книги / Практическая кристаллография
..pdfкак инверсионной оси симметрии третьего порядка (3), и как совокупность простой поворотной оси симметрии третьего порядка (3) с центром симмет рии С. Упомянем также, что в случае инверсионной оси симметрии третьего порядка (3) центр инверсии (в отличие от других действующих инверсионных осей симметрии) совпадает с центром симметрии.
И наконец, рассмотрим действие инверсионной оси симметрии шестого по рядка (б). Здесь в качестве примера кристаллического многогранника выберем тригональную призму с двумя основаниями (рис. 3.10) в виде равносторонних треугольников. Детальный анализ показывает, что вертикальная ось тригональной призмы ММ, не является простой поворотной осью симметрии третьего порядка (3), а на самом деле представляет собой инверсионную ось симметрии шестого порядка (б).
После поворота по часовой стрелке вокруг оси призмы ММ, на элементар ный угол 60° вершина тригональной призмы А попадет в точку Е, а после отраже ния в центральной точке фигуры О, лежащей посередине между двумя основани ями призмы, совместится с исходным положением идентичной вершины верхне го основания призмы С,. В свою очередь, вершина С, после аналогичного пово рота перейдет в точку К, а после отражения в точке О совместится с исходным положением вершины нижнего основания В. Действуя аналогичным образом, удастся (за шесть поворотов и шесть отражений) обойти все вершины триго нальной призмы АВСА,В,С,. Таким образом, доказано, что линия ММ, действи тельно является инверсионной осью симметрии шестого порядка, а точка О слу
жит соответствующим центром инверсии. |
|
С другой стороны, связать друг с другом равные вершины |
|
тригональной призмы можно также и с помощью двух дру |
|
гих элементов симметрии — вертикальной оси симметрии |
|
третьего порядка (3), также проходящей через центры осно |
|
ваний призмы, и горизонтальной зеркальной плоскости сим |
|
метрии т, проходящей через точку О Значит, действие ин |
|
версионной оси симметрии шестого порядка (б) эквива |
|
лентно действию двух других элементов симметрии — па |
|
раллельной простой поворотной оси симметрии третьего по |
|
рядка (3) и перпендикулярной зеркальной плоскости сим |
|
метрии т. Наличие подобного эквивалента может помочь |
|
при определении инверсионной оси симметрии шестого по |
|
рядка (б). По указанным признакам (присутствие вертикаль |
|
ной простой оси симметрии третьего порядка (3) и гори |
|
зонтальной плоскости симметрии т) обнаружить эту ин |
|
версионную ось гораздо проще, чем по ее собственным при |
|
знакам. |
|
Присутствие указанного эквивалента позволит заменить |
|
обозначение инверсионной оси симметрии шестого поряд |
|
ка (б) парой соответствующих элементов симметрии — про |
|
стой осью симметрий третьего порядка и плоскостью сим |
Рис. 3.10. Инверси |
метрии. Осталось добавить, что обозначение инверсионной |
онная ось симмет- |
оси симметрии шестого порядка (б) отличается от обозна |
рии в тригональ |
ной призме |
чения простой поворотной оси симметрии шестого порядка (6) только нали чием черточки над цифрой шесть.
З.б. Матричная форма записи элементов симметрии
В соответствии с определениями элементов симметрии произвольная точка кристалла М(х; у; z) в результате симметрического преобразования (поворота вокруг простой или инверсионной оси симметрии, либо отражения в зеркаль ной плоскости симметрии, или в зеркальной точке — центре симметрии) зай мет новое, эквивалентное положение в кристаллическом пространстве: М'(х'; у'; z ). Однако перемещение точки М под действием элементов симметрии относи тельно неподвижной ортогональной системы координат XYZ удобно обратить, оставляя точку М неподвижной, а подвижной сделать ортогональную систему координат, повернув ее из исходного положения XYZ в новое X'YZ', сохранив прежнее начало координат О Как известно, подобное преобразование ортого нальной координатной системы позволяет связать исходные координаты точ ки М(х; у; z) с ее новыми координатами М'(х'; у'; z):
х1= сп х+ |
cl2y + cl3z, |
У = сп х+ |
спу+ cu z, |
* = си х + с цУ + cnZ- |
|
где сп — косинус угла между осями координат ОХ' и ОХ; сп — косинус угла между осями координат ОХ' и OY; с,з — косинус угла между осями координат ОХ' и OZ; с2| — косинус угла между осями координат OY и ОХ; с22 — косинус угла между осями координат OY и OY; с23 — косинус угла между осями координат OY и OZ; с3| — косинус угла между осями координат OZ' и ОХ; с32 — косинус угла между осями координат OZ' и OY; с33 — косинус угла между осями координат OZ’и OZ.
