заря­

дом q и полным зарядом сферы. При этом следует помнить, что на исходный заряд сферы Q накладываются еще инду­ цированные заряды, но их сумма в силу закона сохранения заряда всегда равна нулю. Так как потенциал всех точек сфе­ ры одинаков, то проще всего найти его для точки О (центр сферы). Только для этой точки характер распределения заря­ дов на поверхности сферы никак не влияет на значение по­ тенциала:

Второе слагаемое было получено интегрированием по всем бесконечно малым зарядам сферы, которые независимо от их распределения отстоят от центра сферы на одинаковое расстояние R.

Как только заряд q «въедет» внутрь сферы, он создаст такое распределение индуцированных зарядов на внутренней поверхности сферы, при котором их поле и поле точечного заряда в толще стенок сферы в сумме обратится в нуль.

Откуда

/

Я =

Именно таким способом можно зарядить металлический шарик, не прикасаясь к нему никаким другим заряжен­ ным телом.

1.3.10. Взаимодействие точечного заряда и металли­ ческого шара. С какой силой притягивается точечный за­ ряд q к незаряженному заземленному металлическому шару

радиусом R ? Заряд находится на расстоянии I > R от центра шара (рис. 1.38). Какова мак­ симальная и минимальная по­ верхностная плотность инду­

Оцированного заряда шара?

Не очень понятно, о какой силе взаимодействия идет речь. Ведь по условию задачи сфера незаряжена. На самом

деле эта сфера была незаряжена до заземления и поднесения

кней точечного заряда. После заземления, как было показано

впредыдущей задаче, на сфере появляется заряд. Кроме того, эта сфера находится во внешнем неоднородном поле точеч­ ного заряда. Это поле приводит к неоднородному поверхно­ стному распределению индуцированных зарядов на сфере, что также обусловливает притяжение.

Так как сфера S заземлена, то ее потенциал равен нулю. Величина точечного заряда q и его расстояние до центра

сферы I =0 0 ' заданы. Этими условиями решение электро­ статической задачи определяется однозначно. Поля внутри проводящей сферы нет. Для определения же поля вне сферы воспользуемся методом изображений. В соответствии с этим методом задача об электрическом поле заряда, расположен­ ного по одну сторону от проводящей поверхности, сводится