книги / Практическая кристаллография
..pdfгекса — 6, окта — 8, додека — 12, дидодека — 24. За этим числительным в большинстве случаев следует другой греческий корень — «гон», что можно пе ревести как «угольник». Например, «тригон» означает треугольник (т.е. грань в форме треугольника), «тетрагон» — четырехугольник, «Пентагон» — пятиуголь ник, «гексагон» — шестиугольник.
Далее в наименовании простой формы кубического кристалла в большин стве случаев вновь следует числительное, указывающее, на сколько таких «три тонов» (или «тетрагонов») была разделена грань базовой простой формы (куба, октаэдра или тетраэдра). А заканчивается название простой формы непосред ственным упоминанием самой базовой простой формы. Так, наименование про стой формы «тригон-три-тетраэдр» расшифровывается следующим образом: базовый многогранник — тетраэдр; каждая грань тетраэдра разделена на три одинаковых треугольника («тригон» — треугольник). Наименование другой про стой формы «пентагон-три-октаэдр» означает, что базовый многогранник — октаэдр и каждая грань октаэдра разделена на три равные части таким образом, чтобы из них вышли три одинаковых пятиугольника («Пентагон» — пятиуголь ник).
Следует добавить, что наименования всех пятнадцати простых форм куби ческих кристаллов заканчиваются на «эдр», что в переводе с греческого означа ет «грань». Так, наименования базовых простых форм имеют простую расшиф ровку: тетраэдр — четырехгранник, октаэдр — восьмигранник, обычный куб называется «гексаэдром» — шестигранником.
Следует также отметить, что описанная система формирования наименова ний простых форм кубических кристаллов имеет несколько исключений, кото рые будут рассмотрены ниже.
Прежде чем перечислить простые формы кубических кристаллов, поясним, каким образом кубический тетраэдр (рис. 1.1, а), образованный четырьмя равно сторонними треугольниками, превращается в тригон-три-тетраэдр (с двенадца тью гранями) (рис. 1.1, б). Как отмечалось, каждую грань исходного базового многогранника — тетраэдра — разбивают на три равных части. При этом линии деления проходят через центр и вершины каждого равностороннего треуголь ника. Затем центр каждой грани перемещают («вытягивают») на одинаковые расстояния в стороны от центра тетраэдра таким образом, чтобы при этой де формации ребра тетраэдра оставались на своих местах, а новые грани остава
лись плоскими*.
Заметим, что для лучшего усвоения громоздкой номенклатуры простых форм кубических кристаллов будем разбивать соответствующие неудобочитаемые длинные наименования простых форм на их составные части. Например, вмес то принятого слитного написания «тригонтритетраэдр» в чисто учебных целях иногда будем записывать наименование этой простой формы следующим об разом: «тригон-три-тетраэдр».
Начнем перечень простых форм кубических кристаллов с семейства тетра эдров:
‘Указанные символы граней даны в гл. 5.
В
Рис. 1.1. Группа тетраэдра: а — тетраэдр (кубический); б — тригон-три-тетраэдр; в — тетрагон- три-тетраэдр; г — тригон-гекса-тетраэдр (сокращенно — гексатетраэдр); д — пентагон-три- тетраэдр
— тетраэдр (рис. 1.1, а) — многогранник из четырех одинаковых равносто ронних треугольников, ориентированных перпендикулярно объемным диаго налям куба (тетраэдр можно получить из куба, удалив половину вершин послед него);
—тригон-три-тетраэдр (рис. 1.1,6)— 12-гранник, получаемый из тетраэдра, каждая грань которого разбита на три одинаковых равнобедренных треуголь ника;
—тетрагон-три-тетраэдр (рис. 1.1, в) — 12-гранник, получаемый из тетра эдра, каждая грань которого разбита на три одинаковых симметричных четырех угольника;
—тригон-гекса-тетраэдр (сокращенно — гекса-тетраэдр) — 24-гранник (рис. 1.1, г), получаемый из тетраэдра, каждая грань которого разбита на шесть одинаковых треугольников (гекса-тетраэдр можно рассматривать также как ре зультат удвоения граней тригон-три-тетраэдра) (рис. 1.1, б);
—пентагон-три-тетраэдр (рис. 1.1, д) — 12-гранник, получаемый из тетраэд ра, каждая грань которого разбита на три одинаковых несимметричных четырех угольника.
