книги / Практическая кристаллография

Если осью стереографической проекции нужно сделать горизонтальную ось симметрии четвертого порядка [100], то всю проекцию вместе с указанной осью симметрии следует повернуть вокруг другой горизонтальной оси симметрии четвертого порядка [UVW] = ±[010] на угол 0 = arccos 0 = 90°

Дальнейшая реализация построения стереографической проекции с задан­ ным полюсом [i/vw] на базе предварительных расчетов не вызывает каких-либо технических затруднений и описывается следующим алгоритмом.

1.Кальку со стереографическими проекциями нормалей граней (и элемен­ тов симметрии соответствующего класса симметрии), выполненными относи­ тельно полюса проекции [001], совмещают с кристаллографической сеткой Вуль­ фа.

2.По контуру круга проекций (на кальке) делают отметки положения оси поворота стереографической проекции [UVW\ = ±[v«0], а при необходимости предварительно рассчитывают соответствующие координатные углы X и ц на

базе метода направляющих косинусов (cosX cospi = v м; cos2X + cos2|x = 0).

3.Центральным поворотом кальки совмещают сделанные на контуре круга проекций отметки выходов оси поворота [UVW\ с полюсами сетки Вульфа.

4.Через исходную проекцию грани (hkl) и полюса сетки Вульфа проводят меридиональную дугу.

5.По этой меридиональной дуге отсчитывают угловое расстояние ц> от про­ екции грани (hkl) до ближайшего полюса сетки Вульфа.

6.По экватору сетки Вульфа (т.е. по ее горизонтальному диаметру) от мери­ диональной дуги откладывают расчетный угол поворота 0.

7.Через полюса сетки Вульфа и сделанную на экваторе отметку проводят новую меридиональную дугу.

8.По новой меридиональной дуге отсчитывают от ближайшего полюса сет­ ки Вульфа угол ij) и наносят в этой точке новую проекцию грани (hkl).

Следует добавить, что описанные операции построения новой проекции мож­ но упростить, если после выполнения п. 3 воспользоваться перемещением ис­ ходной проекции (hkl) непосредственно по параллели сетки Вульфа, оценивая при этом угол поворота 0 по экватору сетки Вульфа. При этом построение новых проекций по всем пунктам все же служит надежной гарантией от воз­ можных ошибок и просчетов.

9.4.Построение проекции с осью типа <110>

Спомощью приведенного в п. 9.3 алгоритма построения стереографической проекции с заданным полюсом [MVIV] получим стандартную стереографическую проекцию с полюсом [110] (рис. 9.3).

По вертикальному диаметру круга проекций располагается цепочка проек­ ций граней (001)—(112)—(111)—(НО)—(111)—(112)—(00Т),_по другому диаметру — горизонтальному — идет цепочка возможных граней (1ТО)—(210)—(100)—(210)— (110)—(120)—(010)—(120)—(11J5), по контуру круга проекций идут грани (001)— (112)—( ill) —(llO)—(ITT)—(lT2)—(001)—(Il2)—(III)—(IlO)—(Tl 1)—(Tl2)—(001).

Кроме того, здесь четко обозначаются, по крайней мере, шесть плотных боль-

Рис. 9.3. Стандартная стереографическая проекция возможных граней кубического кристалла класса симметрии тЗт (полюс проекции [110])

ших кругов: (001)— (100)— (001); (001)— (010)— (00Т); (_l_ll)-(lll)-(010)-(lll); (ill)— (100)— (111)— (Til); (lll)-(100)-(lll)-(lll); ( H I ) — (1 lT)— (010)— (Til).

9.5. Построение проекции с осью типа <111>

Для перестройки исходной стереографической проекции возможных граней кубического кристалла с полюсом [001] в аналогичную проекцию [111] нужно первую проекцию повернуть вокруг оси [UVW] = ±[110] на угол 0 = 54,74° (как приводили в одном из примеров). Результат этого преобразования, выполнен­ ного в соответствии с вышеупомянутым алгоритмом, показан на рис. 9.4.

Круг проекции делится на равные части тремя его диаметрами — цепочка­ ми проекций возможных граней: (ТТ2)—(001)—(112)—(111)—(221)—(110)—(1 lT)—

(112), (l3 l)—( il l) —(212)—(101)—(212)—(111)—(121)—(010)—(T2l) и ( 2 ll) - (100)—(211)—(111)—(122)—(011)—(122)—(211).

Кроме того, на проекции выделяются дуги больших кругов: (101)—( 111)—

(010)—(11Т)—(ЮТ); (Т01)—(001)—(101)—(100)—(101); (011)—(001)—(011)—(010)-

Рис. 9.4. Стандартная стереографическая проекция возможных граней кубического кристалла класса симметрии тЗт (полюс проекции [111])

(Oil); (Oil)—(111)—(100)—(111)—(011); (110)—(111)—(001)—(111)—(110) и (110)—

( 100) — ( 110) — (010) — ( 110).

9.6. Построение проекций с осями типа <112>, <130>, <113>

Определим параметры преобразования стандартной стереографической про­ екции [001] в аналогичную проекцию с полюсом [112].

Всоответствии с (9.1) символ оси поворота исходной проекции [001] [UVW\ =

=+[v«0] = ±[110]. Соответствующий угол поворота исходной проекции опре­ делим по (9.3):

0 = arccos 0,8165 = 35,26°

Результат этого преобразования, выполненного в соответствии с вышеупо-

11?

