книги / Применение методов теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений
..pdfлосные случайные процессы. При выборе схематизации для спектраль ной плотности широкополосных процессов необходимо соблюдать ос торожность. Так, представление входного процесса в виде белого шума, часто применяемое в работах по теории виброзащиты, здесь оказыва ется некорректным, поскольку приводит к расходимости некоторых из интегралов (154)*.
§ 111.11. Н а д е ж н о с т ь и д о л го в е ч н о с ть си стем м а р к о в с к о г о т и п а
В предыдущих разделах для оценки надежности механических систем применялась спектральная теория случайных процессов. Дру гой путь открывает теория марковских процессов, элементы которой были изложены в § 1.10, 1.11. Напомним некоторые сведения.
Пусть эволюция системы в пространстве качества V представляет собой m-мерный марковский процесс v(/) = [у^), v2(t), ...,vm(t)]. Пусть в начальный момент времени t0 система находится в точке v0= (у10, уго, ..., Ут0). Эволюция системы при t > t 0 описывается переходной ве
роятностью p(v, |
1 |
1v„, ta). |
Эта вероятность, трактуемая как функция |
|||
переменных ух, v2, |
..., |
vm, |
t, |
удовлетворяет уравнению |
Колмогорова |
|
(1.150): |
|
|
|
|
|
|
* ~ |
|
2 |
^ |
+ |
т 2 |
(157, |
|
|
/= 1 |
> |
|
1=1 k= 1 1 я |
|
Здесь X; и %jh — интенсивности процесса, определяемые из соотно шений (1.149). Если рассматривать p(v, t | v0, t0) как функцию пере менных Ую, уго» •••. vm0, t„, то вместо (157) получим сопряженное урав нение
- 3 L - |
|
др |
2 |
2 |
“ -* |
д*р |
(158) |
dt0 |
/= ‘ |
dvj0 |
dvio <Чо |
|
|||
/ = 1 |
k=\ |
|
|
где Ху и Xy/t также являются функциями переменных vi0i v20t ...» vmC,
t0.
В дальнейшем для простоты ограничимся системами, у которых интенсивности Ху и xyft от времени явно не зависят**. Переходная ве роятность p(v, 1 1 v0, t0) будет зависеть при этом от разности моментов
времени t — /0. Поэтому |
» |
* Более общую формулировку теории виброзащиты см.: Болотин В. В., «Теория оптимальной виброзащиты при случайных воздействиях». Труды МЭИ, вып. 74, Изд. МЭИ, 1970. Некоторые результаты расчета и моделирования на электронных аналоговых установках даны в статье: Комар Н. М., Окоп ный Ю. А-, Изучение надежности виброзащнтных систем методом электронного
моделирования. Там же.
** Это условие выполняется для стационарных систем, на входе которых заданы стационарные случайные процессы. Эволюция системы при этом, вообще говоря, будет нестационарным процессом.
и уравнение (158) принимает |
вид |
|
|
|
|
||
|
т |
|
|
т |
т |
|
d2p |
д Е = |
У |
1 dv ' |
о |
У |
у х |
J1 |
|
dt |
k= \ |
i= i k= l |
dvJodvko |
||||
01 |
jo |
z |
|
Это |
уравнение решается |
при начальных условиях р = S(v — v0) |
при |
t = t0. В дальнейшем полагаем /0= 0 и записываем переходную |
|
вероятность в виде p = p(v, |
t | v0). |
|
Установим теперь связь между функцией надежности P(t) и пере |
ходной вероятностью p(v, t | v0). Пусть v0 £ Q0, где Q0— допустимая
область в пространстве V (рис. 73). Условная |
надежность |
P(t | v0 |
||||||
есть вероятность случайного события, состоящего в том, |
что си |
|||||||
стема, находившаяся при£ = 0 в точке |
||||||||
v0, |
за |
время |
0 ^ т < [ £ |
ни |
разу не |
|||
выйдет за границу Г области Q0. |
||||||||
Связь между |
условной надежностью |
|||||||
и переходной |
вероятностью |
p(v, <|v0) |
||||||
дается |
формулой |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ivo) = j |
p(v, i |
|v0)dv. |
|||
Отсюда, |
интегрируя |
уравнение (159) |
||||||
почленно, получим для условной на |
||||||||
дежности |
аналогичное уравнение |
|||||||
|
|
|
£ . = |
у |
|
Ч о |
|
|
|
|
|
* |
, - 1 |
|
|
||
|
|
1 |
т |
т |
|
д* р |
|
|
|
+ |
|
V |
*jh |
(160) |
|||
|
* |
2 |
2л |
ди■dv, |
||||
|
|
j= i k= l |
|
JO |
ho |
|
||
Его решение должно удовлетворять начальному условию |
|
|||||||
Р (01v0) = 1 |
при |
|
v0 б Й0 |
|
|
|
(161) |
|
и граничному условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (^ |уо) = 0 |
при |
v0 £ |
Г. |
|
|
|
(162) |
После того как уравнение (160) решено, вычисляется полная надеж ность
P ( t ) = \ P ( t \ v 0)p(v0)dv0. |
(163) |
Q0 |
|
Здесь p(v0) — плотность вероятности вектора v(/) в начальный момент времени.