Завершив рассмотрение простых форм семейства тетраэдра, перейдем к дру гой группе простых форм кубических кристаллов, которую условно можно на звать семейством гексаэдра (или куба):
—гексаэдр (рис. 1.2, а) — многогранник из шести одинаковых квадратов, пересекающихся под прямыми углами;
—тетра-гексаэдр (рис. 1.2, б) — 24-гранник, получаемый из гексаэдра, каж дая грань которого разбита по своим диагоналям на четыре равных части (со кращенный вариант полного названия тригон-тетра-гексаэдра);
—ромбо-додека-эдр (рис. 1.2, в) — 12-гранник из двенадцати одинаковых ромбов, который можно получить из тетра-гексаэдра. Для этого достаточно «вы тягивать» грани тетра-гексаэдра (за четырехгранные вершины) до момента ис чезновения ребер бывшего куба и слияния каждой пары соседних по этим ребрам граней тетра-гексаэдра в одну общую грань ромбо-додека-эдра;
—пентагон-додека-эдр (рис. 1.2, г) — 12-гранник из двенадцати одинаковых пятиугольников («пентагонов»), который можно получить путем удвоения гра ней куба. Действительно, если разделить каждую грань куба пополам на два одинаковых прямоугольника и «вытянуть» ее (за линию деления) на опреде ленное расстояние от центра куба, то вместо каждой грани куба возникнет «двускатная крыша» из двух одинаковых пятиугольников;
—ди-додека-эдр (рис. 1.2, д) — 24-гранник из одинаковых несимметричных четырехугольников, который можно получить путем удвоения граней пентагон- додека-эдра (само название можно трактовать как удвоенный додека-эдр). Для этого каждую грань пентагон-додека-эдра нужно разделить прямой линией по полам и «вытянуть» ее за эту линию на определенное расстояние от центра
многогранника.
Завершим рассмотрение простых форм кубических кристаллов переходом к последнему, третьему семейству простых форм — семейству октаэдра:
—октаэдр (рис. 1.3, а) — многогранник из восьми одинаковых равносторон них треугольников. Каждая грань октаэдра ориентирована перпендикулярно
Op
Рис. 1.2. Группа гексаэдра: а — гексаэдр (куб); б — тетра-гексаэдр; в — ромбо-додека-эдр; г — пентагон-додека-эдр; д — ди-додека-эдр
одной из объемных диагоналей куба: фигуру октаэдра легко получить из куба, соединив центры граней куба друг с другом;
—тригон-три-октаэдр (рис. 1.3, б) — 24-гранник, получаемый из октаэдра, каждая грань которого разбита на три одинаковых равнобедренных треугольника;
Рис. 1.3. Группа октаэдра: а —октаэдр; б —тригон-три-окгаэдр; в — тетрагон-три-октаэдр; г —тригон-гекса-октаэдр (сокращенно —гексоктаэдр); д —пентагон-три-октаэдр
—тетрагон-три-окща^др (рис. 1.3, в) — 24-гранник, получаемый из октаэдра, каждая грань которого разбита на три одинаковых симметричных четыреху гольника;
—гекса-октаэдр (Рйо- 1.3, г) — 48-гранник, получаемый из октаэдра, каждая грань которого разбит^ на шесть одинаковых треугольников (гекса-октаэдр
можно рассматривать также как результат удвоения граней тригон-три-окгаэдра); - пентагон-три-октаэдр (рис. 1.3, д) — 24-гранник, получаемый из октаэдра, каждая грань которого разбита на три одинаковых несимметричных четырех
угольника.
