книги / Практическая кристаллография
..pdfПроиллюстрируем применение индексов Миллера на нескольких примерах индицирования граней кубических кристаллов:
-грань АВС (рис. 5.3, а): (hkl) = (111);
-грань ABCD (рис. 5.3, б): (hkl) = (Oil);
-грань ABCD (рис. 5.3, в): (hkl) = (ПО);
-грань ABCD (рис. 5.3, г): (hkl) = (001);
-грань ABCD (рис. 5.4, а): (hkl) = (100);
-грань АВС (рис. 5.4, б): (hkl) = (111);
-грань АВС (рис. 5.4, в): (hkl) = (111).
5.7.Связь символов Миллера с атомной плотностью граней
Всвязи с приведенными примерами применения индексов Миллера для определения символов граней кристалла необходимо отметить аспект о нали чии взаимосвязи символов Миллера (hkl) с таким важным показателем кри сталла, как ретикулярная плотность его граней (количеством атомов, приходя щихся на единицу площади атомной плоскости) — важнейшей характерис тикой заселенности атомной плоскости (см. гл. 2). Проведем сопоставление ретикулярных плотностей р для различных атомных плоскостей (hkl) про стейшей кубической кристаллической структуры, в которой атомы располага ются только по вершинам кубических элементарных ячеек (рис. 5.5). Ниже в качестве примера приведены результаты расчета значений ретикулярной плот ности р для нескольких атомных плоскостей (hkl) примитивного кубическо го кристалла (здесь ретикулярная плотность для атомной плоскости (100) условно принята за единицу):
(hkl) |
.... 100 |
110 |
120 |
111 |
112 |
122 |
130 |
113 |
230 |
223 |
123 |
р ....... |
1,00 |
0,71 |
0,45 |
0,43 |
0,41 |
0,33 |
0,32 |
0,29 |
0,28 |
0,24 |
0,18 |
Сопоставление этих результатов расчета ретикулярной плотности для разных атомных плоскостей позволяет обосновать объективную взаимосвязь между зна чениями ретикулярной плотности атомной плоскости, с одной стороны, и индек сами символа этой атомной плоскости, с другой стороны. В простейшем виде эта взаимосвязь выражается следующим образом: чем больше сумма абсолютных значений индексов в символе атомной плоскости (2 = | h | + | £| + 1/|), тем меньше се ретикулярная плотность р, тем меньше приходится атомов на единицу площа ди атомной плоскости. Так, минимальной сумме 2 = 1 соответствует максималь ная ретикулярная плотность р = 1,00; 2 = 2 соответствует р = 0,71; сумме 2 = 3 отвечает р = 0,43-0,45. Если 2 = 4-5, то величина р снижается до 0,41-0,28; если 2 = 6—7, то р снижается от 0,24 до 0,18.
Благодаря указанной взаимосвязи можно несколько расширить рамки зако на Браве, отметив указанную количественную компоненту: растущий кристалл покрывается гранями с максимальной ретикулярной плотностью, которым со ответствуют минимальные значения индексов Миллера. Значит, доля других граней (со сравнительно высокими значениями индексов А, к, I) невелика.
|
|
|
|
|
|
В равной степени несущественно влияние малоза |
|
|
- f \ |
t i ,— |
i |
селенных атомных плоскостей кристалла на его |
|
н |
|
p- к —1 |
|
свойства. Следовательно, свойства кристалла опре |
||
|
n |
деляются главным образом плотно заселенными |
||||
ti |
|
h 1 |
|
i |
атомными плоскостями (с минимальными значе |
|
- |
4*-~-i t |
ниями суммы абсолютных величин индексов 2). |
||||
V |
|
|
|
|||
|
|
f ! |
—f r — |
|
5.8. Определение плоскости по символам ее |
|
|
|
П |
1 |
1 |
|
|
V |
- - H |
-I |
-P |
атомных рядов |
||
t i - ~ - |
|
|
+—■ |
Геометрически ориентировка атомной плоско |
||
d |
|
< — |
|
\----У |
||
Рис. 5.5. Вид примитивной |
|
сти в пространстве однозначно определяется по |
||||
|
расположению двух принадлежащих ей атомных |
|||||
(простой) кубической кристал |
||||||
лической структуры |
|
рядов. По отношению к плоскости, которая прохо |
||||
|
|
|
|
|
|
дит через начало координат, это заключение экви |
валентно определению плоскости по двум радиус-векторам.
