книги / Применение методов теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений
..pdfВ самом деле, интеграл приводится к виду
о
откуда после интегрирования находим
Пусть, например, п = 10. Тогда по формуле (13) <Г> = 2,929 <Г0>. Аналогично вычисляются надежность и долговечность систем при более сложном взаимодействии элементов. На рис. 39, в показана блоксхема общего резервирования, в которой каждая из подсистем дубли
руется п раз. Формула для надежности системы имеет вид
Способ образования системы, показанный на рис. 39, г, носит на звание раздельного резервирования. При этом каждый из элементов дублируется п раз, после чего подсистемы соединяются последователь но. Надежность системы вычисляется как
т
р = п [1 - ( 1 - р А)"].
Б литературе по теории надежности [41, 65, 95, 120] уделено боль шое место методам вычисления надежности систем при различных спо собах взаимодействия элементов, способах резервирования и т. д. К другим задачам теории надежности относятся формулировка прин ципов синтеза систем, обладающих заданной надежностью, разработ ка методов повышения надежности и долговечности, определение эко номически обоснованных нормативных значений надежности и долго вечности, обоснование методов контроля качества и методов испытаний, обеспечивающих заданный уровень надежности, обоснование методов индикации и профилактики отказов и т. д.
§II 1.3. Основы общей теории надежности
Вподавляющем большинстве работ по теории надежности почти не затрагиваются те механические, физические и химические явления, которые являются причиной отказов. Изменение надежности элемен тов системы во времени обычно постулируется в форме некоторых ста тистических гипотез; при этом предполагается, что в дальнейшем эти гипотезы подвергаются надлежащей экспериментальной проверке. Применительно к радиоэлектронным устройствам такой путь может быть оправдан. В самом деле, эти устройства состоят из большого числа
элементов массового производства, типы которых ограничены, а усло вия работы относительно однородны. Однако даже при анализе надеж ности радиоэлектронных устройств было бы весьма целесообразным более тщательное изучение тех факторов, которые вызывают сниже ние надежности и долговечности. Это направление только еще начи нает развиваться. Имея его в виду, говорят о технической, физичес кой и тому подобной теории надежности (в противовес математичес кой, или формальной теории). Однако это противопоставление лишено смысла. Включение в теорию надежности физических аспектов озна чает расширение ее понятий, методов и области приложения. Сущест вующая теория является лишь одним из разделов общей теории, в ко торой наряду с формальным описанием отказов обсуждается также их физическая природа*.
Следует отметить, что разработка вопросов надежности сооруже ний и конструкций с самого начала пошла по иному пути. Совершенно очевидно, что надежность и долговечность конструкций целиком опре
деляется взаимодействием между |
внешней средой, с одной |
стороны, |
и свойствами конструкции — с |
другой. Весьма сложный |
Характер |
этого взаимодействия, а также взаимодействия элементов между собой, лишает возможности ограничиться понятиями и методами математи ческой теории надежности. С другой стороны, хорошо разработанный аппарат строительной механики, теории упругости, теории пластич ности и теории колебаний, распространенный на стохастические зада чи, позволяет получать достаточно адекватное описание стохастичес кого поведения конструкции.
Уже в ранних работах [102, 108, 128], посвященных статцстичес. кому истолкованию коэффициента запаса, мы находим способы оцен ки надежности, в которых явно присутствуют характеристики нагру зок и прочности конструкции. Эти работы по существу яцляются хронологически первыми шагами по пути создания общей теории на. дежности. Однако в указанных работах использовался аппарат элемен тарной теории вероятностей и полностью игнорировался факт0р Вре. мени, который столь существенно входит в понятия надежности и дол. говечности.
