книги / Практическая кристаллография

На многочисленных примерах раскрывается содержание одной из важней­ ших характеристик кристаллического вещества — симметрии кристаллов и каж­ дой из ее составляющих — элементов симметрии: простых осей симметрии, зеркальных плоскостей симметрии, инверсионных осей симметрии и центра симметрии и их характерных признаков.

Для описания взаимной пространственной ориентировки множества эле­ ментов симметрии (а их количество в некоторых классах симметрии превыша­ ет два десятка различных элементов симметрии) используются наглядные сте­ реографические проекции, которые позволяют не только четко представить про­ странственное расположение каждого отдельного элемента симметрии и их совокупности в целом, но и охарактеризовать соответствующие углы между гранями и ребрами кристаллических многогранников.

Рассмотрение 32 классов симметрии сопровождается анализом соответствую­ щих возможных форм естественной огранки кристаллических многогранников, что, в свою очередь, помогает определению класса симметрии кристалла, по­ скольку простые формы огранки могут служить характерными признаками того или иного класса симметрии.

Для глубокого, неформального проникновения в сущность законов симмет­ рии внешней огранки кристаллических многогранников можно выполнить пос­ ледовательно следующие операции:

—построить по заданному международному символу точечной группы (клас­ са) симметрии стереографическую проекцию элементов симметрии;

— вывести формулы симметрии кристалла по заданному международному символу;

—определить отдельные элементы симметрии по моделям и чертежам кри­ сталлических многогранников;

—определить класс и формулы симметрии по модели кристаллического мно­ гогранника;

—построить стереографические проекции граней кристаллических много­ гранников;

—подсчитать число граней, связанных элементами симметрии, и сопоста­ вить полученные результаты с соответствующими таблицами;

—выявить координатные направления и единичные грани; —определить кристаллографические символы граней и ребер кристалличес­

ких многогранников;

—теоретически вывести точечные группы (классы) симметрии с помощью теорем взаимодействия элементов симметрии;

— вывести простые формы естественной огранки кристаллических много­ гранников.

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ГРАНЕЙ И РЕБЕР

КРИСТАЛЛА (ЗОНЫ)

8.1. Действительные и возможные грани и ребра кристалла

Как отмечалось ранее, формы естественной огранки зависят от множества условий как внутреннего, так и внешнего характера. Если влияние внутренних факторов в основном определяется закономерным атомным строением крис­ таллов, то влияние внешних факторов можно охарактеризовать как группу воз­ действий случайного характера. Условия образования природных кристаллов могут весьма сильно различаться в зависимости от общего химического соста­ ва маточной среды, ее температуры, величины переохлаждения, скорости охлаж­ дения и скорости кристаллизации, наличия конкретных примесей и микропри­ месей и множества других факторов. Кроме того, сами эти внешние факторы могут отличаться своей нестабильностью.

На рис. 3.1 был приведен пример огранки кубического кристалла, где сочета­ лись грани трех сортов: развитые грани куба {100} в виде квадратных атомных сеток и менее развитые грани октаэдра {111} из треугольных атомных сеток и грани ромбододекаэдра {110} из атомных сеток прямоугольной формы. Здесь однотипные грани не имеют общих ребер.

Но, если представить себе, что какие-то из условий образования растущего кристалла могут изменяться, то следствием таких изменений может стать изме­ нение естественной огранки кристалла: могут исчезнуть одни грани или по­ явиться другие, могут исчезнуть одни ребра или возникнуть новые.

В результате многократных попыток проникнуть в тайны изменчивости ес­ тественной огранки кристаллических многогранников возникли представле­ ния о действительных и возможных элементах огранки. Например, при измене­ нии условий образования кристалла могут исчезнуть грани октаэдра или ром­ бододекаэдра и возникнуть новые ребра на стыках граней куба или на стыках граней ромбододекаэдра, что приведет к изменению внешнего облика того же самого кристалла.