Для решения поставленной задачи воспользуемся общим уравнением плос кости (5.14). Пусть заданы символы двух атомных рядов и [H2V2W2], при надлежащих некоторой плоскости (Ш). Составим для каждого из этих атомных рядов условие принадлежности его неизвестной атомной плоскости (hkl):
Ли, + Лу, + Лу, = 0;' |
(5.23) |
||
Ли2 + kv2+ lw2 |
= 0. |
||
|
|||
В результате решения данной системы уравнений получим следующие соот ношения:
Л : к ш(v,w2 - v2w,): (W,H2 - w2«,);l |
|
к : / = (W,H2 - w2n ,): (и,у2 - и2у,). |
(5-24) |
Объединяя уравнения системы (5.24), получим окончательное выражение, позволяющее определить индексы атомной плоскости по известным кристал лографическим символам двух атомных рядов, которые принадлежат этой плос кости:
h к 1= ± (у,уу2 - v2vy,) (W,H2 - w2u{) (u,v2 - и2у,). |
(5.25) |
Указание двойного знака (±) в правой части равенства учитывает произ вольный характер чередования символов атомных рядов при их перемножении (а также двузначность символа самого атомного ряда) и предусматривает сво боду выбора нужного знака.
Напомним, что, как искомые индексы атомной плоскости, так и заданные,
символы атомных рядов выражаются целыми, взаимно простыми, небольшими числами. Отметим также, что полученное решение задачи (5.25) носит универ сальный характер и применимо как для прямоугольных, так и для косоуголь ных декартовых координатных систем.
Чтобы облегчить пользование довольно громоздким выражением (5.25), при меняют следующий простой мнемонический прием. В первой строчке записыва ют дважды кристаллографические символы одного атомного ряда, а в следую щей строчке — символы другого атомного ряда (строго под одноименными
символами первого атомного ряда): |
|
|
|
||||
(«0 |
Vi |
W\ |
Щ |
vi |
(Wl) |
|
|
|
|
X |
X |
X |
|
|
|
(«2) |
V2 |
Щ |
и2 |
v2 |
("2 ) |
(5.26) |
|
A k : 1 = ±(vjW2 — V2 W1) |
(\v\U2 |
—щи\) |
(u\V2 —uiv\). |
|
|||
Затем отбрасывают крайний левый и крайний правый столбцы и выполняют перекрестное перемножение, последовательно перемножая верхний член преды дущего столбца (например, v,) на нижний член последующего столбца (и>2) и вычитают из этого произведения другое произведение — нижнего члена пре дыдущего столбца (v2) на верхний член последующего столбца (w,), после чего приступают к аналогичному перемножению следующей пары столбцов. В итоге в точности получают выражение (5.25). Добавим, что описанный мнемоничес кий прием часто именуют также правилом перекрестного перемножения.
Рассмотрим в качестве примера применения соотношения (5.25) определе ние символов граней куба. Так, передняя грань куба (рис. 5.4, а) ограничена двумя парами параллельных ребер, одна из которых расположена параллельно координатной оси OY [010], другая пара ребер — параллельна координатной оси OZ[001].
Для определения символа передней грани куба воспользуемся формой (5.26):
(0) |
1 |
0 |
0 |
1 |
(0) |
|
X |
X |
X |
|
|
(0) |
О |
1 |
0 |
0 |
(1) |
Отбросив крайние столбцы, проведем описанное перекрестное перемноже ние:
А к / = ± ( 1 - 1 - 0 - 0 ) ( 0 - 0 - 1-0) (0*0 —0*1) => ±(Ю0).