Разработка теории надежности конструкций, основанной Нц пред ставлении поведения конструкции в виде случайного процесса, а Пре„ дельного состояния — в виде случайного выброса из области Допусти мых состояний, началась около десяти лет тому назад. В 1959 ^ gb а опубликована работа автора [12], посвященная расчету сооруженид на действие сейсмических нагрузок. В этой работе впервые бьц0 UQr[_ ностью осуществлено комплексное описание задачи надежности, вк^ 0. чая вероятностное задание внешних воздействий, схематизац^ю си. стемы, решение задачи статистической динамики для этой сцстеМы оценку вероятности безотказной работы системы и осредненц^ ЭТо« вероятности по множеству воздействий и систем. Указанная Концеп-
* Сотсков |
Б. С., Основы теории и расчета надежности элементов и уе-. |
•• |
автоматики и |
вычислительной техники. «Высшая школа», 1970. |
Р ств |
ция нашла развитие в книге автора [14], первое издание которой вышло в 1961 г. Остальное содержание данной главы будет посвящено систе матическому изложению теории с более общих позиций.
Рассмотрим поведение некоторой системы при внешних воздейст виях. Уравнение системы возьмем в общем виде
Lu = q, |
(14) |
где q — элемент из пространства входных параметров Q; и — элемент из пространства выходных параметров U; L — оператор системы (см. общие соображения из § 1.1). Пространство U выбирается таким обра зом, чтобы при помощи его элементов и 6 U можно было полностью охарактеризовать любое состояние системы. А именно, каждому состоя нию соответствует элемент и £ (/. При изменении параметра времени t одно состояние переходит в другое. Эволюция состояний описывает ся функциями и (/); их геометрическим образом служат траектории в пространстве состояний U.
Введем теперь пространство V для описания качества системы. Пусть каждому качеству системы соответствует элемент v ( V; при этом время t играет роль параметра. Каждой траектории и(^) в про странстве U соответствует некоторая траектория \(t) в пространстве качества V. Связь между элементами этих пространств и траектория
ми в них дается операторным соотношением |
|
v = /Ии. |
(15) |
Оператор М может быть, в частности, тождественным оператором. В некоторых случаях пространство V оказывается подпространством от U. Вообще говоря, переход от пространства состояний к пространству качества является нетривиальной операцией.
Множество состояний системы, допустимых с точки зрения качест ва, образует в пространстве качества V область допустимых состояний SV Граница области П0 соответствует предельным состояниям. Эту границу будем называть предельной поверхностью и обозначать через Г. Если v 6 П0»то это означает, что параметры качества системы сохра няются в установленных допусках. Пересечение траекторией v(/) пре дельной поверхности Г в направлении внешней нормали соответствует отказу системы Введенные понятия приобретают особую наглядность, если система является дискретной. Тогда пространства Q, U и V суть эвклидовы пространства. На рис. 40 представлены траектории q(/), u(/) и v(/) для случая, когда пространства Q, U и V являются эвкли довыми трехмерными пространствами. Некоторые более конкретные примеры будут приведены ниже.
Пусть внешнее воздействие q(/) и (или) оператор системы L явля ются стохастическими. Тогда траектории \(t) в пространстве качества V будут также стохастическими. Отказ интерпретируется как случай ное пересечение траекторией v(t) предельной поверхности Г (или как случайный выброс элемента из области допустимых состояний). Функ
ция надежности определяется как вероятность пребывания элемента V (T) в допустимой области Q0 в течение интервала 0 ^ т ^ /:
/>(/) = P[v(x) 6Й0; 0 < т < / ]. |
(16) |
Итак, сформулирована общая схема вычисления надежности с уче том физических, технических и эксплуатационных аспектов. Эта схе ма слагается из четырех этапов. Первый этап сводится к схематизации системы и внешних воздействий на нее, т. е. к выбору пространств Q и U. Тем самым вводится оператор L. Второй этап состоит в определе-
Рис. 40
нии стохастического поведения системы при случайных воздействиях. При этом задача сводится к решению стохастического уравнения (14). Согласно нашей терминологии — это задача статистической динамики Третий этап заключается в выборе пространства качества V и области допустимых состояний £20. Этот выбор делается на основании техникоэкономических соображений с учетом технологических, эксплуата ционных и тому подобных требований и существенно неоднозначен
т |
Одним |
из |
важнейших |
факторов |
влияющих на выбор пространСтВд |
||||
|
V, является |
стремление |
к разум |
|
|
ному компромиссу между степе11ью |
|||
|
подробности при описании cj,CTeMb[ |
|||
|
И ОТНОСИТеЛЬНОЙ ПРОСТОТОЙ вЫццс. |
|||
|
лений. |
Наконец, на |
посдедНем |
QltI
этапе (если задача носит по|!ероч. ный характер) определяется фуНк. ция надежности P(t) как дополне
ние до единицы вероятности случайного выброса за пределы допусти мой области й 0. Таким образом, функция надежности P{t) определяет. ся как результат учета ряда факторов: внешней среды, свойств систе. мы, технологических, эксплуатационных и т. п. требований.