Применение уравнения (160) встречает двоякие трудности. Вопервых, эволюция параметров качества, вообще говоря, не является марковским процессом. Эту трудность можно обойти, увеличивая число измерений пространства V Во-вторых, отыскание решений уравнения
№
(160), особенно в случае большого числа измерений, сложных облас тей и переменных коэффициентов весьма затруднительно. Проще опре деляются моменты распределения времени достижения границы
<T*(v0) > = - j V ^ ^ d / . |
(164) |
о |
|
В частности, для математического ожидания вместо (164) получаем формулу
оо
<7’(V0)> = j p (f| v 0)df. |
(165) |
0
Формулы (164) и (165) оценивают время достижения границы Г при условии, что при t = 0 система находилась в точке v„. Таким об разом, T(v0) — условная долговечность. Для математического ожи дания полной долговечности имеем формулу типа (163):
<Г) = [ (T(v0))p (\Q) d \ 0.
По
В дальнейшем знак аргумента в выражении для условной долговеч ности T(v0) опускаем.
Интегрируя уравнение (160) почленно по t в пределах от нуля до бесконечности, получим после преобразований уравнение относи тельно математического ожидания (165):
|
т |
|
|
д2<Т> |
|
|
|
2 |
|
V * д <т> — 1. |
(166) |
||
2 |
2 |
Kjk dv■dv, |
||||
|
/= |
1 k= 1 |
JO ho |
|
|
Это уравнение было получено впервые Л. С. Понтрягиным [21. Его решение должно удовлетворять условиям ограниченности, непрерыв ности и двукратной дифференцируемости внутри й 0 и граничному ус ловию
<Г)=0 при v0£ Г. |
(167) |
Простота граничного условия (167) подсказывает следующий путь построения приближенного решения поставленной краевой задачи [18]. Пусть фА(и10, v20 • ••> vmo) — некоторая полная внутри Q0система функ ций, удовлетворяющая всем условиям для <Г>. Ищем приближенное решение уравнения (166) в виде следующего усеченного ряда:
<Г> = 2 7 > а. |
(168) |
k= 1 |
|
Согласно методу Галеркина коэффициенты Тк этого ряда должны опре деляться из следующей системы линейных алгебраических уравнений:
2 ]alkT* = bf, (/=1. 2....П). |
(169) |
Здесь
|
д2Ф/, |
т |
|
|
|
аik |
v JГ Ха Г— |
Фуб/v; (170) |
|||
Ц). (1\ + |
|||||
а = 1р = 11>0 |
dvaO dvfiQ |
а = I о |
dva0 |
' |
|
|
bJ ^ — \ Фj dv- |
|
|
|
|
|
ь„ |
|
|
|
|
Во многих приложениях |
хар — положительно |
определенная мат |
рица. Тогда мы имеем классическую краевую задачу для уравнения эллиптического типа. Для некоторых задач такого типа сходимость метода Галеркина может быть строго доказана. Нас, однако, больше интересует скорость приближения к точному решению при сравнитель но небольшом числе п членов ряда (168). Для оценки характера при ближения рассмотрим несколько простейших задач, для которых по
лучено точное |
решение. |
|
Рассмотрим |
простейшее уравнение |
|
|
|
v + y v ^ q (/), |
для |
которого пространством V служит бесконечная прямая. При q == |
|
= 0 |
система имеет единственное положение равновесия v = 0. Если |
|
Y > |
0, то это равновесие будет устойчиво, если у <С 0, — то неустой |
чиво. Предположим, что внешняя сила q(l) является дельта-коррели рованной стационарной случайной функцией с интенсивностью s. Найдем среднее время достижения границы отрезка —v* < ь < ц . Эта задача была рассмотрена в работе [2 ]. Она приводит к уравнению типа (166):
s |
d2 <Г> |
d<T> |
= — 1 |
(171) |
~2 |
dv20 |
Vvo dvо |
сграничным условием <Г> = 0 при v0 = ±и*.