Из двух возможных символов выберем для передней грани куба символ (100), подразумевая, что начало координат расположено в центре куба. Тогда неис пользованный символ -(100) = (100) пригодится для задней грани куба.
Для верхней грани куба (рис. 5.3, г), ограниченной ребрами: ±[100] и ±[0Ю], получим аналогичным образом:
(1) |
0 |
0 |
1 |
0 |
(0) |
|
X |
|
X |
X |
|
(0) |
1 |
0 |
0 |
1 |
(0) |
h к |
/ = ± ( 0 * 0 - 1 - 0 ) |
|
( 0 - 0 - 0 - 1 ) |
(1 1 - 0 • 0) =* ±(001). |
|
Если начало координат расположим в центре куба, то верхней грани будет соответствовать символ (001), а нижней грани — символ (001).
И наконец, для правой грани куба BDCE (рис. 5.4, в), которая ограничена ребрами ±[100] и ±[001], параллельными осям ОХ и OZ, получим:
(1) |
0 |
0 |
1 |
0 |
(0) |
|
X |
X |
X |
|
|
(0) |
0 |
1 |
0 |
0 |
(1) |
h к |
/ = ±(0-1 - 0 - 0 ) |
( 0 - 0 - |
1-1) |
( 1 - 0 - 0 - 0 ) |
=>±(010). |
Полагая начало координат в центре куба, выберем для правой грани символ (010), поскольку именно правая грань куба пересекает ветвь +OY, а символ (ОТО) вполне подойдет для левой грани куба AOCF(рис. 5.4, б), поскольку именно левая грань куба отсекает некоторый отрезок на отрицательной полуоси —OY.
Просматривая приведенный пример, можем отметить, что наличие нулей в символе грани кристалла является признаком параллельности этой грани той или иной координатной оси. Так, передняя грань куба (100), равно как и задняя его грань (100), параллельна и оси OY, и оси OZ, чему соответствуют нулевые значения индексов во второй и третьей позициях символов обеих граней. Та ким же образом нулевые значения индексов И и к в символах верхней (001) и нижней (001) граней куба служат признаками параллельности каждой из этих граней осям координат ОХ и OY.
5.9. Определение плоскости по символу другой плоскости
Среди множества способов определения символов атомной плоскости был упомянут метод определения отношений индексов Миллера И, к, I по отноше ниям отрезков ОА2, ОВ2, ОС2, которые отсекает определяемая грань (или атом-
над плоскость) кристалла на координатных осях, к соответствующим отрезкам ОА OBv OCv отсекаемым единичной гранью на осях координат (5.19). Однако определение самой единичной грани и, следовательно, соответствующих отрез ков, которые она отсекает на осях координат, иногда может быть затруднитель ны^. Для этих случаев можно рекомендовать другой способ определения сим вола грани кристалла (или его атомной плоскости), который описывается ниже.
3 данном случае можно воспользоваться известным символом любой дру гой грани того же кристалла. Рассмотрим теоретические основы этого метода. В соответствии с основным определением индексов атомной плоскости (5.19) для некоторой плоскости с известным символом (h2k2l2) можно записать:
04, . 0 ВХ 6>С, |
(5.27) |
Нг : ^ 12 - ОАг ■0Вг ■0Сг ■ |
Аналогичным образом для неизвестных индексов hv к3, /3 определяемой плос кости АЪВ3С3, которая отсекает на координатных осях отрезки 043, 0В3, 0CV запишем соотношение
h |
къ |
i |
= 9 ^ L :9 b ,:9 £ i |
(5.28) |
3 |
3 |
3 |
043 0В3 ОС3 |
|
Затем, разделив (5.28) на (5.27), получим соотношение |
|
|||
|
. h _ 0А~2. 0Вг _0Сг |
15 291 |
||
h2 ' к2 ' /2 |
04j ' ОВг ' ОС3' |
У ' ’ |
||
Из последнего выражения можно получить ответ на поставленный вопрос об индексах определяемой атомной плоскости (грани) кристалла:
V к3: /3 |
0 ^ : |
05, :/20С2 |
(5.30) |
|
2 04, |
0В3 о с 3 |
|
В соответствии с полученными соотношениями для определения индексов неизвестной атомной плоскости (h3k3l}) нужно найти отношения отрезков, от секаемых на осях координат OX, OY, 0Z известной и определяемой атомными плоскостями (гранями) кристалла, и умножить каждое из этих отношений на соответствующий известный индекс данной плоскости (грани).
