книги / Применение методов теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений

изменяется в небольших пределах. Рассмотрим, например, случайный процесс, спектральная плотность которого принимает постоянное зйачение в диапазоне частот со1 <С со < со2 и равна нулю вне этого диапа­ зона (рис. 53, а). Среднее число положительных пересечений нуле­ вого уровня в единицу времени определяется по формулам (57) и

(59) и составляет

1

М ° > = " Ё г / - Т 'Т Р

где 0 — со3/а>1. Среднее число максимумов в единицу времени, опре­ деляемое по формуле (68), будет

3

Р|/5 '

Вкачестве другого примера рассмотрим процесс, представлЯ(е)щ||1-| собой сумму стохастически независимых узкополосных процессор иил

иv2(t) (рис. 53,6). Типичная реализация такого процесса п о к а з а ,)а рис. 55. Обозначим эффективные частоты процессов vt и v2 чер^3 6Jl „

со2. а их дисперсии через а? и а%■При этом (о2> сор Среднее чи^лС, По ложительных пересечений нулевого уровня составляет

v Ц-Ц- 3 - Л / v2 02+1 v+(0)— 2л У у2 +1 ’

Составляя разность выписанных выражений, получим

Поскольку в правой части соотношения (96) стоит неотрицательная величина, то приходим к соотношению:

для вероятности Q(t) строгую оценку сверху.

Сделанный вывод носит тривиальный характер, если среднее число пересечений уровня v* превышает единицу. Однако в задачах теории надежности среднее число выходов системы из области допустимых состояний должно быть достаточно малым числом. Более того, для вы­ соконадежных систем выброс за пределы допустимой области в про­ странстве качества является весьма редким событием. При этом сред­ нее число пересечений будет весьма мало по сравнению с единицей и для достаточно перемешанных процессов будет иметь тот же порядок, что и вероятность Q(t).

В правую часть соотношения (96) входят вероятности двукратного, трехкратного и т. д. положительного пересечения процессом v(t) уров­ ня v Естественно предполо­

жить, что для широкого класса случайных процессов вероят­ ности многократных выбросов будут пренебрежимо малы по сравнению с вероятностью одно­ кратного выброса, если выпол­ нено условие (98)i. Другими сло­ вами, вероятность обнаружить реализации типа 2 , 3 и т. п. (рис. 57) будет пренебрежимо мала по сравнению с вероят­ ностью обнаружить реализацию

типа 1. Вводя несколько более сильное предположение о том, что пра­ вая часть соотношения (96) мала по сравнению с каждым из слагае­ мых, входящих в левую часть, получим приближенное равенство

Отсюда с учетом соотношения (43) получаем для функции надежности (95) приближенную формулу

будет достаточно сильно перемешанным. Примером сильно переме­ шанного случайного процесса может служить эргоднческий стационар­ ный гауссовский процесс. В качестве примера противоположного типа укажем на синусоидальный процесс с амплитудой, которая изменяется случайным образом от одной реализации к другой (рис. 59). Очевидно, если у такого процесса произойдет однократное положительное пере­

сечение некоторого уровня о*,

(99) и (100) грубую одностороннюю оценку или они позволяют пай™ достаточно точное приближение для вероятности редкого выброса QhH и для функции надежности P(t).

Для узкополосных процессов лучше пользоваться приближенными формулами (99) и (100), подставляя в них вместо N+ и v+ среднее чис­ ло выбросов огибающей. Например, для математического ожидания числа положительных пересечений узкополосным центрированным гауссовским процессом вместо (58) получаем формулу

которой пик спектральной плотности Sc,(a>) полагается симметричным. Другой приближенный подход к задаче об определении вероятности редких выбросов основан на использовании распределения Пуассона

наблюдения, а — математическое ожидание этого числа. Полагая, что

распределение событий следует закону Пуассона, получим, что вероят­ ность наступления k событий за время наблюдения 0 т ^ / состав­ ляет

Явления, которые описываются при помощи такой схемы, называются пуассоновскими потоками событий.

Будем интерпретировать положительное пересечение процессом v(t) уровня v* как событие в пуассоновском потоке. Тогда функция надежности P(t) определяется как вероятность того, что за время 0 ^ ^ т ^ t не произойдет ни одного события. Таким образом, функция надежности определяется по формуле пуассоновского распределения при k = 0. При этом вместо математического ожидания а следует под­

Сравнивая формулу (106) с формулой теории надежности (3), прихо­ дим к соотношению

Таким образом, интенсивность отказов к отождествляется здесь со средним числом положительных пересечений уровня а* в единицу вре­ мени. Если процесс v(t) стацио­ нарный, то лц-(у*)= const; отсюда приходим к экспоненциальному

закону надежности

вень v* и время наблюдения t увеличивались некоторым согласован­ ным образом. Применение этих теорем к практическим задачам затруд­ нительно. К тому же если даже установлено, что условия теорем вы­ полняются, то остается неясным вопрос об абсолютной величине и зна­ ке погрешности при определении функции надежности. В этом смысле

формула (100) имеет то преимущество, что она дает для функции на­ дежности строгую оценку снизу (рис. 60). Заметим, что правая часть формулы (100) представляет собой первые два члена разложения экспо­ ненты (106) в степенной ряд. При выполнении условия (98) формулы (100) и (106) дают весьма близкие результаты. В этом случае следует отдавать предпочтение более простой и надежной формуле (100).

В недавно опубликованной статье В. Ф. Шукайло [122] системати­ чески сопоставлены результаты, которые дают различные приближен­ ные подходы, с опытными данными. При этом сравниваются средние

ний, основанные на приближенном распределении (103). Среднее зна­ чение абсолютного максимума определяется как

00

<».)= j v * p ( v* ) d v t .

Подставляя сюда распределение (103) и интегрируя, получим

При больших значениях аргумента могут быть использованы асим­ птотические представления для функции Пирсона. После упрощения получаем приближенную формулу

]A ln (Ое2лt J

Аналогичные вычисления, основанные на предельной теореме Кра­ мера [125] для процесса с корреляционной функцией типа е~а*х\ дают:

вым. Расхождения между результатами, которые дают формулы (НО) и (111), при этом становятся несущественными. В приведенной ниже

таблице, взятой из статьи [122], приводятся средние значения абсо­ лютного максимума гауссовского процесса, нормированного при а = = О, от- = 1 .

Рассмотрим некоторые обобщения формулы (100). При выводе этой формулы предполагалось, что при t = 0 система находится в допусти­ мой области. Другими словами, полагалось, что при / = 0 функция надежности Р = 1. Если это условие не выполнено, т. е. если возмож­ ны реализации процесса v\t), пока­ занные на рис. 61, то необходимо внести изменения в формулу (100).

Трактуя отказы при t = 0 и при

t > 0 как несовместимые случайные события и заменяя условную ве­ роятность отказа при t ;> 0 ее

ен терминах функций надежности ; ю соотношение принимает вид

P (t)> P (0 ) — N + у*;0<т<ОР(0).

Для высоконадежных систем при выполнении условий, для которых справедлива формула (100), получаем приближенную формулу