книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм
.pdfугольника расстояние между крайними шариками не будет дальше уменьшаться, а начнет возрастать. Таким образом, относительная скорость шариков в этот момент обращается в нуль, т.е. все шарики имеют одну и ту же скорость, равную скорости центра инерции системы vc . Из закона сохранения импульса следует
VC = T V. |
( 1 ) |
Обратимся теперь к закону сохранения энергии:
W, +—mvz = W2 |
+—3mvJ |
(2) |
|
1 2 |
2 |
2 с |
|
Здесь Wj - энергия взаимодействия шариков, когда они были на одной прямой; W2 - энергия взаимодействия шариков, об разующих равносторонний треугольник. На практике, если число образующих систему зарядов не очень велико, полную
энергию системы W = —Х<?,ф, представляют как сумму
энергий взаимодействия каждой пары зарядов, на которые можно разбить систему. Необходимо только проследить, чтобы каждая пара зарядов встречалась только один раз. На пример, для нашего случая
|
|
W=Wn +Wl3+W]3, |
|
||
1 |
M j |
- расстояние между зарядами q, и qj. |
|||
где WH= - ---------- , |
|||||
" 4 ra ;0 |
тц |
|
|
|
|
Используя такое представление, нетрудно получить |
|
||||
|
W=- 5q_ |
W,= |
3g |
(3 ) |
|
|
|
8яе0/ |
|
4те0/ |
|
Решая систему уравнений (1)—(3), находим минималь ную скорость
V - C E I '
у 8пе0т1
1.6.2. Электрон внутри проводящей сферы. В центр заземленной проводящей сферы радиусом R поместили электрон и толчком сообщили ему небольшую скорость. Ка
кой скоростью он будет обладать на расстоянии х = r\R, где
0<т|<1?
Так как внутри незаряженной проводящей сферы нет никакого электрического поля, то сразу появляется вопрос: а почему электрон должен изменить скорость? Вначале, ко гда электрон был в центре сферы, поля на самом деле не бы ло. И хотя электрон индуцирует заряды на поверхности сфе ры, они располагаются равномерно и не создают поля. Изме нение положения электрона приводит к перераспределению индуцированных зарядов (их плотность возрастает в направ лении движения электрона), что является причиной появле ния электрического поля внутри сферы и соответственно увеличения скорости электрона.
Обратимся к решению задачи 1.3.10 (взаимодействие точечного заряда и металлического шара). В ней было пока зано, что точечный заряд q , находящийся вне проводящей сферы, индуцирует на ее поверхности заряд, эквивалентный точечному заряду-изображению q ', располагающемуся внут ри сферы. Кроме того, заряды q и q' обладают свойством взаимности: если q является электрическим изображением заряда q , то справедливо и обратное - заряд q является изо бражением заряда q' Таким образом, наша задача сводится
к нахождению величины и положения электрического изо бражения электрона, находящегося внутри сферы. И если за-
тем определить их силу взаимодействия, то мы всегда можем рассчитать скорость электрона. Весь этот анализ был нами проделан в задаче 1.3.10, поэтому приведем только готовое выражение для силы взаимодействия:
F = 1 |
( 1) |
4яе0 |
|
Здесь q - заряд, находящийся за пределами сферы, на расстоянии I от ее центра (рис. 1.60). Величина зарядаизображения q , находящегося внутри сферы, связана с заря дом q соотношением
|
|
q l |
(2) |
В |
соответствии |
со |
|
свойством взаимности |
бу |
|
дем полагать, что нам задана величина q = -е (заряд электрона). Тогда из (2) на ходим
el
Положение электрона будем задавать через его рас стояние от центра сферы х . Из рис. 1.60 нетрудно найти связь х и I :
1 = R2
(треугольники О'С'А и 0 0 'А |
х |
подобны). Теперь мы можем |
|
переписать равенство (2) в виде |
|
1 |
егхг |
F (*) = |
|
4тео R(R2- x 2)2 '
Это и будет выражением для силы, действующей на электрон, находящийся внутри сферы, на расстоянии х от ее центра.