Отметим особо, что при работе с матрицами элементов симметрии будем пользоваться исключительно ортогональной кристаллофизической системой координат (а = р = Y —90°; а = Ъ= с). Поэтому отсчет углов между старыми и новыми осями координат облегчается с помощью стереографической проек ции, где оси OX, OY, OX', O Y занимают положения на контуре круга проекций, а оси OZ и ОТ — в центре круга.
Таким образом, формулировку любого симметрического преобразования мож но свести к матрице, составленной из значений косинусов углов между исход ными и конечными осями координат:
С 11 |
С \ 1 |
С 13 |
С 21 |
С 22 |
С 23 |
С 31 |
С Ъ2 |
с з з |
Для составления матрицы косинусов, характерной для каждого конкретного симметрического преобразования, удобно придерживаться следующей простой схемы. Чтобы преобразовать ортогональную систему координат XYZ в систему XTZ', следует:
а) составить матрицу углов между старыми и новыми осями координат; б) на основе матрицы углов составить матрицу направляющих косинусов:
|
Матрица углов |
|
Матрица косинусов |
|||||
|
X |
Y |
Z |
|
X |
|
Y |
Z |
X |
« 1 1 |
« 1 2 |
« 1 3 |
X |
cos ац |
cos а п |
cos a i3 |
|
г |
« 2 1 |
« 2 2 |
« 2 3 |
Y |
COS |
0 2 1 |
COS 0 2 2 |
COS 0 2 3 |
Z |
« 3 1 |
« 3 2 |
азз |
Z |
cos |
аз! |
COS 0 3 2 |
COS а з з |
В качестве примера составим матрицу для простой вертикальной оси симметрии второго порядка Lv описывающей поворот на 180° вокруг оси OZ(рис. 3.11, а):
X
r
Z
Матрица углов
X |
Y |
Z |
о О OO |
90° |
90° |
о ONО |
180° |
90° |
90° |
о |
0 |
VOо |
Матрица косинусов L i
|
X |
Y |
z |
X |
-1 |
0 |
0 |
Y |
0 |
-1 |
0 |
Z |
0 |
0 |
1 |
Далее составим матрицы для простой вертикальной оси симметрии четвер того порядка А,, описывающей поворот на 90° против часовой стрелки вокруг оси OZ (рис. 3,11, б):
X
r
z
Матрица углов
X |
Y |
Z |
90° |
0° |
90° |
о OO |
о |
о |
VOо |
VO О |
|
о ON |
90° |
0 |
о |
|
|
Матрица косинусов
|
X |
Y |
z |
X |
0 |
1 |
0 |
Y |
-1 |
0 |
0 |
Z |
0 |
0 |
1 |
Следующим примером служит составление матрицы направляющих коси нусов для горизонтальной зеркальной плоскости симметрии т (рис. 3.11, в):
Рис. 3.11. Преобразования координатной системы (X Y Z - * X ,Y Z ) i отражающие действия отдель ных элементов симметрии: а — вертикальной оси Ь2; б — вертикальной оси Z,4; в — горизон тальной плоскости симметрии; г — центра симметрии С(1)
Матрица углов т |
Матрица косинусов т |
X
г
Z
X У
0 90°
90° 0
90° |
40 |
о |
|
|
о |
Z ONОо VOОо ооОо
|
X |
Y |
Z |
X |
1 |
0 |
0 |
Y |
0 |
1 |
0 |
Z |
0 |
0 |
-1 |
В заключение рассмотрим составление матрицы преобразования для центра симметрии С (рис. 3.11, г):
X
Y
Z
Матрица углов
X |
У |
Z |
о оо |
|
|
о |
90° |
90° |
|
||
90° |
о |
о ON |
оо О |
||
90° |
90° |
180° |
Матрица косинусов С
|
X |
Y |
Z |
X |
-1 |
0 |
0 |
Y |
0 |
-1 |
0 |
Z |
0 |
0 |
-1 |
Таким образом, любые симметрические преобразования, а также их всевоз можные сочетания в кристаллах можно описать аналитически с помощью со ответствующих матриц. Многочисленные примеры применения матриц преоб разования приводятся в гл. 7.
