книги / Практическая кристаллография

перпендикулярных элемента симметрии: это либо простые оси симметрии чет­ вертого порядка (4), либо инверсионные оси симметрии четвертого порядка (4), либо (если нет осей симметрии четвертого порядка) простые оси симметрии второго порядка (2). Независимо от того, присутствуют на кубическом кристал­ ле грани октаэдра и тетраэдра, которые отсекают на координатных осях отрез­ ки одинаковой величины, или же не присутствуют, осевые единицы считаются равными друг другу: а0 = Ь0 = с0

Выводы. Определение элементов симметрии делает возможным судить о свой­ ствах кристалла и, следовательно, об областях его практического применения, а также подтвердить закономерное атомное строение кристалла и его особенно­ сти. Определение элементов симметрии кристалла позволяет отнести его к оп­ ределенной сингонии и категории и выбрать для его описания определенную координатную систему.

Выбор координатной системы тесно связан с внутренним строением крис­ талла: координатные (кристаллографические) оси совпадают с наиболее плот­ ными атомными рядами кристаллической структуры — осями симметрии, а масштабные (осевые) единицы напрямую совпадают с соответствующими межатомными расстояниями.

Простые оси симметрии Ьп позволяют совместить друг с другом равные грани кристаллического многогранника простым поворотом его вокруг прохо­ дящей через него прямой линии — оси симметрии — поворотом на 180° вокруг оси симметрии второго порядка Ь2, или поворотом на 120° вокруг оси симмет­ рии третьего порядка Lv или поворотом на 90° вокруг оси симметрии четверто­ го порядка Ь4, или поворотом на 60° вокруг оси симметрии шестого порядка L6

Плоскости симметрии Р позволяют связать друг с другом равные грани кристаллического многогранника, как зеркало связывает предмет с его зер­ кальным изображением.

Центр симметрии С (или «зеркальная» точка) позволяет связать равные, обратно параллельные грани кристалла отражением в его особой, зеркальной точке.

Инверсионные оси симметрии позволяют связать равные грани кристалли­ ческого многогранника с помощью двух операций: поворотом вокруг прямой линии (как вокруг простой оси симметрии) и отражением в особой, централь­ ной точке кристалла — его центре инверсии как в центре симметрии.

В кристаллах могут быть инверсионые оси симметрии третьего, четвертого и шестого порядка, некоторые из которых можно заменить эквивалентными со­ четаниями простых элементов симметрии: Lf=L3 + С и Li = L3 + Р± (где Рх — плоскость симметрии, перпендикулярная оси симметрии Z,3).

При определении элементов симметрии кристаллов по их естественной ог­ ранке полезно придерживаться следующих практических рекомендаций.

Вначале следует выявить оси симметрии высшего порядка (т.е. выше второ­ го), а затем уже переходить к определению осей симметрии второго порядка и остальных элементов симметрии (плоскостей симметрии и центра симметрии). Оси симметрии высшего порядка проходят через вершины, где сходятся рав­ ные ребра, или через центры граней с числом ребер, кратным порядку оси сим­ метрии.

Если при определении осей симметрии имеем кристалл или модель крис­ таллического многогранника, нужно стараться не вращать их, так как это может привести к ошибке при подсчете однородных элементов огранки и количества самих элементов симметрии.

Простая ось симметрии шестого порядка (6) может проходить либо через вершину правильной шестигранной (двенадцатигранной) пирамиды, либо че­ рез центр правильного гексагона (или дигексагона).

Простая ось симметрии четвертого порядка (4) может проходить либо через вершину правильной четырехгранной (восьмигранной) пирамиды, либо через центр грани с количеством ребер, которое кратно четырем.

Ось симметрии третьего порядка (3) (а также инверсионные оси симметрии третьего (3) и шестого (5) порядка) проходит либо через правильную (образо­ ванную тремя одинаковыми плоскими углами) трехгранную вершину, либо че­ рез центр грани в виде правильного треугольника или шестиугольника.

Ось симметрии второго порядка (2) проходит либо через середину ребра кристаллического многогранника (перпендикулярно ребру), либо через центр грани, либо через вершину, образованную четным числом граней с попарно равными противоположными двугранными углами.

Инверсионная ось симметрии четвертого порядка (4) содержит в себе про­ стую ось симметрии второго порядка (2) и поэтому внешне весьма похожа на нее, т.е. соответствуют тем же самым внешним признакам. Однако в отличие от оси симметрии второго порядка инверсионная ось симметрии четвертого по­ рядка объединяет не только верхнюю грань с такой же верхней, или нижнюю грань с такой же нижней, но и верхние грани с такими же нижними (например, как у тетрагонального и кубического тетраэдров).

