книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм

Здесь Г[ и r2 - внутренние сопротивления генератора

и аккумулятора соответственно.

Решив систему уравнений (1МЗ) относительно /2, по­

лучаем

( r , - ^ 2) /? - g 2rt

h = -

г, (г2 + /? ) + г2/?

Отсюда видно, что если

R>

* г - * г

то аккумулятор находится в режиме зарядки, если же

Входящие сюда значения разносги потенциалов

(ср, -<р2) и (ф2 - Фз) можно найти из закона Ома для соот­

ветствующего участка цепи. Чтобы воспользоваться этим за­ коном, нам придется выбрать предположительные направле­ ния токов не только на интересующих нас участках, но и на всех остальных участках цепи (см. рис. 2.16). Тогда для уча­

ток 1Х. Понятно, что его значение связано со всеми осталь­ ными токами цепи, поэтому нам придется воспользоваться правилами Кирхгофа. Запишем второе правило Кирхгофа для контура /?3,/?2, аг2:

Последнее недостающее уравнение (токов три, а урав­ нений только два) получим по первому правилу Кирхгофа

После решения системы уравнений (5)-(7) относительно /, находим

Влокальной форме закон Джоуля-Ленца представляют

ввиде

где <2уд - удельная тепловая мощность тока (теплота, выде­

ляемая за единицу времени в единице объема проводника); р - удельное сопротивление; j - плотность тока. Это урав­ нение представляет собой наиболее общую форму закона Джоуля-Ленца, применимую к любым проводникам вне за­ висимости от их формы, однородности и природы сил, рож­ дающих электрический ток. Если же в проводнике действуют только кулоновские силы, то на основании закона Ома мож­ но написать

где Е - напряженность электрического поля.

По отношению к закону Джоуля-Ленца существует принцип, согласно которому токи и напряжения в цепи, со­ стоящей из линейных (подчиняющихся закону Ома) элемен­ тов, распределяются таким образом, что диссипируемая в те­ пло мощность минимальна. Для иллюстрации этого принци­ па найдем распределение токов в каждом из трех

В соответствии с указанным выше принципом нам необ­ ходимо найти значения токов/,,/2, / 3, обеспечивающих ми­ нимум выражения (1) при выполнении условия

Это известная задача об отыскании условного экстрему­ ма функции нескольких переменных. Применим для ее ре­ шения метод Лагранжа. Следуя этому методу, найдем дифференциалы выражений (1) и (2) и положим их равны­ ми нулю:

Затем составим выражение

kf ( 2 l kRk +X)dIk = 0 ,

*=1

где X - лагранжев множитель, не зависящий от всех пере­ менных 1к. Его выберем так, чтобы коэффициент при dlx

обратился в нуль. В этом случае будут равны нулю и коэф­ фициенты при остальных dlk, так как переменные /2, / 3 можно принять за независимые. Тогда приходим к системе уравнений

Добавляя к этим уравнениям еще условие (2), получаем полную систему уравнений для определения неизвестных то­ ков /Р /2, / 3 и коэффициента А, обеспечивающих минимум выделяемой тепловой мощности (величина А играет только вспомогательную роль и нам в дальнейшем не потребуется). Из этой системы линейных уравнений нетрудно найти

_ j _____ *2 * 3 _____

Заметим, что этот же результат можно было получить и иначе, если вспомнить, что напряжения на всех трех парал­ лельно соединенных сопротивлениях одинаковы. Но теперь мы знаем, что такому распределению токов соответствует минимум тепловой мощности.

лезной мощностью) от величины сопротивления. Пусть ЭДС источника равна «Г и его внутреннее сопротивление - г То­ гда мощность, рассеиваемая на внешнем сопротивлении R ,

P = I 2R,

где I - сила тока, определяемая из закона Ома для замкну­ той цепи

R +r '

С учетом этих формул имеем

И для нахождения ЭДС при известном значении мощно­ сти Рх= P{RX) = P(R2) не хватает только внутреннего сопро­ тивления г Для его определения подставим последователь­ но в (1) R = Д, и R =R2 и приравняем мощности

Тогда из (1) находим (например, при R = Д,)

Обсудим теперь более подробно полученное нами вы­ ражение для полезной мощности (1). Для этого отобразим его на рис. 2.18. Видно, что одно и то же значение мощности, меньшей некоторого максимального Р ^ , может быть дос­ тигнуто при двух значениях сопротивления нагрузки Д,

иR2 (и соответственно при двух значениях тока /). Значения Л,

иД2 связаны соотношением (2). Если допустить, что Л, = г , то

Рис. 2.18

должно быть и R2 = г. Очевид­

но, что это возможно только для максимального значения мощности Ртх - Отсюда приходим к тому, что максимальное значение мощности от источника с внутренним сопротивле-

нием г будет отбираться только в том случае, если сопро­ тивление нагрузки тоже равно г . А само максимальное зна­ чение мощности составляет

Этот вывод можно было получить и иначе, исследуя вы­ ражение (1) на максимум стандартными методами. Заметим, что при максимальной полезной мощности коэффициент по­ лезного действия (КПД) источника тока Г) не достигает мак­

симума. Исходя из определения для КПД, нетрудно получить

и при максимальной мощности его значение составляет всего 50 % (вторая половина развиваемой мощности источника идет попросту на его нагревание).

тепловую мощность. Подставив (4) в (2), находим значение этой мощности

Р(ч* 2 + 'А ) ( п * г 2)

4ГЛ

2.23. Мощность лампочки. Лампочку, соединенную параллельно с резистором сопротивлением R =2,0 Ом, под­ ключили к источнику с ЭДС % = 15 В и внутренним сопро­ тивлением г = 3,0 Ом. Какая мощность выделяется на лам­ почке, если зависимость тока от напряжения на ней имеет вид, показанный на рис. 2.20?

Отобразим рассматриваемую цепь на рис. 2.21. В нее входит нелинейный, т.е. не подчиняющийся закону Ома эле­ мент - лампочка (отображена кружком с крестиком). Исполь­ зовать для расчета ее мощности соотношение P = I 2R мы не можем, так как неизвестно сопротивление лампочки. Бо­ лее удобным является выражение Р =Ш , так как значения

1с_I__I—I_1-----1----1

02 4 6 8 U, В

Рис. 2.20

тока и напряжения связаны известной вольт-амперной харак­ теристикой лампочки (см. рис. 2.20). Посмотрим теперь, как ею можно воспользоваться независимо от способа ее задания (в виде графика или аналитически).