С помощью специальных исследований было установлено, что для измене­ ния естественной огранки кубического кристалла Pb(N03)2 от чистого октаэд­ ра до чистого куба (через все промежуточные стадии, когда на растущих крис­ таллах присутствуют одновременно и грани октаэдра, и грани куба) достаточно изменения содержания конкретной микропримеси в маточной среде всего на несколько тысячных долей процента! Следовательно, наблюдаемая естествен­ ная огранка кристаллического многогранника состоит из того или иного соче­ тания возможных граней и ребер, которое зависит от множества перечислен­ ных факторов. Число таких сочетаний далеко не ограничивается теми просты­ ми формами, примеры которых приводились в предыдущей главе.

Действительно, указание на такую возможную простую форму естественной огранки, как пентагондодекаэдр (для кубических кристаллов класса симметрии m3), свидетельствует только о типе огранки кристаллического многогранника, поскольку количество таких двенадцатигранников (с общей формулой симво-

граней одного кристалла, что позволяет во многих случаях упростить описание его огранки.

Стереографические проекции нормалей граней кристаллического многогран­ ника, принадлежащих одной зоне, располагаются на симметричных меридио­ нальных дугах круга проекций, поскольку все нормали этих граней лежат в одной плоскости. Например, проекции всех шести нормалей вертикальных гра­ ней гексагональной призмы (рис. 8.1, а) лежат на одном большом круге: конту­ ре круга проекций (рис. 8.1, б). Другим примером могут служить грани куба (рис. 1.2, а), из которых можно построить целых три зоны — по числу непарал­ лельных ребер, одна из которых (зона №1) объединяет четыре вертикальные грани: (100), (010), (ТОО) и (ОТО). Их проекции лежат на контуре круга проекций,

адве другие зоны объединяют грани: переднюю с задней и верхнюю с нижней (зона №2) — их проекции лежат на горизонтальном диаметре круга проекций,

атакже грани: переднюю с задней и правую с левой (зона №3) — их проекции лежат на вертикальном диаметре круга проекций (рис. 6.2, б).

8.3. Определение символа оси зоны (пояса)

Каждое ребро кристалла служит признаком вхождения соседних граней в определенную зону. В ту же самую зону войдут все другие грани, которые пере­ секаются по подобным параллельным ребрам. Кристаллографический символ ребра пересечения граней данной зоны [uw] называется символом зоны или, точнее, символом оси зоны. Например, символом зоны, объединяющей вертикаль­ ные грани гексагональной призмы (рис. 8.1, а), можно считать ±[0001].

Для трех зон, которые выстроили из граней куба, определим символы осей зон: [001] (для зоны №1), [010] (для зоны №2) и [100] (для зоны №3). После­ дний пример наглядно показывает, что линии пересечения вертикальных гра­ ней куба параллельны координатной оси OZ (зона №1), линии пересечения граней куба второй зоны параллельны координатной оси OY, а линии пересече­ ния граней третьей зоны параллельны координатной оси ОХ.

Вобщем случае, когда определение символа оси зоны не столь очевидно, как

вприведенном примере с зонами в кубе, для этой цели используют правило перекрестного перемножения индексов любой пары непараллельных граней, принадлежащих данной зоне:

Напомним, что в соответствии с этим мнемоническим правилом до начала перекрестного перемножения нужно отбросить оба крайних столбца и лишь

В результату получили для обеих зон однотипные символы: [w,v,w,] = ±[111] и [ M2V 2W 2] = ±[111], которые, кстати, совпадают с символами объемных диагоналей куба. Следовательно, каждое ребро ромбододекаэдра {110} параллельно одной из объемных диагоналей куба, точнее, каждое ребро ромбододекаэдра ориенти­ ровано в пространстве таким же образом, как одна из четырех объемных диаго­ налей куба.

Последний вывод можно подтвердить при рассмотрении стереографических проекций зон, образуемых действительными гранями ромбододекаэдра (рис. 8.2). Так, проекция оси первой зоны Jill], которая кроме граней (101) и (110) объе­ диняет еще грани (Oil), (ПО), (101), (011), точно совпадает с проекцией одно­ именной оси симметрии третьего порядка. Таким же образом проекция оси второй зоны [111], объединяющей кроме граней (011) и (110) также грани (101), (IlO), (Oil) и (101), совпадает с проекцией одноименной оси симметрии третьего порядка.