Выбор пространства качества V |
и области допустимых сост0яН1[]» |
Q0 поясним на нескольких простых |
примерах из строительной д1еХа. |
ники. В качестве первого примера |
рассмотрим нагружение стер>КНя |
осевой силой Q(t) (рис. 41). Если сила Q действует квазнстатически, то внутренняя осевая сила N H=Q может быть принята за параметр состоя ния системы. Далее, пусть условие безотказной работы (условие проч ности) имеет вид
- R < N ( t ) < R ,
где R — некоторое предельное значение осевой силы. Тогда силу N(t) можно принять и за параметр качества системы. Пространство V будет при этом одномерным эвклидовым пространством, т. е. прямой — оо ■-< < N оо, а область допустимых состояний Q0 — отрезком этой прямой. Функция надежности определяется по формуле (16):
|
|
|
P(t) = P [ - R < N ( x ) < R - , |
0 < х < /]. |
(17) |
|
Иначе можно написать |
|
|
||||
|
|
|
|
Р(/) = Р [sup | W (т) | < |
Я], |
(18) |
|
|
|
|
o < t< f |
|
|
где |
sup | N(т) |
| — верхняя грань значений функции N(x) в интерва |
||||
ле 0 |
х ^ |
t. |
Если |
область допустимых значений несимметрична от |
||
носительно |
начала |
координат, например, |
|
|
нижнюю границу образует критическое значение сжимающей силы для консоли), то вместо (18) следует взять формулу
|
Р(/) = Р [ sup N ( x ) < R , inf М |
( т ) > - ^ - | . |
(19) |
||
|
Lo<T<< |
<Кт<< |
4ia |
J |
|
Здесь |
inf N(x) — нижняя |
грань значений функции N(x) |
в интервале |
||
О < т |
< г. |
|
|
|
|
Заметим, что предельное значение силы может быть функцией вре мени R(t). В самом деле, прочность некоторых конструкций изме няется во времени под действием физических, химических и тому по добных процессов. При этом может иметь место как упрочнение, так и разупрочнение, причем прочность R(t) может быть случайным про цессом. Определения функции надежности в форме (17) и (18) остаются при этом в силе. При желании можно выбрать параметры качества си стемы таким образом, чтобы граница Г области Q0 была стационарной и детерминистической. Пусть, например, условие безотказной работы задано в виде
v j t ) < v ( t ) < v, (<), |
|
|
||
где vtt(t) <. О и v4(t) > 0 — случайные функции времени |
(рис. 42, |
а). |
||
Переходя к новым переменным |
|
|
|
|
Vi = v,(t)— v(t); |
v2 |
= v(t)— v„(t), |
|
|
получим следующие условия: vx > |
0, |
t>2 > 0. Мы видим |
(рис. 42, |
б), |
что область допустимых состояний представляет собой первый квад-
рант на плоскости vu v2. Существенно, что сделанное преобразование связано с переходом от одномерного пространства качества V к двух мерному.