Плоскость симметрии проходит либо вдоль ребра кристалла, образуя при этом равные углы со смежными гранями, либо через биссектрису угла между пересекающимися равными ребрами, либо перпендикулярно грани кристалла, рассекая ее на две зеркально равные части. Плоскость симметрии присутствует в кристаллах с инверсионной осью симметрии шестого порядка (5), располага­ ясь перпендикулярно этой оси. Если плоскость симметрии проходит вдоль про­ стой оси симметрии (т.е. располагается параллельно этой оси симметрии), то общее количество плоскостей симметрии, которые проходят вдоль этой оси симметрии, совпадает с порядком оси симметрии.

Центр симметрии (С или 1) выявляется по наличию обратно параллельных граней; такой кристалл образован параллельными гранями, которые имеют оди­ наковые размеры и геометрическую форму и развернуты относительно друг друга на 180° Центр симметрии возникает в кристаллах, содержащих простые оси симметрии четного порядка и перпендикулярных этим осям плоскости симметрии. При наличии центра симметрии общее количество простых осей симметрии четных порядков (второго, четвертого и шестого) должно совпадать с количеством плоскостей симметрии, содержащихся в кристалле. Все кристал­ лы с инверсионной осью симметрии третьего порядка (3) содержат также центр симметрии. Не следует путать центр симметрии с похожим на него центром инверсии, не являющимся самостоятельным элементом симметрии, как об этом различии уже указывалось ранее.

В затруднительных случаях при определении элементов симметрии крис­ таллов рекомендуется обращаться к таблице 32 классов симметрии, где при­ водятся всевозможные сочетания элементов симметрии кристаллических мно­ гогранников (см. гл. 7).

ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИМВОЛОВ АТОМНЫХ РЯДОВ

4.1. Анизотропия свойств кристалла

Точное определение направления в кристаллах имеет важнейшее значение при использовании их в технике. Действительно, одной из характерных особен­ ностей кристаллических тел является зависимость большинства их свойств от кристаллографического направления. Эта особенность кристаллического стро­ ения носит специальное наименование — анизотропия кристаллов. Причина такого поведения кристаллов заключается в их периодическом атомном строе­ нии. Как можно было видеть из рис. 3.1, непараллельные атомные ряды могут весьма сильно отличаться друг от друга по своей структуре, т.е. по соответствую­ щим межатомным расстояниям.

В качестве примера анизотропии свойств кристаллов рассмотрим результа­ ты экспериментального исследования предела прочности монокристалла хло­ рида натрия NaCl. Предел прочности представляет собой величину предельной механической нагрузки (при растяжении специально изготовленного кристал­ лического образца), отнесенную к единице площади поперечного сечения об­ разца. Предел прочности (при растяжении) указанного кубического кристалла изменяется от 4,0 до 14,0 МПа в зависимости от ориентировки испытуемого образца.

При растяжении вдоль любого ребра куба (рис. 4.1) предел прочности со­ ставляет всего 4,0 МПа. Если же ось вырезанного образца ориентирована вдоль диагонали грани куба, то предел прочности возраста­ ет до 9 МПа, а если ось образца ориентировать вдоль объемной диагонали куба, то предел прочности дос­ тигнет максимальной величины — 14 МПа. Таким образом, кристаллографическая ориентировка образца самым существенным образом влияет на величину

предела прочности монокристалла NaCl, вызывая многократное изменение этого параметра. При этом уместно отметить, что прочность этого кубического кристалла вдоль различных его ребер, которые здесь связаны друг с другом элементами симметрии, со­

привел автор закона анизотропии Э. Митчерлих (1822 г.). С помощью чувстви­ тельного прибора он определил, что при нагреве кристалла на 100 °С происхо­ дит его расширение вдоль оси симметрии третьего порядка (по вертикали) на +0,00196 долей, а по горизонтали происходит сжатие кристалла кальцита на величину —0,00096 долей соответствующих исходных размеров. При этом объем­ ное расширение кристалла составляет величину +0,00286 долей. Указанная ха­ рактерная анизотропия теплового расширения приводит даже к некоторому изменению углов между гранями кальцита.

Приведенные примеры доказывают, насколько важно точное определение кристаллографической ориентировки кристалла как при изучении его свойств, так и для применения разнообразных кристаллических элементов в различных отраслях техники.

