книги / Применение методов теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений
..pdfволновыми числами. При этом с увеличением k lk0 отношение спект ральных плотностей S Vl(k) и S Wl(k) стремится к единице. Сделанные выводы проиллюстрированы на рис. 15, где кривая 1 соответствует пер вым трем членам правой части формулы (13), а кривая 2 — последне му члену*.
Влияние неоднородностей на распределение изгибающих моментов балки носит еще более своеобразный характер. Нетрудно видеть, что выражение, стоящее в скобках в формуле (12), имеет точный минимум при k = k0. Таким образом, отношение спектральных плотностей Smi(k) и S r(k) становится максимальным при k = k„. Это означает, что систе
ма балка—упругое основание обладает избирательной способностью по отношению к неоднородностям, волновые числа которых близки к собственному волновому числу k0. Типичные зависимости спектраль ной плотности изгибающего момента от волнового числа представлены на рис. 16. Как и на рис. 15, кривая 1 отражает влияние неравномер ности нагрузки, неравномерности жесткости основания и начальную неровность основания; кривая 2 характеризует влияние начальных искривлений балки.
Избирательные свойства системы балка — упругое основание про являются также и„в следующей задаче. Допустим, что балка нагре вается от начальной температуры Т0, при которой осевая сила в балке равна нулю, до температуры Т0 + АТ. При этом возникает сжимаю щая сила
N = aEFAT. |
(14j |
Здесь EF — жесткость балки при сжатии; а — коэффициент линейного температурного расширения. Температурными деформациями упру гого основания, тангенциальными силами сцепления и т. п. пренебре гаем. Уравнение изгиба балки с учетом осевой силы получается из уравнения (1) добавлением в левую часть произведения осевой силы
* Графики на рис. 15—16 носят качественный характер; при этом принято, что в рассматриваемом диапазоне волновых чисел спектральные плотности S qt(k),
Sc (k), SUi(k) и S w (k) изменяются достаточно медленно.
Ш
числа которых близки к собственному волновому числу k0. Рассмотрим, например, значение спектральной плотности 5т , (&) при k = k0. При увеличении АТ от нуля до 1\ А Т ^ это значение возрастает в 4 раза. При
АТ = 3/4 ДГ* значение спектральной |
плотности SOTl(£0) увеличивается |
в 16 раз по сравнению с начальным значением. |
|
Изложенная теория неоднократно |
подвергалась эксперименталь |
ной проверке как в лабораторных, так и в полевых условиях. Кратко остановимся на результатах полевых испытаний, изложенных в статье [59]. Испытания проводились на трубопроводах (волноводах) из стали
и стеклопластика, прокладываемых в грунте на глубине около 1,6 м. На дне траншеи устраивалась песчаная подушка толщиной приблизи тельно 0,2 м. На нее укладывались железобетонные плиты, а на плиты насыпался слой песка толщиной около 0,2 м, который служил основа нием для трубопровода. Сверху давался еще слой песка толщиной при близительно 0,2 м, после чего траншея засыпалась грунтом.
Как показали предварительные исследования, основной причиной неоднородности деформаций трубопроводов является неоднородность основания. Свойства основания изучались путем погружения в него штампов с подошвами, форма которых повторяла форму трубопровода. Штампы располагались вдоль прямой линии; расстояние между цент рами штампов составляло Я = 55 мм. Каждая серия испытаний содер жала измерения в п — 90 точках. Вычисление статистических оценок Для математического ожидания и дисперсии коэффициента жесткости
/=i |
/= 1 |
а также для корреляционной функции |
|
j |
п— т |
Ке (ml) = ~ |
- ^ (ci+m — < с » (Cj— ( c ) ) |
6 Зак. 1481 |
113 |
где г)у(лг)—функция ошибок измерения. Замечая, что функции в раз ных измерениях между собой не коррелируют, легко получим формулу для спектральной плотности ошибок:
(A) = -J"Sx,-*,(*)•
Здесь S Kt-x,(k) —спектральная плотность разности х2(х) —Xi(x). Пос ле того как спектральная плотность £,,(£) найдена, можно вычислить исправленную спектральную плотность кривизны:
(k) = Sn.{k)—Sn(k).
Как показывают измерения, функция ошибок г\(х) в диапазоне вол новых чисел до Зк0близка к белому шуму. При этом интенсивность шума может составлять до 25—30% измеряемой спектральной плотности. Поэтому исключение ошибки датчика совершенно необходимо.
На рис. 20 представлены результаты вычислений спектральной плотности кривизны после ее исправления с учетом начальной кривиз
ны оси |
и случайных ошибок датчика (кривая /). Приведем дополни |
||
тельные |
сведения о трубопроводе: его изгибная |
жесткость |
EJ = |
= 0,58 |
108 кГсм2, а собственное волновое число |
k0 = 0,0221 |
см-{. |
Нагрузка от веса грунта на единицу длины трубопровода составляла % = 8,9 кГсм-K На график нанесена также теоретическая зависимость (кривая 2). Если принять во внимание большоечисло еделан-
“допущений, ТО «ож/о
ментом — удовлетворительное согласие, м этом можно найти в статьях [57—59].