И теперь для определения закона изменения скорости электрона воспользуемся тем, что работа силы F идет на изменение его кинетической энергии. Для этого вначале рас считаем работу силы F :
(3)
Используя последовательную замену переменных и - х2
и £ = R2- и , перепишем выражение (3)
Этот интеграл выражается через элементарные функ
ции:
Осталось только приравнять это выражение кинетиче
ской энергии электрона mv212. Таким образом, в итоге для скорости электрона, находящегося на расстоянии х от цен тра сферы, получаем
где ц = х / R . Это выражение нельзя использовать при x —>R
(т.е. при т) —) 1), так как скорость обращается в бесконеч
ность (изображение электрона приближается к нему самому, и сила взаимодействия стремится к бесконечности). В этом заключается один из недостатков модели точечного заряда.
1.6.3. Энергия индуцированных зарядов. Точечный заряд q находится на расстоянии I от бесконечной прово дящей плоскости. Найти собственную энергию индуциро ванных зарядов на плоскости.
Так как индуцированные заряды распределены по плос кости с некоторой поверхностной плотностью а ', то их соб ственную энергию запишем в виде
( 1)
Распределение индуцированных зарядов по проводящей плоскости при нахождении около нее точечного заряда q мы рассматривали в задаче 1.3.7, и для него было получено вы ражение
а '(0 ) = — ~ r-c o s 3 0 ,
О/тт/^
2л/
где 0 - угол между перпендикуляром к плоскости и направле нием от заряда q на данную точку плоскости (см. рис. 1.33). Предполагая в дальнейшем интегрирование по плоскости, удобно выразить а' через расстояние х от основания перпендикуляра до данной точки плоскости. Так как
cosQ =l/yjx2+ /2 , то
Формула (1) требует также знания распределения по тенциала по проводящей плоскости. В общем случае это дос таточно трудная задача, но в нашей ситуации положение уп
рощается. В соответствии с идеологией метода изображений все индуцированные заряды плоскости эквивалентны точеч ному заряду q' =- q , расположенному на расстоянии I по другую сторону плоскости от заряда q Это значит, что по тенциал любой точки плоскости, на которой находятся инду цированные заряды, просто равен потенциалу, создаваемому зарядом q в данной точке:
<р = - |
Ч |
|
4яе0 (l2+х2)1/2 |
||
|
С учетом симметрии задачи элемент dS удобно взять в виде тонкого кольца радиусом х и толщиной dx :dS =2nxdx. Тогда для энергии взаимодействия запишем
W = —f------- —------------------ ---------- 2nxdx.
2 о 2%{l2+ х2)3/2 4яе0 {l2+ х2 )Ш
Взять этот интеграл не составляет труда, и окончательно получаем
W=-
16яе0/
1.6.4. Складывание треугольника. Равномерно заря женный лист, имеющий форму прямоугольного равнобед ренного треугольника, сложили по диагонали вдвое (рис. 1.61). При этом была совершена работа А против сил электрического поля. Какую работу А' нужно совершить, чтобы еще раз также сложить по
лученный треугольник?
При сгибании треугольника внешние силы производят работу против кулоновских сил отРис 1.61 талкивания. Прямой расчет этой работы явля
ется сложной в техническом плане задачей. Поэтому разумно определить работу через изменение энергии взаимодействия зарядов системы. Главным свойством энергии взаимодейст вия является ее независимость от пути перехода в данное со стояние. Поэтому будем считать, что мы не согнули тре угольник пополам, а всесторонне сжали его, уменьшив пло щадь в 2 раза. Как при этом изменится собственная энергия зарядов полученной фигуры? Для ответа на этот вопрос разо бьем заряженную поверхность на бесконечно малые элемен ты с зарядом 5q. и запишем выражение для энергии их взаи модействия
£ i
Представим теперь это выражение так, чтобы в него яв но вошли геометрические параметры системы. Входящее сю да значение ф, представляет собой потенциал в месте нахо ждения заряда 5<7,, созданный всеми остальными зарядами системы. В соответствии с принципом суперпозиции его можно представить в виде
Ч
Ф/=Е
j* 4яе0 ij - гА
где |г - гу| - расстояние между зарядами 5<у, и 4 . Теперь энергия взаимодействия может быть записана как
щ>\г{-г л