4.2. Определение символов направлений в кристалле по координатам радиус-вектора

В соответствии с общепринятым определением радиус-вектор ON, который соединяет начало координат 0(0; 0; 0) с некоторой точкой N(m; п; р), опреде­ ляется как

где а, Ь, с — базисные (единичные) векторы пространственной решетки, а целочисленные коэффициенты т, п и р — координаты радиус-вектора ON.

Как известно, между кристаллической структурой и ее математической мо­ делью (пространственной решеткой) существует геометрическое и размерное соответствие. На этом основании любое направление в кристалле, определяе­ мое любой парой атомов, которые принадлежат данному направлению, можно представить соответствующим параллельным вектором пространственной ре­ шетки, который соединяет два ее узла. Приняв один из этих узлов за начало координат 0(0; 0; 0), можно заключить, что координаты второго узла N(m; л; р) позволяют совершенно однозначно определить заданное направление в крис­ талле, где т, п и р — целые (положительные или отрицательные) числа.

В кристаллографии при определении символа направления применяют уп­ рощенную (по сравнению с векторной) форму записи. Направление в кристал­ ле определяют с помощью отношения трех целых, взаимно простых чисел и, v, w, которые пропорциональны координатам вектора ON:

В отличие от координат т, п, р вектора ON, которые могут иметь общий множитель, индексы и, v, w соответствующего направления в кристалле, пред­ ставляют собой взаимно простые числа. Операция сокращения численных зна­ чений координат т, п, р радиус-вектора ON на общий множитель (если тако­ вой имеется) геометрически соответствует замене радиус-вектора ON неко­

торым коллинеарным вектором с пропорциональными координатами и, v, н». Иными словами, эта операция сокращения численных значений координат радиус-вектора ON на общий множитель геометрически соответствует пере­ ходу от одного узла пространственной решетки (с координатами т, п, р) к другому ее узлу (с координатами и, v, w), который лежит на том же луче ON, но расположен ближе всех других аналогичных узлов пространственной решет­ ки к началу координат О

Символ направления в кристалле обозначают с помощью тройки индексов, заключенных в квадратные скобки: [uvw], В отличие от обозначения координат точки, где каждое из трех чисел отделяется от другого точкой с запятой, в сим­ воле направления индексы и, v, w (как правило) не принято отделять какимлибо образом друг от друга. Эта особенность записи символа направления свя­ зана с законом Браве, в соответствии с которым индексы ребер кристалличес­ кого многогранника выражаются небольшими (практически однозначными) числами.

Действительно, ребра кристалла, как наиболее характерные направления в кристалле, представляют собой линии пересечения ею граней — наиболее плотно заселенных атомных плоскостей кристалла. Следовательно, ребра кристалла от­ носятся к числу плотных (если не плотнейших) атомных рядов, а подобным рядам, как будет показано далее, соответствуют небольшие значения индексов; практически индексы таких направлений выражаются однозначными числами. Именно благодаря этой особенности индексы и, v, w в символе направления записываются подряд, без разделительных знаков (кроме сравнительно редких случаев, когда значения индексов выражены двузначными числами).

Если выразим координаты т, п и р радиус-вектора ON через его проекции ОА, ОВ и ОС на оси координат OX, OY и OZ, отнесенные к соответствующим

и подставим их в базовое соотношение (4.2), то получим общее расчетное выра­ жение для определения индексов направлений в кристаллах:

где отношения индексов направления в кристалле пропорциональны отноше­ ниям соответствующих координат аналогичного вектора.

Помимо общего расчетного выражения для определения индексов на­ правлений в кристаллах (4.4) следует упомянуть весьма употребительную Частную форму аналогичного соотношения для кубических кристаллов, для Которых, как известно, характерно равенство всех трех осевых (масштабных) единиц (я0 = Ь0= с0):

Итак, символ направления в кристалле обозначают с помощью трех целых,

взаимно простых (как положительных, так и отрицательных) небольших чисел — индексов, которые пропорциональны координатам соответствующего (парал­ лельного) радиус-вектора и записываются в квадратных скобках, как правило, без разделительных знаков. При этом знак «минус» у отрицательных индексов, если таковые присутствуют в символе направления, помещаются не перед соот­ ветствующим значением индекса, а над ним.