Рис. 42
В качестве второго примера рассмотрим вал круглого сечения, на груженный квазистатическими изгибающими моментами M x(t), M XJ(t) и крутящим моментом M z{t) (рис. 43, а). Пусть условие качества со-
Рис. 43
стоит в том, чтобы ни в одной точке вала не появились пластические деформации. Используем условие текучести Сен-Венана
j/cr2 + 4т2 <<г«,
где а — максимальное нормальное; т — максимальное касательное напряжение в поперечных сечениях вала; а# — предельное напряже ние. Замечая, что
/ М2х + М 2у ' т = М,_
W |
' |
2W ’ |
где W — момент сопротивления сечения при изгибе, получим следую щую область допустимых значений £20 в трехмерном пространстве М х, М у, Мг:
Y Ml -f- Му + Мг < М*. |
(20) |
В правой части стоит предельное значение момента М* = о |
До |
пустимая область представляет собой внутренность сферы с радиусом М* (рис. 43, б). Функция надежности РЦ) определяется как
Р (0 =-РГ sup УМ\ (т) +~Ml (т) + М\ (т) < мА |
(21) |
J
Если принять за параметр качества приведенный момент
м г= У M ' i+ M l+ M 'i,
то пространство качества V становится одномерным. Область возмож ных значений М Г— полупрямая (0 •< Мг < оо). Для определения функции надежности вместо формулы (21) получаем
На этом примере мы видим, что можно выбирать по-разному простран ство V и область допустимых значений П0, сохраняя функцию надежноти инвариантной.
Рассмотрим теперь балку, нагруженную т сосредоточенными си
лами Qi(0> <3г(0» •••> Qmifl (Рис44, а)- Пусть балка является стати чески определимой, а силы прикладываются к балке квазистатически.
Будем считать состояние балки допустимым, если максимальное по модулю значение изгибающего момента М(х, t) не превышает предель ного значения М *. Изгибающий момент М (х, t) является кусочно-ли нейной функцией координаты. Таким образом, его максимальное по модулю значение достигается в одном сечении, которое находится под силами (или, может быть, в одном из опорных сечений). Во всяком слу-
чае для расчета балки на прочность достаточно знать значения изги бающего момента М(х, /) в конечном числе сечений. Обозначим эти зна чения через уИ1(/), Л42(/),..., М п{1). Связь между моментами и внешними силами осуществляется при помощи линейного преобразования
т |
|
|
M j ( t ) = ' E i \ JkQk (t) |
(23) |
|
k=1 |
|
|
(/ = 1, 2, |
я), |
|
которое можно рассматривать как реализацию операторных соотпо шений (14) и (15). Для пространства качества V следует взять я-мерное эвклидово пространство моментов М ъ М 2, ..., М п. Область допустимых состояний £20 задается неравенствами:
— |
(24) |
-М , < М п (0 < М , ,
т.е. представляет собой л-мерный куб в пространстве моментов (рис. 44, б). Функция надежности вводится согласно формуле (16) как
^ ( 0 = р [ — M , < M J ( T ) < M , ; /= 1 ,2 , ... , п ; 0 < т |
/]. (25) |
Приведем еще две эквивалентные записи формулы (25):
P(t) — Pf sup |
макс| Л4; (т) | < Л4„]; |
|
( 26) |
Р(Л = РГмакс |
sup | Mj(x) \<.MJ . |
L / |
J |
Согласно первой формуле, в каждый момент времени т выбирается мак
симальное по модулю |
значение среди моментов М^т), УИ2(т), |
М п(х). |
||
Затем из |
найденных |
значений, соответствующих |
интервалу |
времени |
О < т < |
/, образуется новое множество. Функция |
надежности опреде |
ляется как вероятность случайного события, состоящего в TOIVI, Что верхняя грань этого множества не превышает предельного значения УИ Иначе интерпретируется вторая формула (26). Здесь вначале для каж дого из сечений находятся верхние грани моментов при 0 < т < ^ за тем из найденных значений выбирается наибольшее, которое сравни вается с предельным значением. Оба способа, очевидно, эквиваленты. Для аналитической обработки удобнее первоначальная форма (25).
Четвертый пример является некоторым видоизменением предыду щего, третьего примера. Пусть внешняя нагрузка распределена не прерывно по длине балки и пусть ее интенсивность q(x, t) является слу чайной функцией координаты х и времени t (рис. 45). При квазист^тическом нагружении изгибающий момент М(х, t) связан с интенсив ностью нагрузки q{x, t) уравнением
dm дх2
Это уравнение вместе с соответствующими граничными условиями мож но трактовать как реализацию операторных уравнений (14) и (15). Допустимые состояния находятся из условия, что
макс | М (л:, О | < М . , |
(28) |
O^x^l |
|
а формула для вычисления функции надежности принимает вид
Р (t) = РГ sup макс | М (х,т) I < ЛМ . |
(29) |
Для сохранения введенной выше геометрической интерпретации мы должны выбрать соответствующее функциональное пространство. В данном случае пространство качества V представляет собой множество функций M(x,t), удовлетворяющих
уравнению (27) при произвольных непре рывных функциях q(x,t)\ время t рас сматривается при этом как параметр. Иначе говоря, элементами пространства V будут случайные функции M(xJ), заданные на отрезке 0 ^ х ^ /, дважды дифференцируемые и удовлетворяющие граничным условиям, которые соответ ствуют уравнению (27). Введем в про странстве V норму
|| М (х, t) || = макс \М (х, t) |, (30)
которую можно интерпретировать как «длину» элемента M(x,t). Ус ловие (28) принимает вид
|| М (х,Щ < М ..