б*
Эта система состоит, по существу, из известных «уравнений пяти моментов». Поскольку параметры lh bj и hj являются случайными, то эта система будет стохастической. Представляется целесообразным получить решение этой системы, пригодное для любого числа пролетов, в том числе—для бесконечного числа пролетов. Заметим, что по отно шению к входным параметрам lj и bj система (21) является нелинейной; по отношению к начальным смещениям опор А/ система будет линейной! Чтобы получить достаточно простое решение, учитывающее все три груп пы случайных факторов, будем считать, что флуктуации длин проле тов и коэффициентов податливости достаточно малы. Это значит, что длины пролетов lj и коэффициенты податливости bj мало отличаются от средних значений. При этом условии можно положить
h ~ А) ~Ь р//, |
b j ~ b 0-\- \ibj, |
где /0 и Ь0 — средние значения, |
р/;- и pfy — флуктуационные состав |
ляющие, ар. — параметр малости, который после выполнения выкла
док полагается равным единице. Кроме того, примем, |
что h} = рhj. |
|
Решение системы (21) ищем в виде ряда по степеням р |
|
|
\ |
|
|
= |
+ ... |
(22) |
Для вычисления первого члена ряда М </) имеем обычные уравнения строительной механики. В частности, при бесконечно большом числе
пролетов легко находим, что все моменты |
равны и составляют |
|
(23) |
Уравнения относительно следующего члена получим, удерживая члены, содержащие первые степени малого параметра. После введения обозначений
|
6 E Jb 0 . |
(24) |
|
|
|
Qj — — |
(b~^h+0 |
1—2А;+ hj+i) — |
h |
l0 |
|
— Tj— Ti+i+Ti+2) - |
( V . - 2 bj+bj+i) (25) |
|
ll |
l° |
|
система переписывается в виде |
|
|
а М \—2 + (1—4а) Л4}1\+ (4 + 6а)Ж<1)+ (l-4a)/MjVi + |
||
|
+ aMi+2 = Qj- |
(26) |
Уравнения (26) представляют собой регулярные уравнения в ко нечных разностях. Вводя обозначения для вторых и четвертых раз ностей
у 2 Mj = Af/+i —2Mj + M / - i ;
V4 Mj = Mi+2— 4УИ/+i + 6Mj— 4УИ;-_i + УИ/_2,
а также обозначая
|
|
у _ //+Х'+1 |
|
|
|
|
можем записать уравнения |
(26) в |
виде |
|
|
|
|
|
aV4^ / U + V2 М<-1)+6Л4)1) = |
|
|
|
||
12М0Ху |
6EJ |
~ |
6qb0EJ |
6qEJ |
~ |
(27) |
= -------- 7 |
72 V 2 hj |
~2 V2 |
77 |
V2 О;- |
||
*« |
‘о |
|
‘о |
0 |
|
|
Пусть число пролетов весьма велико, чтобы можно было отвлечься от граничных условий на крайних опорах. Тогда задача сводится к ре шению стохастического разностного уравнения (27), на решение кото рого накладывается требование ограниченности при j - ^ ± o о. Искомое решение построим при помощи разностного аналога функции Грина.
Обозначим через |
Gjk= M (jl) |
матрицу решений разностной системы |
||
(26) с правой частью |
Qj = 8jh. Элементы этой матрицы определяются |
|||
из системы уравнений |
|
|
|
|
aGj—2 ,k+ (1 — 4а) G/_i |
+ (4 + 6а) Gjk+ |
|
||
+ |
(1 — 4а) |
tk+ |
cbG/_|_2 ,k = 8y/i- |
(28) |
Рассмотрим частное решение соответствующей однородной системы, которое как обычно ищем в виде
Gj = СН, |
(29) |
где С—некоторая постоянная, г — характеристический корень. По следний определяется из алгебраического уравнения четвертой степе ни
ar4-f (1 — 4a) r3+ (4 + 6a) г2+ (1 —4a) r+ a = 0. |
(30) |
Уравнение (30) является возвратным. Если г — его корень, то Иг тоже является корнем уравнения. Пусть уравнение (30) не имеет кратных корней. Обозначим через и г2пару корней, меньших по модулю единицы. Вводя обозначения
гг-\-----= х г\ г2-\------ |
= *2 |
Г1 |
г2 |
и замечая, что на основании уравнения (30) |
|
|
х 1 - { - х 2 = 4 ------ ; |
х 1 х 2 = 4 ( 1 -I------) , |
|
а |
[ а |
) |
легко найдем |
|
|
Свойства параметров х1 и х2 и, |
следовательно, свойства корней ха |
рактеристического уравнения (30) зависят от величины а. Пусть а < < 1/24. Тогда Х\ и х 2действительны, отрицательны и по модулю боль ше единицы и, следовательно,
' l = Y ( * ! + ] / * 1 — 4 ) ; |
|
r2 = -i-(X2 + ]/^A'2—4 ). |
(32) |
С учетом формул (31) и (32) вычислим корни характеристического уравнения
+ |
24 |
|
а |
||
|
||
Если а лежит в интервале V24 < а < V4, то лг4 и х 2— комплексно |
||
сопряженные числа: |
|
Re Хл 2 ^ ^ |
^ |
1 |
. / |
24 |
. |
0j ImXj 2— zb — I / |
----------- |
||||
1 ,2 |
|
2 a |
1,2 |
|
2 |/ |
Характеристические корни rx и r2 определяются по формуле
~ |
+ |
i |
I i I |
U |
J |
____ 8 |
|
a 2 |
a |
/ |
2 a 2 ± |
||||
2 a |
|
/ 2 |
a a
a
4 i /z-±-wY~*]/»(±+-*r)-±+il
Наконец, если a > 1/4, то и x2 имеют положительные действительные части. Характеристические корни определяются по формуле, которая получается из последней формулы, если знак перед первым радикалом изменить на противоположный.
Возвращаемся к построению матрицы Грина Gjk. Эта матрица кон струируется из частных решений типа (29), удовлетворяющих усло вию ограниченности при | / — /г| оо. Учитывая условия симметрии