Вбезразмерных переменных уравнение (171) и соответствующие граничные условия имеют вид
1 |
_ j . d e |
____ j . |
2ц* dX2 |
dl ~~ |
|
0 —0 |
при |
1, = ± 1» |
где 0 = у( Т) — безразмерное время достижения границы, £ ----- и0/и безразмерная координата. Безразмерный параметр
уи2
(172)
очевидно, пропорционален отношению квадрата характерного Размера допустимой области а* к средней длине «размыва» фазовой точки s (T)3a
характерное время системы т = 1/у. Решение задачи, удовлетворяю щее граничным условиям, будет
0 (0 = —2р f |
| е - м г di\j |
(173) |
Найдем теперь приближенное решение. Из соображений симмет рии следует, что 0(£) = 0(—£). Поэтому примем
Ф .Ш -с о з ^ - (* = 1 ,2 ,...).
Эти функции удовлетворяют, очевидно, всем условиям для функции 0(Q. Используя формулы (170), найдем, что в первом приближении
0, = ??£.— — |
(х = — |
(174) |
Я2 1—JJ.X2 |
\ п) |
|
На рис. 74 дано сопоставление решения по первому приближению с точным решением, которое показано штриховой линией. При этом
Рис. 74
принято, что р = 1. С приближением р к (я/2)2 первое приближение перестает быть удовлетворительным. Если взять два члена ряда, то вместо формулы (174) получим
0 _ 3 2 р |
2 (18—ЗрА.2) |
1 _ я2 |
' 36-40цА 2 + 13 (д.2 Л.4 |
При трех членах ряда соответственно находим
. _ 3 2 р _______9 |
(3 600768рА2 + 253р2 V) _______ |
1 _ я2" ■з2 400 -3 |
7 296цЯ2+ 16 065р2Я4- 2 593р3Я» ' |
Результаты вычислений по этим формулам с учетом аналогичных вы ражений для 0Хи 02 приведены на рис. 75, где кривые /, 2 и 3 соответ ствуют одночленному, двучленному и трехчленному приближениям. Здесь же штриховой линией нанесена кривая 4, соответствующая зна-
чению 0(0) согласно точному решению (173). Как видно из графика, чем ниже уровень внешних возмущений, тем большее число членов ря да должно быть взято для получения удовлетворительного приближе ния. Приближение с тремя членами ряда дает удовлетворительные ре зультаты вплоть до р, = 5. Заметим, что в случае, когда точка £ = 0 соответствует неустойчивому равновесию (р < 0), процесс сходимости значительно быстрее.
В качестве второго примера для оценки погрешности приближен ного метода возьмем систему второго порядка [21:
. |
v2i+vl |
|
|
|
Vi + У 1— |
|
|
|
= Qi (0; |
|
„2 , 2 |
|
|
(175) |
|
|
|
|
|
^2+ У |
--------- |
I |
Vo "I" V-y |
= Q,(0. |
|
R 2 |
J |
1 |
|
для которой определим среднее время достижения границы v\ + v\ = = R 2. При Qi = Q2 — 0 и у > 0 эта система имеет устойчивый фокус
V[ = V2 = 0 и неустойчивый предельный цикл v \ + v \ = R 2. При Qx = |
|
= Q 2 = 0 и у < 0 , наоборот, |
фокус v 1 = v 2 = 0 будет неустойчивым, |
а предельный цикл v \ + v \ = |
R 2 — устойчивым. |
Переходя к полярным координатам г и ср, вместо системы (175) по
лучим |
|
|
r + yr ( 1 — ■£) = Q i cos ф -f- Q2sin яр; |
|
|
' |
* 1 |
(176) |
9 = — Y + - ( — QiSini|) + Q2cos ф).