Это условие может быть интерпретировано как требование того, чтобы элементы М(х, t) находились внутри сферы радиусом М *. Таким об разом, допустимая область £20 представляет собой сферу в функцио нальном пространстве с нормой (30). Формула (29) переписывается в виде
Р(/) = РГ sup \\М{х, т )||< МЛ . J
Функционально-аналитическая трактовка позволяет описать в еди ных терминах постановку задач надежности как для дискретных, так и для распределенных систем. Фактические вычисления функции на дежности для распределенных систем требуют развития теории случай ных выбросов пространственно-временных случайных процессов и случайных полей1.
1 Заметим, что при решении многих практических задач надежности для рас пределенных систем можно ограничиться рассмотрением конечномерных эвклидо вых пространств качества. Принимая за параметры качества значения напряже ний, перемещений и других факторов в конечном числе заранее выбираемых точек поля, мы придем к конечномерному пространству. Чем больше число взятых то чек, тем полнее описывается качество системы и тем точнее будет оценена ее на дежность.
Определение функций Надежности Согласно формуле (16) основано на допущении, что отказы не различаются по степени их опасности, по размеру связанного с ними ущерба и т. п. Обобщение формулы (16) на случай, когда делать такие различия необходимо, требует рассмот рения экономического аспекта надежности и долговечности.
Как и ранее, выделим в пространстве качества V допустимую об
ласть |
£20, а остальную часть пространства разобьем на |
области Qb |
Q2, ..., |
которые различаются характером отказов. |
Чтобы учесть |
различие отказов по степени опасности, по ущербу и т. п., припишем каждой области Qa весовой коэффициент ha. Чем более опасен отказ, тем должен быть больше сооответствующий весовой коэффициент. В совокупности весовые коэффициенты должны быть соответствующим образом нормированы. Вместо вероятности отказа
N
Q (t) = |
2 Р [V (т) б &а I |
0 |
т < |
/] |
|
а= 1 |
|
|
|
введем взвешенную величину |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Qh (0 = 2 |
ha Р [V (т) б ; |
о < |
т < |
*]• |
а=1
Эта величина, вообще говоря, утрачивает смысл вероятности; ее можно истолковать как некоторую меру суммарных потерь, связанных с ут ратой качества. Весовые коэффициенты ha пропорциональны ущербу, вызванному отказом соответствующего типа. Обозначая этот ущерб через Са, мы получим выражение для математического ожида ния суммарного ущерба к моменту времени t:
N |
|
|
|
<С(/)>= 2 |
С„ р [V (т) б |
; 0 < |
Т < /]. |
а= 1 |
|
|
|
Заметим, что разбивка |
пространства V |
на области Q0, Qb |
£2дг не обязательна. Более корректный подход состоит во введении в
каждой точке пространства V и для каждого момента времени t пла тежной функции c(v, /), равной ущербу в единицу времени при усло вии, что система находится в данной точке пространства V Математи ческое ожидание суммарного ущерба определяется при этом как
t
<C(t)y = ^dT^c(v, т)p(v, т)dv.
оv
Здесь р( \, T)dv — вероятность обнаружить систему в момент времени т в элементарном объеме d\.
Используя введенные выше понятия, можно сформулировать раз личные экономические подходы к проблеме надежности. Наряду с ма тематическим ожиданием ущерба от отказов в экономические расчеты должны войти начальная стоимость системы, сумма эксплуатацион
но