Сводка матриц преобразования для различных элементов симметрии при водится в приложении 2.
3.7. Определение сингонии кристаллов
Кристаллы по своей симметрии распределяются на семь систем т.е. семь сингоний, каждая из которых имеет свою собственную координатную систе му (рис. 3.12, I). Осями координат в каждой из этих систем служат направле ния наиболее плотных атомных рядов, а координатными плоскостями — наиболее густозаселенные атомные плоскости. В качестве масштабных (или осевых) единиц здесь служат соответствующие межатомные расстояния. Сле довательно, такие координатные системы тесно связаны с внутренним стро ением соответствующих кристаллов, и именно поэтому их называют есте ственными координатными системами.
В кубическую сингонию (рис. 3,12, II) объединяются кристаллы, имеющие не сколько осей симметрии высшего порядка. Несмотря на исключительное раз нообразие внешнего облика кубических кристаллов и множество сочетаний элементов симметрии, важнейшим и обязательным признаком принадлежнос ти к кубической сингонии служит наличие четырех осей симметрии третьего порядка 4Lv ориентированных в пространстве как объемные диагонали куба (ведь объемные диагонали куба являются осями симметрии третьего порядка).
К кубической сингонии относятся: тетраэдр кубический и его производные (рис. 1.1, а— д), куб и его производные (рис. 1.2, а— д), октаэдр и его производ ные (рис. 1.3, а— д), а также их разнообразные комбинации, примеры которых приведены на рис. 1.4.
Рис. 3.12. Сингонии кристаллов и их координатные системы: 2, 3, 4, 6 — оси симметрии; да — нормаль к плоскостям симметрии
Для описания кубических кристаллов применяется привычная прямоуголь ная декартова система координат (а = р = у = 90°) с одинаковыми осевыми единицами (я0 = Ь0= с0). В качестве координатных осей (или кристаллографи ческих осей) выбираются тройки взаимно перпендикулярных простых осей симметрии четвертого порядка 3Z,4, инверсионных осей симметрии четвертого порядка ЪЬЛили простых осей симметрии второго порядка 3Ь2(если в кристал ле нет осей симметрии четвертого порядка). В огранке кубических кристаллов кристаллографическим осям соответствуют тройки взаимно перпендикуляр ных ребер, а в кристаллических структурах — тройки взаимно перпендикуляр ных атомных рядов.
В гексагональную сингонию (рис. 3.12, III) входят кристаллы, которые имеют оси симметрии шестого порядка: либо простую поворотную ось симметрии шестого порядка (6), либо инверсионную ось симметрии шестого порядка (6).
К гексагональной сингонии относятся гексагональные и дигексагональны^ призмы (рис. 1.7, в, е), пирамиды (рис. 1.8, в, е), дипирамиды (рис. 1.9, в, е), а также гексагональный трапецоэдр (рис. 1.10, в) и их комбинации друг с другом и с другими простыми формами (например, рис. 1.12, б), а также тригональные и дитригональные призмы (рис. 1.7, а, г) и дипирамиды (рис. 1,9, а, г).