Рассмотрим случай, когда обобщенные силы могут быть представ лены в виде
Qi = Ягcos Ф — Яг sin ф;
Q2 = Я1 sln Ф + Яг cos Ф>
где ^(/) и q2(t)— стационарные случайные функции типа «белого шума». При этом выполняются условия
<Яг (0> = <<72 (0> = 0; <М0<7р (Н -т )> -5 арб(т),
где |
sap — коэффициенты |
интенсивности. |
Для |
изотропных толч |
||||
ков |
коэффициенты |
интенсивности равны s12 = |
s21 |
= |
0 |
и sn = s22 = |
||
= s. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим соответствующее уравнение Понтрягина |
|
|
|||||
|
s_ / д2 , 1 д |
, 1 д2 |
< Т ) - у г { 1 — |
|
д<Т> |
^ |
д<Т> |
|
|
|
г*'д |
|
R 2 |
дг |
|
dip |
щественных изменений. Сходное явление обнаружено ранее в мате матически аналогичной задаче о флаттере мембраны в сверхзвуковом потоке газа. По-видимому, в обеих задачах оказываются невыполнен ными условия известной теоремы, требующей полной непрерывности некоторых операторов.
Применим метод к механической системе с п степенями свободы. Движение этой системы описывается дифференциальными уравнениями
Paua+ 2Ba ua + ha (ul, u 2, ...,u n) = |
qa {t); (а = 1, 2, .... п). (181) |
Здесь иа — обобщенные координаты; |
ра — инерционные кооэффи- |
циенты; еа — коэффициенты демпфирования; ha — некоторые, вообще говоря, нелинейные функции обобщенных координат; qa — обобщенные
силы. Пусть, далее, |
обобщенные силы являются стационарными слу |
|
чайными функциями |
времени типа «белого шума». При этом должны |
|
выполняться следующие |
условия: |
|
<Яа (0) - |
0; <<7„ (0 Яр (t + т)> = sap б (г), |
где sap — некоторые постоянные. При введенных ограничениях сов местная эволюция обобщенных координат и обобщенных скоростей будет представлять собой многомерный непрерывный марковский про цесс, описываемый уравнением Колмогорова. А именно, полагая
U a ^ V a , Ua = Vn+ a (a = 1, 2, ..., It)
и обозначая v = vu v2, ..., v2nf получим, что переходная вероятность p(v, 1 1v0, /0) должна удовлетворять уравнению (158) с интенсивностя ми:
|
$а — п, р — п |
/д < а < ;2 /г \ ^ |
|
||
Xар |
Ра — п |
Рр — п |
\п < |
Р <! 2/г/ |
(182) |
|
0 |
в остальных |
случаях; |
|
|
|
v n + о |
(a < / i ) ; |
|
|
|
— |
_ ^6а — n va — п ~ ^ ^ а — п |
(п < |
а < 2л). |
|
|
|
|
|
|
Ра — п
В качестве примера задачи, которая приводит к уравнениям типа (181), можно указать на задачу о прощелкивании тонкой упругой кри волинейной панели, нагруженной случайными силами (рис. 77). Диф
ференциальное уравнение, соответствующее простейшей модели такой панели, имеет вид
ри |
2е и рсоо (ы+ ам2 -f- Рм3) = q (t). |
(183) |
Здесь u(t) — обобщенная координата, характеризующая прогиб па нели; р — инерционный коэффициент; е — коэффициент Демпфиро вания; со0 — частота собственных колебаний; а и р — некоторые по стоянные. Если а > 0, Р > 0, то система имеет единственное поло-
жение равновесия v = 0, и оно устойчиво. Если а < О, р > 0, то си стема может иметь три положения равновесия (иъ и2, v3), одно из ко торых v = v 2 неустойчиво, а два других — устойчивы (рис. 78). При этом ненулевое положение равновесия v = v 3 соответствует прощелкнутому состоянию панели. Относительно обобщенной силы q {t), как и ранее, будем предполагать, что она является стационарной случай ной функцией типа «белого шума» с интенсивностью s.