Каждая из рассмотренных зон объединяет по шесть граней ромбододекаэд­ ра. Подобных зон у ромбододекаэдра — четыре (по числу осей симметрии тре­ тьего порядка). Следовательно, каждая из его граней входит, по крайней мере, в две зоны. На самом деле, каждая грань любого кристалла имеет хотя бы одну пару непараллельных ребер.

Однако, занимаясь подобными подсчетами, мы учитывали только действи­ тельные ребра ромбододекаэдра, действительные линии пересечения его гра­ ней, которые оказались параллельными осям третьего порядка — объемным диагоналям куба. А если учесть возможные линии пересечения действительных граней этого кристаллического многогранника — возможные ребра кристалла, то количество зон существенно возрастет. Действительно, ромбододекаэдр име­ ет четыре действительные вертикальные грани, которые (как и возможные ли­

нии их пересечения) параллельны оси OZ или направ­ лению ±[001] и образуют зону с одноименным симво­ лом. Таким же образом можно объединить в аналогич­ ные зоны и две другие четверки граней, которые ориен­ тированы параллельно координатным осям ОХ (с сим­ волом оси зоны ±[100]) и ОУ (с символом оси зоны ±[010]).

Определение символа оси зоны для гексагональных кристаллов в принципе ничем не отличается от осталь­ ных кристаллов, однако в данном случае следует приме­ нять лишь «трехосные» символы граней гексагонального кристалла. Так, если даны четырехзначные символы этих граней {hkil}, то их сначала следует преобразовать в трех­

значные {hkl\ и лишь после этого заняться определением символа зоны по фор­ муле (8.1) или соответствующим правилам перекрестного перемножения. Так, совокупность граней гексагональной призмы задана символом {2110} (рис. 8.1, в). Определим соответствующий символ оси зоны, которая объединяет грани этой призмы, или, что то же, символ линии пересечения двух соседних граней, в качестве которых выберем грани (2ll0) и (ИЗО). После указанного преобразо­ вания получим новые символы тех же граней: (210) и (110), с помощью кото­ рых определим искомый символ оси зоны:

Полученный трехзначный символ оси зоны [001] преобразуем с помощью соотношений (4.21) в четырехзначный:

Отсюда найдем искомый четырехзначный символ оси зоны:

г, гг гэ г 4 = 0 0 0 3 = 0 0 0 1 => ±[0001].

Итак, символ оси зоны, которая объединяет грани гексагональной призмы {2ТТ0}, записывается следующим образом: ±[0001].

Если перейти к более глубокой аналогии между элементами естественной огранки кристалла и его закономерным, периодическим внутренним строени­ ем, то облачение кристалла в ту или иную внешнюю форму есть лишь результат проявления во внешней огранке действительных, реальных атомных плоско­ стей и атомных рядов, которые объективно существуют в кристалле и заложены в нем с момента его возникновения. В рамках этой аналогии зона — объединяю­ щее понятие для всех атомных плоскостей, которые параллельны определенно­ му направлению в кристалле, определенному атомному ряду в кристаллической структуре. Другими словами, понятие зоны позволяет объединить все действи­ тельные и возможные грани кристалла, которые содержат совершенно иден­ тичные и притом одинаковым образом ориентированные в пространстве атом­ ные ряды.

8.4. Условие принадлежности грани (hkl) зоне [uvw\

Рассмотрим аналитическое условие, которое описывает вхождение грани (hkl) в зону [wvw]. Для решения этой задачи проанализируем общее уравнение плос­ кости (5.14).