1.4. Определение сложных форм огранки кубических кристаллов
Познакомившись с простыми формами кубических кристаллов, применим на практике принцип разложения сложной формы естественной огранки кри сталла на ее составляющие, т.е. на простые формы. С этой целью рассортируем грани кристаллического многогранника. В результате можно свести описание сравнительно большого количества граней к рассмотрению немногих стандар тизованных типов естественной огранки кубических кристаллов. На практике в большинстве случаев в огранке этих кристаллов представлено не более трех четырех простых форм (из пятнадцати возможных), что значительно упрощает решение поставленной задачи.
На рис. 1.4, а приведен пример кубического кристалла, в огранке которого фигурируют несколько простых форм. На первый взгляд, здесь представлены три сорта граней. Однако прежде чем приступать к идентификации граней данного кристаллического многогранника, следует провести подсчет числа граней каждо го сорта, играющий в подобных случаях роль важнейшего контрольного пара метра.
Подсчет удобно начать с наиболее развитых граней, которые в нашем случае по своему взаимному расположению, пространственной ориентировке и гео метрии напоминают грани куба. Действительно, таких граней — шесть. Смеж ные грани образуют друг с другом прямые углы. Если эти грани мысленно продолжить до пересечения друг с другом, не обращая внимания на грани двух других сортов, то в результате получим квадратную форму для каждой из шести граней. Пространственная ориентировка этих шести граней полностью совпа дает с таковой у куба: две грани занимают горизонтальное положение, а четы ре — вертикальное. На основании проведенного анализа можем сделать вывод, что все шесть наиболее развитых граней соответствуют одной простой форме, а именно, простой форме гексаэдра (рис. 1.2, а), ребра которого примем за коорди натные оси.
Далее рассмотрим другую простую форму, грани которой напоминают фор му правильных треугольников со «срубленными» вершинами и которые сами «срубили» все восемь вершин куба. Эти восемь граней новой простой формы (они одинаковы и по своей геометрии, и по размерам — насколько позволяет об этом судить рисунок кристаллического многогранника) занимают положе ния у выходов объемных диагоналей куба и, скорее всего, перпендикулярны этим объемным диагоналям. Таким образом, и по своему взаимному располо жению, и по своей пространственной ориентировке грани новой простой фор мы соответствуют признакам октаэдра, который тоже имеет восемь граней, ори ентированных перпендикулярно объемным диагоналям куба. Что же касается
формы граней этой простой формы, то, продлив эти восемь граней до взаимно го пересечения, получим форму октаэдра (рис. 1.3 а), что полностью соответ ствует нашему предположению о наименовании данной простой формы.
И наконец, приступим к анализу последней простой формы, двенадцать гра ней которой протянулись узкими полосками вдоль бывших ребер куба. Грани третьей простой формы ограничены со стороны своих длинных ребер гранями куба, а со стороны коротких ребер — гранями октаэдра. Можно предположить, что грани этой третьей простой формы одинаково наклонены к соседним гра ням куба. Количество граней этой (третьей) простой формы совпадает с чис лом ребер куба — двенадцать. Как и ребра куба, узенькие прямоугольники тре тьей простой формы попарно параллельны, а также располагаются параллельно координатным осям: по четыре по отношению к каждой координатной оси.
К сожалению, небольшие размеры граней третьей простой формы мешают наглядно представить себе результат продолжения этих граней, как мы это про делывали ранее с гранями куба и с гранями октаэдра, хотя обнаруженных при знаков достаточно, чтобы заключить, что здесь мы имеем дело с ромбо-додека- эдром (рис. 1.2, в). Действительно, каждая грань этой простой формы параллель-
г
8
Рис. 1.4. Комбинации граней гексаэдра, октаэдра и ромбо-додека-эдра (а); тетраэдра и гексаэдра (б); октаэдра и тетра-гексаэдра (в); двух тетраэдров (г)
на одной координатной оси и образует одинаковые углы (по 45°) с двумя дру гими координатными осями, а форма грани — ромб.
Таким образом, после детального анализа установили, что естественная ог ранка рассматриваемого многогранника образована комбинацией трех простых форм: гексаэдра (шесть граней), октаэдра (восемь граней) и ромбо-додека-эдра (двенадцать граней).