Для описания гексагональных кристаллов применяют две координатные сис темы: одну — основную, другую — вспомогательную. В основной системе угод между двумя горизонтальными осями координат у = 120°, а углы между каждой из горизонтальных осей и вертикальной осью координат — прямые (а = (3 = 90°) (рис. 3.12, III). Роль вертикальной оси координат играет соответствующая ось симметрии шестого порядка (6 или б), а в качестве горизонтальных координат ных осей могут служить либо простые оси симметрии второго порядка (если они есть), либо нормали к вертикальным плоскостям симметрии, либо направле ния, параллельные соответствующим горизонтальным ребрам кристалла. В от личие от вертикальной оси координат, горизонтальным осям координат соот ветствуют одинаковые осевые единицы а0 = Ь0 * с0
Во вспомогательной координатной системе, которая применяется лишь для описания символов граней и ребер гексагональных и тригональных кристаллов (рис. 3.12, III, тригональная), к трем основным координатным осям OX, OY, 0%, добавляется условная четвертая ось координат OU с осевой единицей е0 Эта ось лежит в горизонтальной плоскости и образует с каждой из основных гори зонтальных осей координат равные углы по 120° Осевые единицы по всем трем горизонтальным координатным осям равны: а0 = Ь0= е0* с0
Во избежание недоразумений, которые могут возникать при определении координат атомов с помощью этой вспомогательной четырехосной координат ной системы (в реальном трехмерном пространстве), следует соблюдать осто рожность при определении горизонтальных координат точки: их сумма должна быть равна нулю! Поэтому сначала нужно определить координаты точки по двум основным горизонтальным осям, а в качестве третьей координаты взять сумму двух первых с обратным знаком. (В дальнейшем данную систему коорди нат для краткости будем именовать гексагональной.)
В тетрагональную сингонию (рис. 3.12, IV) объединяются кристаллы с един ственной осью симметрии четвертого порядка: с простой поворотной осыо
симметрии четвертого порядка (4) или с инверсионной осью симметрии чет вертого порядка (4).
К тетрагональной сингонии относятся тетрагональные и дитетрагональные призмы (рис. 1.7, б, д), пирамиды (рис. 1.8, б, д) и дипирамиды (рис. 1.9, б, д), а также тетрагональный трапецоэдр (рис. 1.10, б), тетрагональный тетраэдр (рис. 1.11, а), тетрагональный скаленоэдр (рис. 1.11, б) и их комбинации друг с другом и с другими простыми формами.
Для описания тетрагональных кристаллов используют прямоугольную сис тему координат (а = р = у = 90°) с одинаковыми осевыми единицами по гори зонтальным осям координат: а0 = Ь0(рис. 3.12, IV). За вертикальную ось коорди нат принимают единственную ось симметрии четвертого порядка: простую ось
(4) или инверсионную ось (4), а за горизонтальные — либо простые оси сим метрии второго порядка (2), либо нормали к вертикальным плоскостям сим метрии, либо направления, параллельные соответствующим горизонтальным ребрам кристалла.
В тригональную сингонию (рис. 3.12, III, тригональная) входят кристаллы, ко торые имеют единственную ось симметрии третьего порядка: простую (3) или инверсионную (3).
К тригональной сингонии относятся тригональные и дитригональные при змы (рис. 1.7, а, г), пирамиды (рис. 1.8, а, г) и дипирамиды (рис. 1.9, а, г), а также тригональный трапецоэдр (рис. 1.10, а), ромбоэдр (рис. 1.11, г), дитригональный скаленоэдр (рис. 1.11, д) и их комбинации друг с другом и другими простыми формами.
Для описания тригональных кристаллов используют две координатные си стемы: ромбоэдрическую R (рис. 3.13) и вышеприведенную гексагональную (рис. 3.12, III). В ромбоэдрической координатной системе все три оси коорди нат направлены вдоль ребер ромбоэдра, поставленного на ось симметрии тре тьего порядка. При этом все три координатные оси наклонены одинаковым образом к вертикали и образуют друг с другом равные углы. Ни одна из осей координат не совпадает с вертикалью (а = р = у * 90°), ни один из координат ных углов не может быть прямым. В описываемой ромбоэдрической системе координат все три осевые единицы равны друг другу (а0 ~ Ь0 = с0).
Однако указанная ромбоэдрическая координатная система, видимо, по при чине удобства применения, значительно уступает гексагональной системе ко ординат. Поэтому, судя по статистике, большинство авторов пользуются для описания тригональных кристаллов гекса гональной системой координат.
Ромбическая сингония (рис. 3.12, V) объединяет кристаллы, которые лишены осей симметрии высшего порядка, но зато имеют по две-три плоскости симметрии, или оси симметрии второго порядка ЗЬ2, или и то, и другое вместе.
К ромбической сингонии относятся ромбические при змы (рис. 3.14, а), пирамиды (рис. 3.14, б), дипирамиды (рис. 3.14, в), тетраэдры (рис. 1.11, в) и их комбинации друг с другом и с другими простыми формами.