В качестве простейшего примера обратимся вновь к рис. 4.1, где схематически приведены иллюстрации анизотропии предела прочности кубических кристал­ лов NaCl. Здесь вершины куба соответствуют узлам пространственной решетки, ближайшим к началу координат О, в качестве которого выбрана одна из вершин куба. Примем величину ребра куба за а. Тогда радиус-вектор ОА запишем в виде: ОА = [bj by; = [а; 0; 0] = о[1; 0; 0], а символ соответствующего кристаллогра­ фического направления ОА запишем в соответствии с (4.2) просто [100]. Этот символ читается как «направление один—ноль—ноль». Аналогичным образом получим для других кристаллографических направлений следующие символы: ОВ - [010], ОС - [001], ОЕ ~ [110], ОК ~ [101], ОН - [011], ОМ - [И 1].

Необходимо отметить важную особенность символов направлений: символы симметричных направлений в кристалле, т.е. направлений, которые связаны друг с другом элементами симметрии, описываются однотипными индексами. Так, рав­ ные ребра куба ОА, ОВ и ОС, связанные друг с другом наклонной осью симмет­ рии третьего порядка ОМ, описываются весьма похожими символами [100], [010] и [001] соответственно, которые составлены из одинаковых, вернее, однотипных индексов: двух нулей и единицы. Символы этих симметричных направлений отличаются друг от друга лишь порядком расположения индексов. Аналогич­ ным образом формируются и символы других симметричных направлений в кристалле, например трех других направлений ОЕ, ОК и ОН, которые связаны той же осью симметрии ОМ и расположены вдоль диагоналей граней куба. Символы этих направлений [110], [101] и [011] составлены также из однотип­ ных индексов — из двух единиц и одного нуля — и отличаются лишь порядком расположения индексов.

Для обозначения символа совокупности симметричных кристаллографичес­ ких направлений используют не прямые скобки [MVW], а угловые скобки <uvw>. Так, совокупность направлений [100], [010] и [001] обозначают символом <100>, или <010>, или <001> (порядок чередования индексов в этом случае не имеет значения), а совокупность направлений [110], [101] и [011] — символом <110>, или < 101>, или <011>. Таким образом, указанное сходство символов направле­ ний в кристалле служит признаком симметричности самих этих направлений.

4.3.Право параллельного переноса координатных осей

Вприведенных примерах рассматривались (для простоты) лишь символы кристаллографических направлений, составленные из положительных значе­ ний индексов: все эти направления располагались в одном (первом) октанте. Рассмотрим определение символов иных направлений в кристалле. Начнем с вектора BE, который равен по своему модулю вектору ОА - [100] и ориентиро­ ван параллельно последнему.

Приведенные примеры определения кристаллографических символов на­ правлений иллюстрируют высокие достоинства этих символов: при своей мак­ симальной компактности и простоте они позволяют с математической точнос­ тью описать любые направления в кристалле.

4.5. Определение символов атомных рядов

Когда говорят о направлении [uw] в кристалле, то имеют в виду одно-един- ственное, конкретное направление. Например, символом [001] обозначают на­ правление снизу вверх, а символом [001] — противоположное направление сверху вниз.

Но когда говорят о вертикальном атомном ряде, то не имеет смысла спорить, направлен ли он снизу вверх или сверху вниз. Поэтому символ атомного ряда принято обозначать, учитывая одновременно оба возможных направления с помощью введения двух знаков перед соответствующим символом:

Таким образом, символ вертикального атомного ряда будем обозначать так:

± [001]. Аналогичным образом обозначают символ атомного ряда, параллельно­ го горизонтальной оси координат ОХ: +[100] (иногда символ атомного ряда обозначают просто [uvw], имея в виду оба знака (±) перед символом).

Следовательно, все отличие символа атомного ряда от соответствующего сим­ вола направления в кристалле сводится к добавлению в первом случае обоих знаков (±). Например, для обозначения символа атомного ряда OR в кристалли­ ческой структуре меди (рис. 4.2, б) нужно к кристаллографическому символу направления OR [112] добавить знаки плюс-минус: ±[112]. Таким же образом атомный ряд ЕО в кристаллической структуре a -железа (рис. 4.2, а) обозначают, добавляя к кристаллографическому символу направления ЕО ~ [110] знаки плюс-минус: ±[П0] или (что то же самое) ±[110].

4.6. Определение символов направлений по методу направляющих косинусов

Данный метод был разработан выдающимся кристаллографом Г.В. Вульфом, которому мир обязан многими замечательными открытиями.

Определим символ направления ОР в кристалле, пользуясь прямоугольной системой координат Декарта (рис. 4.3). Из точки Допустим перпендикуляры РА, РВ и PC на оси координат OX, OYи OZ соответственно. Определим проекции вектора ОР на оси координат с помощью направляющих косинусов:

Выразим положение радиус-вектора ОР через отношения проекций ОА, ОВ