Рассмотрим другой кубический кристаллический многогранник (рис. 1.4, 6). Здесь представлены два сорта граней: четыре развитые грани в виде одинако вых равносторонних треугольников и шесть одинаковых узких вытянутых гра ней, ограниченных тремя парами параллельных ребер.
Анализ огранки представленного кристалла начнем с развитой формы. Кон тур куба, нанесенный на рисунке штриховыми линиями, помогает нам опреде лить пространственную ориентировку треугольных граней: каждая из этих гра ней располагается перпендикулярно одной из объемных диагоналей куба. Каж дая пара треугольных граней располагается симметрично относительно соот ветствующей диагонали грани куба. Каждое ребро треугольника располагается параллельно диагонали грани куба. Каждая тройка треугольных граней распо лагается симметрично по отношению к одной из объемных диагоналей куба. Проведенные сопоставления можно дополнить мысленным экспериментом: если продлить треугольные грани до взаимного пересечения, то получим кубический тетраэдр (рис. 1.1, а). Итак, мы пришли к заключению, что четыре треугольные грани являются гранями тетраэдра и относятся к одноименной простой форме.
Грани менее развитой простой формы (а мы относим их к одной простой форме, поскольку все шесть граней имеют совершенно одинаковую геометрию и одинаковые размеры) ориентированы вдоль диагоналей граней куба и рас полагаются параллельно этим граням. Каждая тройка этих узких граней имеет общие ребра, которые в совокупности образуют трехгранную вершину с тремя прямыми углами (как у куба). Каждая пара этих граней образует прямой дву гранный угол (так же, как у куба). В заключение проведем мысленный экспери мент. Продолжим каждую из этих граней до пересечения с другими аналогич ными гранями, в результате получим совокупность граней куба (рис. 1.2, а). Та ким образом, мы собрали множество доказательств, подтверждающих принад лежность узких граней к одноименной простой форме.
Итак, проведенный анализ позволяет сделать вывод, что огранка рассматри ваемого кристалла представлена двумя простыми формами: гранями куба и гранями тетраэдра. В обоих приведенных примерах сложной огранки кристал лов существенную помощь в определении простых форм нам оказало присут ствие хорошо узнаваемых граней куба.
Рассмотрим еще один пример. На рис. 1.4, в приведен кристаллический мно гогранник с крупными и мелкими гранями. Контуры крупных граней напоми нают равносторонние треугольники, у которых притуплены вершины. Количе ство этих граней, по всей видимости, — восемь (как у октаэдра). Каждая из этих крупных граней размещается в отдельном октанте (если представить себе, что координатные плоскости проходят через длинные ребра многогранника). Раз вивая аналогию с октаэдром, отметим, что крупные грани располагаются пер пендикулярно объемным диагоналям воображаемого куба. Крупные грани име
ют общие ребра, которые ориентированы таким же образом, как у октаэдра, образуя одинаковые углы (45°) с двумя осями координат и располагаясь пер пендикулярно к третьей координатной оси. Нетрудно представить, что если про должить крупные грани до их полного пересечения, то мелкие грани исчезнут и появятся полноценные равносторонние треугольники (как у октаэдра) (рис. 1.3, а). Итак, все приведенные аргументы свидетельствуют в пользу октаэдра, сле довательно, восемь крупных граней относятся к одноименной простой форме.
Вернемся к мелким граням. Попробуем подсчитать их количество. Если око ло каждой вершины октаэдра располагается по четыре малых грани, то всего таких граней у многогранника окажется 4 х 6 = 24. Прежде, чем выбрать подхо дящий 24-гранник из числа простых форм кубических кристаллов, вниматель но присмотримся к форме и ориентировке малых граней. Каждая из них распо лагается параллельно одной из координатных осей, следовательно, нормали к этим граням лежат в координатных плоскостях, которые проходят через длин ные ребра многогранника. По своей форме каждая малая грань представляет собой симметричный четырехугольник с двумя парами равных ребер.