Для описания ромбических кристаллов используется
прямоугольная декартова система координат (а = |3 = у = 90°) с тремя различ ными осевыми единицами: а0* Ь0* с0(рис. 3.12, V). В качестве осей координат используются либо тройка взаимно перпендикулярных осей симметрии вто рого порядка ЪЬ2, либо (если осей симметрии не хватает) вертикальная ось симметрии L2 и две нормали к вертикальным взаимно перпендикулярным плоскостям симметрии.
Моноклинная сингония (рис. 3.12, VI) включает в себя одни из наиболее бед ных элементами симметрии кристаллы, которые имеют либо единственную ось симметрии второго порядка Ь2, либо единственную плоскость симметрии т, либо и то и другое вместе.
К моноклинной сингонии относятся кристаллы, в огранке которых пред ставлены комбинации из моноэдров (рис. 1.12, а), пинакоидов (рис. 1.11, ё), диэд ров (рис. 1.11, ж) и ромбических призм (рис. 3.14, а), а также их комбинации с другими простыми формами.
Для описания триклинных кристаллов используется специальная система координат (рис. 3.12, VI) с тремя различными осевыми единицами (<з0 * Ь0 * с0), в которой две оси располагаются под прямым углом (у = 90°) в горизонтальной плоскости, а третья ось занимает необычное, наклонное положение и образует отличный от прямого угол с первой осью координат (ОХ) и прямой угол со второй осью координат (OY) (а = у = 90° * Р). В качестве второй оси координат выбирают ось симметрии второго порядка (2) либо нормаль к плоскости сим метрии. Остальные оси координат ориентируют по соответствующим ребрам кристалла (ввиду отсутствия необходимых элементов симметрии).
И наконец, к триклинной сингонии (рис. 3.12, VII) относят самые бедные по своей симметрии кристаллы, которые имеют единственный элемент симмет рии — центр симметрии С или даже не имеют такового.
К триклинной сингонии относятся кристаллы, огранка которых образована комбинациями из моноэдров (рис. 1.11, з) и пинакоидов (рис. 1.11, е), а также из их комбинаций с другими простыми формами.
Рис. 3.14. Примеры естественной огранки ромбических кристаллов: а — грани ромбической призмы; б — грани ромбической пирамиды; в — грани ромбической дипирамиды; г — форма поперечного сечения ромбических кристаллов
Для описания тригональных кристаллов применяют косоугольную декарто ву систему координат с тремя различными осевыми единицами а0 * Ь0 * с0 и тремя разными (непрямыми) координатными углами (а * р * у * 90°), причем из-за отсутствия необходимых элементов симметрии оси координат приходит ся ориентировать по ребрам кристалла.
Наряду с приведенным делением кристаллов на сингонии по составу эле ментов симметрии применяют также аналогичное деление их по другому при знаку: по так называемым единичным направлениям (впрочем, результаты деле ния кристаллов на сингонии по обоим признакам полностью совпадают).
Единичным направлением принято называть особое, не повторяющееся в кристалле направление. Например, в пирамиде (с основанием в виде правиль ного многоугольника) таким единичным, неповторяющимся направлением является вертикальная ось, а у куба нет ни одного единичного направления: у него каждое направление связано элементами симметрии с другими анало гичными, симметрично равными направлениями (благодаря высокой симмет рии куба, имеющего множество осей симметрии высшего порядка, а также другие элементы симметрии).
В кристаллах триклинной сингонии любое направление — единичное. В этих кристаллах не может быть двух аналогичных, повторяющихся направлений.
Каждый из кристаллов моноклинной сингонии содержит множество единич ных направлений.
Кристаллы ромбической сингонии содержат по три взаимно перпендикуляр ных единичных направления (либо три оси симметрии второго порядка, либо три нормали к плоскостям симметрии).
Каждый из кристаллов тригональной, тетрагональной и гексагональной сингоний содержит по одному единичному направлению, которое занимает верти кальное положение (например, вертикальная ось пирамиды).
У кристаллов кубической сингонии не бывает единичных направлений. Указанные семь сингоний кристаллов объединяются по своей симметрии в
три категории: низшую, среднюю и высшую.