Рассмотрим задачу об определении среднего времени <Т> выхода системы за пределы области, ограниченной петлей сепаратрисы, которая охватывает устойчивое нулевое положение равновесия. Пространством
качества в этом случае будет служить фазовая плоскость |
= и, |
v 2 |
— |
|||||
= |
и. Решение задачи сводится к интегрированию уравнения Понтря- |
|||||||
гина (166). Согласно формулам (182) найдем, что для уравнения |
(183) |
|||||||
|
|
^11 —^12 —^21 |
^22 |
„ > |
|
|
|
|
|
|
x 1 = v 2, х 2 — |
a y i + Ру ?). |
|
|
|
||
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
Уравнение Понтрягина принимает вид |
|
|
|
|
|
|||
s |
дг <Т> |
д<Т> |
■ - v 2 + u>o(v1 + av2l + ^ |
) ] ^ ^ |
= - l . |
(184) |
||
2р* |
до! |
'' ди. |
р |
|
ди2 |
|
' |
' |
Математическое ожидание (Т ) должно удовлетворять условию (167) где Г — петля сепаратрисы (см. рис. 78).
Пусть 2 а — длина отрезка, отсеченного указанной петлей сепарат рисы на оси vl t а 2 а 0Ь — наибольшая ширина в направлении оси v 2. Тогда петлю сепаратрисы можно приближенно заменить эллипсом, центр которого находится в середине отрезка, отсеченного петлей на оси v l t а полуоси эллипса равны а и щ Ь . Обозначим координату центра
эллипса через v 0- |
Вводя новые переменные |
|
|
= |
а |
* = |
0 = ®о<г>, |
|
о)0 и |
|
Преобразуем уравнение (184) к виду
^ |
: |
+ У Ч г |
+ f о+ h Ci'+ h Й + h Й ) |
= - V- (185) |
2|i |
dll |
°£>i |
|
°ьг |
Здесь и в дальнейшем введены следующие обозначения:
|
|
|
у |
- 1.-- |
|
/ . - * ( • + = < + * ) : |
|||||
t |
_ |
1 |
, 2au0 , |
Зр^о |
^ |
/1 — |
1 i |
г - i |
~ |
t |
|
|
|
|
a2 |
a3 |
|
Р |
ОС1 . |
зр^о . |
* _ |
Р |
|
/2 — |
a |
"г |
о » |
/3 ~ |
о • |
|
|
a3 |
|
a3 |
В качестве параметра, аналогичного параметру |х, который был введен по формулам (172) и (178), здесь взят параметр
о о ,
р CDQа°
пропорциональный отношению характерной площади области abco0
к средней площади размыва s/p2coo за характерное время т ^ 1/со0. После выполненных преобразований эллипс, аппроксимирующий
соответствующую петлю сепаратрисы, превращается в окружность
единичного радиуса. Для удобства дальнейших вычислений перейдем |
|||||
к полярным координатам г, ф, |
положив |
h = |
гсоэф, |
/*sin яр. |
|
Вместо (185) получаем уравнение |
|
|
|
|
|
ж , |
. о , д2 0 , sin 2гЬ |
д2 0 . |
cos2^ |
д2 0 |
|
--- I Sin2 ф ------ 1------- i |
---------1-------- |
------ |
|
||
2|х |
дг 2 |
длд\|) |
|
дг|э2 |
|
|
|
|
|
|
(186) |
Здесь |
|
|
|
|
|
*(г’ |
|
=т ~^ - i (Яг+ i ) cos2ф4 °+ |
)si"ч>+ |
||||
+ |
2 |
r (fi — Y2)+ |
sin 2г|) + |
^ |
sin З г |)+ ^ 3 sin 4г|з; |
||
V (r , г|)) = |
-7 fa Г2 + |
^ ( h + |
у 2) + (к + |
- У |
sin 2 ^ + (-k + ^ ' ) cos if + |
||
+ |
|
(/3 r2 + |
/x — y2) cos 2я|) + |
— cos Зф -f- — |
cos 4iJ). |
||
2 |
|
|
|
4 |
8 |
|