Рис. 9.5. Стандартная стереографическая проекция возможных граней кубического кристалла класса симметрии тЗт (полюс проекции [112])

мянутым алгоритмом, показан на рис. 9.5. Здесь просматриваются два диаметра круга проекций: (III)—(001)—(112)—(111)—(110)—(111) и (llO)—(101)—(112)- (011)—(110), а также цепочка проекций возможных граней кристалла вдоль ли­ нии контура круга проекций: (III)—(110)—(111)—(TlO)—(Т11).

Помимо этих зон, здесь выделяются плотнозаселенные дуги других зон: (I I 1)- (111)—(100)—(111); (III)—(111)—(010)—(111); (110)—( ll 1)—(001)—(II 1)—(TlO); (1TO)—(100)—(110)—(010)—(TlO), а также ряд других зон.

Определим параметры преобразования стандартной стереографической про­ екции [001] в аналогичную проекцию с полюсом [130].

Всоответствии с (9.1) символ оси поворота исходной проекции [001] [UVW\ =

=±[v«0] = ±[310]. Соответствующий угол поворота исходной проекции опре­ делим по (9.3):

0

0050 = VlO = 0 ;

0 = arccos 0 = 90,00“

Рис. 9.7. Стандартная стереографическая проекция возможных граней кубического кристалла класса симметрии тЗт (полюс проекции [113])

Результат этого преобразования, выполненного в соответствии с вышеупо­ мянутым алгоритмом, показан на рис. 9.7.

Особенностью этой проекции является слабая заселенность линии контура круга проекций проекциями с низкими индексами, следствием чего служит обрыв цепочек проекций возможных граней у линии контура: большинство таких цепочек не доходит до линии контура и не пересекается с ней. Так, диа­ метр проекции (111)—(001)—(111)—(110) визуально не имеет точки пересече­ ния с контуром круга проекций. Таким же образом ведут себя дуги: (100)— (111)—(ОН)—(111); (010)—(111)—(101)—(ill) и др. Пожалуй, в этом смысле_ис­ ключением являются цепочки: (IlO )-(lll)—(001)—(П1)—(110), (031)—(010)— (011)—(001)—(ОТ 1)—(031), (l3l)—(010)—(101)—( ill) —(121) и др., которые имеют проекции на своих пересечениях с линией контура.

Рис. 9.9. Заготовка стандартной стереографической проекции с полюсом <110>

ких символов граней кристалла, и связь между символами граней и ребер кри­ сталла, и определение символов зон в кристаллах, и определение символов воз­ можных граней кристалла, которые входят в заданную зону, и разнообразные методики проверки правильности полученных результатов.

Весьма полезной с этой точки зрения окажется и упомянутая выше работа с заготовками стандартных стереографических проекций, которая позволяет ак­ тивно овладеть полным комплексом базовых кристаллографических методов.

Исключительная информационная емкость стереографических методов де­ лает их перспективными и весьма компактными носителями информации не только внутри самой кристаллографии, но и в смежных отраслях. Поэтому сво­ евременное овладение этими методами, изучение особенностей работы со сте­ реографическими проекциями вообще и со стандартными стереографически­ ми проекциями в частности имеет самое серьезное теоретическое и практичес­ кое значение.

Так, при построении проекции нормали каждой последующей (возможной) грани кристалла по известным углам с нормалями предыдущих граней мы не­ посредственно обращаемся к закону Н. Стенопа о постоянстве двугранных уг­ лов между соответствующими гранями кристалла.

Построение стандартных стереографических проекций <100>, <110>, <111> неразрывно связано с представлениями Гаюи о закономерном, периодическом атомном строении кристаллов.

При построении стереографических проекций возможных граней кристалла

Рис. 9.10. Заготовка стандартной стереографической проекции с полюсом <111>

напрямую используем закон зон Вейсса: обращаемся к представлениям о воз­ можных и действительных гранях кристалла.

Когда мы вынуждены прервать процесс размножения возможных граней кристалла, то в качестве теоретического обоснования такого решения обычно ссылаемся на закон Браве, согласно которому кристалл ограняется такими гра­ нями, которым соответствуют невысокие значения индексов (и высокие значе­ ния ретикулярных плотностей).

Определяя символы новых граней, обращаемся и к методу параметров Вей­ сса, и к индексам Миллера (hkl), и к методу сложения индексов того же Вейсса.

При построении стандартных стереографических проекций неизбежно стал­ киваемся с определенными совокупностями элементов симметрии (осями сим­ метрии Lv Lv LAи п л о с к о с т я м и симметрии, как в вышеупомянутом примере), т.е. непосредственно обращаемся к соответствующим точечным группам (классам) симметрии, которые содержатся в 32 законах симметрии кристаллических мно­ гогранников А.В. Гадолина.

Таким образом, при построении стандартных и нестандартных стереографи­ ческих проекций практически используется вся законодательная база геомет­ рической кристаллографии (как одного из важнейших разделов обшей крис­ таллографии, посвященного описанию кристаллических многогранников) на­ чиная с первых законов кристаллографии Стенона, Гаюи и Вейсса и кончая законами симметрии Браве и Гадолина.