В качестве примера рассмотрим подобный случай, когда задана грань крис талла (hkt) = (423) и отношения отрезков, отсекаемых на осях координат ОХ, OY, 0Z заданной и определяемой гранями кристалла, равных соответственно
I 3 |
1 |
^ 2—;3 |
- . С помощью соотношения (5.30) найдем отношение индексов |
К L L = |
= 2 3 1. |
Следовательно, искомый символ грани: (Л3А:3/3) = (231).
5.10. Определение плоскости по направляющим косинусам ее нормали
Определяя символы направлений в кристалле, уже применяли метод направ ляющих косинусов для описания кристаллов. В настоящем пункте познако мимся с применением этого метода для описания атомных плоскостей (гра ней) кристалла.
Пространственное положение атомной плоскости в кристалле однозначно определяется ориентировкой ее нормали. Рассматриваемый метод описания атомных плоскостей сводится к определению пространственной ориентировки их нормалей.
Пусть ОР — перпендикуляр, опущенный из начала координат О на атомную плоскость АВС (рис. 5.6). К нормали ОР примыкают три прямоугольных треу гольника: АРО, ВРО и СРО. Нормаль ОР образует с осями координат следую щие углы: ААОР= X, LBOP= ц, LCOP=V. Из указанных треугольников можно определить величины отрезков, которые атомная плоскость АВС отсекает на координатных осях:
ОА ~ ра0 = ОР/cosX; OB = qb0= OP/cos\i; ОС = гс0 = ОР/cosv.
Разделим каждое из полученных равенств на соответствующую осевую еди ницу:
г |
р = |
ОА/а0 = |
OP/(a0cosk); |
q = OB/b0 = |
ОР/(Ь0совц); |
||
|
r = |
OC/co = |
OP/(c0cosv). |
В соответствии с определением индексов Миллера (5.18) найдем отношение обрат ных величин параметров:
о
Y
п |
р |
q г - |
(5.31) |
= а0cosX |
A0cosp. |
с0cosv. |
X
Рис. 5.6. К методу направляющих косинусов
Полученное соотношение носит универ сальный характер и применимо для любых
кристаллов: индексы атомной плоскости (или грани кристалла) относятся как произведения направляющих косинусов ее нормали на соответствующую осе вую (масштабную) единицу.
Определим символ грани ромбического кристалла а-урана по следую щим данным: а0 = 0,2854 нм; Ь0 = 0,5870 нм; с0 = 0,4958 нм; X = 22,6246°;
ц = 81,3968°; v = 69,2419° |
Подставим эти данные в формулу (5.31): |
|
h к |
/=(0,2854-0,9230) |
(0,5870-0,1501) (0,4958-0,3544) = |
= 0,2634 |
0,0881 0,1757 = 3 |
1 2. |
Таким образом, пользуясь методом направляющихся косинусов, получили для заданной грани ромбического кристалла символ (312).
Обратим внимание на весьма важный частный случай применения метода направляющих косинусов. Хотя этот метод является универсальным и находит применение для любых кристаллов, его частная форма для кубических кристал лов заслуживает особого внимания.