Каждое слагаемое этой двойной суммы обратно рас стоянию между любыми двумя бесконечно малыми элемен тами, на которые мы разбили систему. При сжатии треуголь
ника с сохранением подобия его площадь уменьшилась в 2 раза, следовательно, расстояние между любыми его точ
ками уменьшилось в Я раз. Значит, собственная энергия
системы выросла в л/2 раз. Если энергия всех зарядов тре угольника вначале была Wx, то после первого сгибания она
станет W2 =y[2Wx. Изменение энергии должно |
быть равно |
|||||
работе внешних сил, т.е. |
|
|
|
|
||
|
W2 -W l =A^>A =Wx( j i - \ ) . |
|
(1) |
|||
После второго сгибания энергия станет W, = \flW 2, тогда |
||||||
А' =W3- W2 = ( J l - 1)W2 = |
(72 - 1)Wx. |
|
||||
|
Откуда |
с |
учетом (1) |
получаем |
||
|
А' =>р2А. |
|
|
|
|
|
|
Решите |
самостоятельно |
следую |
|||
|
щую задачу. Равномерно |
заряженные |
||||
|
грани правильного тетраэдра (рис. 1.62) |
|||||
|
имеют одинаковый заряд. Чтобы сло |
|||||
Рис. 1.62 |
жить две грани тетраэдра вместе, необ |
|||||
ходимо совершить работу |
А против |
|||||
|
сил электрического поля. Какую работу нужно совершить, чтобы сложить все грани тетраэдра в одну стопку? (Ответ:
А' =6А)
1.6.5. Энергия точечного заряда. Найти энергию элек трического поля точечного заряда q в пустом полупростран стве, которое ограничено плоскостью, отстоящей от заряда на расстояние I .
Мы уже знаем, что энергию электрического поля в лю бом случае можно определить по формуле
W = \ ^ E 2dV
Единственная |
здесь неприят |
|
ность заключается в выборе эле |
|
|
мента объема dV |
Все эти элемен |
|
ты, во-первых, должны заполнить |
|
|
все полупространство и, во-вто- |
Я |
|
рых, необходимо |
как-то учесть |
рИс. 1.63 |
симметрию задачи. Эти требования |
|
будут удовлетворены, если в качестве dV |
взять тонкий сфе |
||
рический |
сегмент радиусом |
r - a + h |
и толщиной dh |
(рис. 1.63). |
Известно, что |
объем |
такого сегмента |
dV = 2nh[a + h)dh. Тогда для энергии поля запишем
|
- 2 |
|
<7 |
2пh(a + h)dh. |
|
4пе0(я + Л)" |
||
|
Такой интеграл нетрудно взять с использованием заме ны переменных, и в итоге получаем
W = Я2 32т1£0а
1.6.6. Заряд внутри проводящего слоя. Точечный за ряд q находится в центре сферического незаряженного про водящего слоя, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно а и Ъ (рис. 1.64). Какую работу со вершат кулоновские силы при пе ремещении заряда через малое от верстие на очень большое расстоя ние от сферического слоя?
Эта задача похожа на рас смотренную ранее задачу 1.6.2.
Здесь также можно было бы вос |
|
пользоваться методом изображе- |
Рис. 1.64 |
ний, однако более целесообразно исходить из того, что рабо та кулоновских сил при перемещении заряда должна быть равна убыли энергии системы. Под энергией следует пони мать энергию электрического поля. Вначале, когда заряд q
находился в центре сферического слоя, поле существовало во всех точках пространства кроме сферического проводящего слоя с радиусами а и Ъ. После удаления заряда в бесконеч ность электрическое поле появится во всех точках, так как проводящий слой находится бесконечно далеко от заряда
ивлиянием этого слоя можно пренебречь. Таким образом, электрическое поле изменится только в сферическом слое
итогда работа кулоновских сил при перемещении заряда q
будет равна энергии поля в пределах сферического слоя со знаком минус
A =- \ — E2dV
1 2
Подставляя сюда E =q/4Ttz0r2 и dV =4nr2d r, получим
после интегрирования по г от а до Ъ:
A =s L s z l <о.
8та0 a b
Можно использовать и несколько иную трактовку рабо ты А . После удаления точечного заряда q в бесконечность
исчезнут индуцированные заряды на внутренней и внешней поверхностях проводящего сферического слоя. А так как их поле было направлено против поля точечного заряда q , то
вцелом энергия электрического поля во всем пространстве возрастет, и изменение энергии поля будет равно энергии по ля индуцированных зарядов.
1.6.7.Стержень внутри расширяющегося канала. Вдоль оси длинного цилиндрического канала, вырезанного
впроводнике, пролетает тонкий стержень, линейная плот