Внизшую категорию входят те сингонии кристаллов, которые лишены осей симметрии высшего порядка: триклинная, моноклинная и ромбическая.
Всреднюю категорию включены те сингонии кристаллов, в которых содер жится по одной оси симметрии высшего порядка: тригональная, объединяющая кристаллы с одной-единственной осью симметрии третьего порядка (3 или 3), тетрагональная, которая включает в себя кристаллы с единственной осью сим метрии четвертого порядка (4 или 4) и гексагональная, объединяющая кристал лы с единственной осью симметрии шестого порядка (6 или 6).
Инаконец, высшая категория объединяет кристаллы кубической сингонии, ко торые содержат по крайней мере четыре оси симметрии высшего порядка 4Ly Объединение кристаллов в три категории четко прослеживается и по при знакам наличия единичных направлений. В низшую категорию входят кристал лы, которые содержат множество единичных направлений. В среднюю катего рию объединяются кристаллы, которые содержат по одному единичному на
правлению. В высшую категорию — кристаллы без единичных направлений.
3.8. Установка кристаллов
Для однозначного описания кристалла, его граней и ребер особо важное значение имеет правильный выбор кристаллографических (координатных) осей и отношений между масштабными (осевыми) единицами. Кратко остановимся на некоторых соответствующих правилах установки кристаллов, регламентиру ющих выбор осей координат и соотношений между осевыми (масштабными) единицами: а0: Ь0: с0
У кристаллов триклинной сингонии вследствие их низкой симметрии (у них отсутствуют и оси симметрии, и плоскости симметрии) за оси координат принимают тройку наиболее развитых ребер кристалла, а отношения отрез ков ОА ОВ : ОС, отсекаемых на осях координат наиболее развитой наклон ной (по отношению к осям координат) гранью кристалла, принимают за отношение осевых единиц а0: Ь0: с0 (напомним, что здесь а0 * Ь0 * с0).
Укристаллов моноклинной сингонии за координатную ось OY принимают ось симметрии второго порядка Ь2 или нормаль к единственной плоскости симметрии, а оси ОХ и OZ выбирают в вертикальной плоскости, перпенди кулярной к оси OY, параллельно наиболее развитым граням кристалла. Сле дует обратить внимание, что здесь оси ОХ и OY располагаются в горизон тальной плоскости, а ось (^занимает наклонное положение. Все три осевые единицы различные: а0 * Ь0 * с0.
Укристаллов ромбической сингонии координатные оси выбирают вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений — трех осей симметрии второ го порядка 3Ь2или по нормалям к плоскостям симметрии. Осевые единицы — различные: а0 * Ь0 * с0
Укристаллов тетрагональной сингонии за вертикальную ось OZ принима ют ось симметрии четвертого порядка (4 или 4). Горизонтальные взаимно пер пендикулярные оси ОХ и OY располагаются вдоль осей симметрии второго порядка, либо вдоль нормалей к вертикальным плоскостям симметрии, либо (если кристалл не имеет ни горизонтальных осей симметрии, ни вертикальных плоскостей симметрии) вдоль двух горизонтальных взаимно перпендикуляр ных развитых ребер кристалла. Отношение осевых единиц определяют по отно
шению отрезков ОА ОВ : ОС, отсекаемых на осях координат наиболее разви той наклонной гранью кристалла (а0 = 60 * с0).
У кристаллов гексагональной и тригональной сингоний за ось OZ принимают вертикальную ось симметрии шестого порядка: (6 или 6) или вертикальную ось симметрии третьего порядка (3 или 3). За две горизонтальные оси коорди нат (расположенные под углом у = 120°) принимают либо горизонтальные оси симметрии второго порядка, либо нормали к вертикальным плоскостям сим метрии, либо (если нет ни соответствующих осей симметрии второго порядка, ни вертикальных плоскостей симметрии) развитые горизонтальные ребра кри сталла. Отношения осевых единиц выбирают пропорциональными отношени ям отрезков ОА ОВ ОС, отсекаемых развитой наклонной гранью кристалла на осях координат OX, OYи 0 Z соответственно. Напомним, что в данном случае
а0 Ьй * ^0' У кристаллов кубической сингонии осями координат выбирают три взаимно