Ввиду равенства осевых единиц у кристаллов кубической сингонии форму
ла для индексов (5.31) |
приобретает более простой вид: |
|
И к: I = cosX cosp |
cosv, |
(5.32) |
т.е. для кубических кристаллов отношение индексов атомной плоскости равно простому отношению направляющих косинусов ее нормали.
Приведем некоторые примеры применения формулы (5.32).
1. Для грани кубического кристалла даны величины углов между нормалью определяемой грани и координатными осями: X = 63,4350°; ц = 90°; v = 26,5650° Требуется определить символ грани. По указанной формуле
h к : / = cosX cosp cosv = 0,4472 0 0,8944 = 1 0 2.
Искомый символ грани кубического кристалла (102).
2. Для грани кубического кристалла даны величины углов между норма лью определяемой грани и координатными осями: X = 68,1986°; ц = 56,1455°; v = 42,0311° Определяем отношение индексов грани:
h к 1= cosX cosp cosv = 0,3714 0,5571 0,7456 = 2 3 4.
Искомый символ грани кубического кристалла (234).
3. Для атомной плоскости кубического кристалла даны величины углов мехсду нормалью плоскости и координатными осями: X = 29,2059°; ц = 102,6044°; v ~ 64,1233° Определяем отношение индексов плоскости:
h к: 1= cosX соsp. cosv = 0,8729 (-0,2182) 0,4364 = 4 (-1) 2.
Искомый символ атомной плоскости (412).
Интересную разновидность метода направляющих косинусов представляет со бой особый способ определения неизвестного символа грани кристалла (ЛАТ), когда вместо единичной грани и отношения осевых единиц заданы некий сим вол другой грани того же кристалла (Л,^,/,) и направляющие косинусы норма ли этой грани: cosX,, cosix,, cosv,.
В этом случае для определения символа грани (hkt) используем дважды базовое уравнение метода направляющих косинусов (5.31): один раз для опре деляемой грани:
A k: / = а0cosX A0cos|j. c0cosv, |
(5.33) |
другой раз — для заданной грани: |
|
А,: к{ /, = a0cosX, A0cos|x, c0cosv,. |
(5.34) |
Разделив почленно первое уравнение на второе, получим расчетное соотно шение для определения искомых индексов грани:
Л к: 1= А, |
;к |
^ |
. |
(5.35) |
cosX, COSJi, COSVj
Теперь для определения символа грани (hkl) остается лишь определить на правляющие косинусы ее нормали. Пусть для известной грани кристалла (211) даны углы между ее нормалью и осями координат: X, = 42,5°; ц, = 70°; v, = 54,25° Измерения соответствующих углов между нормалью определяемой грани и осями координат дали следующие результаты: X = 51°; (х = 54,5°; v = 60° Подставим указанные значения в формулу (5.35):
А |
0,629\ |
/ 0,581 |
/ 0,500 |
1,706:1,699:0,856 - 2:2:1. |
|
0 ,7 3 7 )' |
(0,342 |
I 0,584 |
|||
|
|
В результате определили символ грани кристалла (221).
5.11. Определение плоскости по координатам трех атомов
При решении этой задачи будем использовать полученное ранее выражение (4.16) для вектора AB[M'VW], который соединяет точки A(ut; v,; w,) и В(и2\ v2; w2):
u':v':w ' = (и2 - м,) (v2 - v,) (w2 - w,).