В терминах решаемой задачи будем называть направление [mw] параллель­ ным плоскости (hkl), что вполне соответствует упомянутому общему уравне­ нию плоскости (5.14): любое направление, принадлежащее данной плоскости, можно рассматривать как параллельное этой плоскости. Следовательно, извест­ ное нам уравнение (5.14) обретает новое кристаллографическое качество: оно позволяет объединить все плоскости (hkl), которые параллельны некоторому направлению [wvw], или определить все плоскости кристалла, которые принад­ лежат зоне [MVW]. Таким образом, уравнение (5.14) можно считать аналитичес­

Следует отметить, что с помощью соотношения (8.2) можно определить кри­ сталлографические символы любых граней кристалла, входящих в данную зону, независимо от того, действительные это грани или это — возможные грани.

Задача. Рассчитать с помощью уравнения (8.2) кристаллографические сим­ волы плоскостей (hkl), входящих в зону [MVW] = [111].

Подставим указанные символы оси зоны в уравнение принадлежности гра­ ни (hkl) зоне [MVW] (8.2) и получим в результате искомое условие:

В соответствии с найденным условием (8.3) определим перечень плоско­ стей (hkl), которые могут входить в указанную зону. Для этого расположим индексы искомых плоскостей в виде столбика, записывая (в порядке возраста­ ния) индексы h и /, а затем —индекс к (табл. 8.1).

Как можно заметить, индексы первой шестерки символов плоскостей, вхо­ дящих в указанную зону, состоят только из нулей и единиц, а соответствующие проекции этих плоскостей располагаются на контуре круга проекций и его диаметрах (рис. 8.2). Индексы второй шестерки состоят из одной двойки и двух единиц, а проекции соответствующих плоскостей лежат на границах сферичес­ ких треугольников.

Что же касается второй дюжины плоскостей, которые могут войти в ту же зону, то стереографические проекции их нормалей занимают общее положение (внутри сферических треугольников), а соответствующие индексы кроме еди­ ницы и двойки содержат по одной тройке (рис. 8.3).

Очевидно, что приведенным перечнем символов состав плоскостей, которые могут войти в указанную зону, не ограничивается, и этот список можно продол­ жить. Однако в искомое решение входило лишь ознакомление с методикой определения состава плоскостей, которые по формальным признакам могут входить в определенную зону.

Следует добавить, что состав (и количество) действительных естественных граней кристалла ограничивается в соответствии с законом Браве, согласно которому кристалл ограняется такими гранями, которым соответствуют макси­ мальные значения ретикулярных плотностей (с которыми связаны невысокие значения индексов граней) (см. гл. 2).

8.5. Правило суммирования индексов граней

Запишем условия принадлежности к одной и той же зоне [wvw] для каждой из двух граней (AjA,/,) и (А2А2/2), входящих в эту зону:

Содержание этого уравнения сводится к тому, что грань (А3А3/3) входит в ту же самую зону [uvw], если ее индексы получены в результате суммирования соот­ ветствующих индексов двух граней, входящих в эту зону:

А3 = А, + А2, А3 = А, + А2, /3 = /, + /2.

В качестве примера обратимся к стереографической проекции на рис. 8.3, где представлены символы действительных и возможных граней кубического кри­ сталла, которые входят в зону [ill]. Проекция грани (231), принадлежащей ука­ занной зоне, располагается на одной дуге большого круга между проекциями соседних граней (110) и (121). Символы грани (231) можно получить суммиро­ ванием соответствующих индексов указанных соседних граней в полном соот­ ветствии с условием (8.4). На том же рис. 8.3 можно найти множество подобных примеров.

Пользование правилом суммирования индексов позволяет в значительной степени облегчить работу со стереографическими проекциями. Приведем сле­ дующий простой пример. Для этого рассмотрим привычную стереографичес­ кую проекцию нормалей граней куба {100}, разбитую на сферические треуголь­ ники (рис. 8.4, а). Каждая из проекций граней куба располагается на стыке вось­ ми вершин сферических треугольников.

На стыках четырех сферических треугольников, лежащих на диаметрах, а также на контуре круга проекций , располагаются проекции возможных граней {110} кубического кристалла, символы которых можно определить методом суммирования соответствующих индексов граней куба (рис. 8.4, б).