Возьмем еще одну точку С(ы3; v3; w3), которая также лежит в плоскости АВС
(рис. 5.7), и построим вектор BC[H";V";W'] аналогично (4.16):
и": v": w" = (и3м2) : (v3 - v2) : (w3 - w2). |
(5.36) |
Теперь для нахождения символа плоскости АВС воспользуемся методом перекрестного умножения (5.26). По той же схеме записываем по два раза в каждой строчке индексы каждого атомного ряда, от брасывая крайние столбцы, и производим перекрес тное умножение:
Рис. 5.7. К методу трех точек
(«2 - |
« l) |
(V2 “ |
Vi) |
( W2 ~ W!) |
(и2 - |
U\) |
(V2 - |
VO |
(w2 ~ Wj) |
||
|
|
|
X |
X |
|
X |
|
|
|
|
|
(“3 ~ |
U2) |
(V3 - |
v2) |
(и>з - w2) |
|
(«3 - |
“2> |
(V3 ~ V2) |
(^3 |
~ wl) |
|
|
|
h |
k : 1= ±[(v2 - vi)(w3 - |
w2) - |
(v3 - v2)(w2 - wi)] |
||||||
|
|
|
|
[(w2 ~ |
|
W I)( M3 - |
u2) - |
(w3 - |
w2)(u2 ~ Ml)] |
||
|
|
|
|
[( M2 - |
M i)(v3 - |
V2) - |
( M3 - |
M2)(v 2 - |
Vl)]. |
||
Тот же самый результат можно представить в виде отношения трех детерми нантов:
|
1 |
V j |
w l |
Щ 1 |
w x |
u l V 1 |
1 |
|
||
h : k : l = ± |
1 |
V 2 |
^ 2 |
и |
1 w 2 |
« 2 |
V2 |
1 |
(5.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
V 3 |
* 3 |
« 3 |
1 |
w 3 |
и г |
v 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В качестве примера применения определения символа атомной плоскости по трем точкам проверим правильность предлагаемого решения следующей задачи. Требуется определить символ атомной плоскости по данным координа
там атомов: А( 1; |
1); я ф 1; 1); С(1; 1; ^ :) (рис. 5.7) (ответ: ±(111)). |
5.12. Определение символа линии пересечения атомных плоскостей
Выше рассмотрели задачу определения символа грани кристалла (hkt) по известным символам двух ее непараллельных ребер [м^и»,] и [M2V2W2], что при
вело к общему ее решению в виде простого приема перекрестного умножения (5.26). Напомним, что это решение задачи в самом общем виде было достигнуто на базе общего уравнения плоскости (5.14).
Учитывая весьма широкие возможности этого общего уравнения плоскости, используем его для решения важной задачи определения линии пересечения [uvw] двух атомных плоскостей (А,^/,) и (h2k2l2).
Подставим поочередно индексы двух заданных атомных плоскостей в об
щее уравнение плоскости (5.14): |
|
|
А,и + £,v + lxw = 0;' |
(5.39) |
|
f^u + k2v + l2w = 0. |
||
|
Решение этой системы уравнений относительно неизвестных и, v, w напоми нает решение аналогичной системы (5.23):
ы : v - (*,/2 - fcj/,): (/Л |
- 1АУЛ |
|
v : w - (/,Aj - /2А,): (А,ы2 |
- AjU,). J |
(5-40) |
Объединяя эти соотношения, получим |
|
|
и : v : w= (А,/2 - к21х) : (/,А2 - /2А,): (А,и2 - Л2м,). |
(5.41) |
|
Полученное решение можно представить также в форме таблицы перекрес тного умножения (как и в вышеупомянутой задаче):
( А , ) |
* 1 |
h |
h \ |
к \ |
( / . ) |
|
|
X |
X |
X |
|
(А2) |
к 2 |
/2 |
А2 |
к 2 |
( / 2) |
и : v : w = ± {к\12 ~ к21\) |
(lxh2 ~ |
l2hx) (hxk2 - |
h2kx). |
||
Напомним, что записанный под таблицей умножения итог получается, если, отбросив крайние столбцы, перемножить перекрестным образом члены остав шихся четырех столбцов.
5.13.Особенности индицирования кубических кристаллов
Всилу особенностей своего внутреннего строения кубические кристаллы обладают равенством модулей всех трех осевых единиц: а0 = Ь0 = с0 Именно эти обстоятельства привели ранее к удивительному сходству двух формул (4.9) и