Из всех кубических 24-1ранников только тетра-гексаэдр (рис. 1.2, б) соответ ствует нашим условиям. Действительно, у тригон-три-окгаэдра (рис. 1.3, б) и пен- тагон-три-окгаэдра (рис. 1.3, г) форма граней (соответственно треугольник и пя тиугольник) не соответствует условиям, а у тетрагон-три-окгаэдра (рис. 1.3, в), хотя форма грани и соответствует нашим требованиям, но ее пространственная ориентировка не подходит: грань не параллельна ни одной из координатных осей. У ди-додека-эдра (рис. 1.2, д) грань четырехугольная, но этот четырех угольник несимметричен. Выходит, что только тетра-гексаэдр (рис. 1.2, б) имеет грани и четырехугольные, и симметричные, и к тому же каждая из этих граней параллельна одной из координатных осей.
Таким образом, можно сделать обоснованный вывод, что на многограннике представлены две простые формы: октаэдр и тетра-гексаэдр.
Завершим анализ примеров сложной естественной огранки кубических кри сталлов и рассмотрим еще одну комбинацию простых форм (рис. 1.4, г). Здесь, в отличие от предшествующих случаев, геометрические формы обоих сортов гра ней весьма близки: и большие грани, и малые напоминают равносторонние треугольники. Оба сорта граней различаются только своими размерами и вза имным расположением: если большой треугольник смотрит вверх, то находя щийся под ним малый треугольник обращен вниз, и наоборот. Грани больших треугольников и своим видом, и остальными признаками напоминают рассмот ренный выше тетраэдр (рис. 1.1, а). В принципе, грани малых треугольников соответствуют тем же самым признакам, отличаясь от больших треугольников лишь своими размерами и пространственной ориентировкой. Хотя малые треу гольники не имеют общих граней, но если их продолжить до взаимного пересе чения, то они образуют тетраэдр, развернутый по отношению к первому тетра эдру (из больших треугольников) вокруг вертикальной оси на прямой угол. Таким образом, после проведенного анализа приходим к выводу, что рассмат риваемый многогранник образован гранями двух различных, но одноименных простых форм: двумя тетраэдрами, различающимися своими пространственны ми ориентировками.
Как было отмечено, вышеперечисленные простые формы встречаются толь ко в огранке кубических кристаллов. Для описания естественной огранки ос тальных кристаллов применяют 32 другие простые формы. Характеристику этих простых форм целесообразно начать с многогранников сравнительно неслож ной геометрии: призмы, пирамиды, дипирамиды и трапецоэдры.
Грани призмы (рис. 1.5, а) в большинстве кристаллов ориентированы парал лельно вертикальной оси. Каждая из этих граней ограничена парой вертикаль ных ребер. Напомним, что подобные фигуры, которые не могут самостоятельно образовать замкнутого пространства, относят к открытым простым формам. Ес тественно, что к простым формам можно отнести не любую призму, а лишь такую, грани которой характеризуются одинаковыми размерами и геометрией и соответствуют определенным требованиям симметрии.
Грани пирамиды (рис. 1.5, 6) имеют форму одинаковых смежных равнобед ренных треугольников с общей вершиной, образующих равные углы с верти кальной осью. Пирамиды, как и призмы, относятся к открытым простым фор мам естественной огранки кристаллических многогранников.
В отличие от призм и пирамид дипирамиды (рис. 1.5, в) — пример закрытых простых форм. Дипирамиду можно представить как две одинаковые пирамиды,
|
|
которые сложены своими осно |
|
|
|
ваниями. Обе пирамиды относят |
|
|
|
ся друг к другу как предмет и его |
|
|
|
зеркальное отражение. Вершины |
|
|
|
обеих пирамид лежат на одной |
|
|
|
вертикали. |
|
|
|
Трапецоэдры (рис. 1.5, г), как и |
|
|
|
дипирамиды, относятся к числу |
|
|
|
закрытых простых форм. Трапе |
|
|
|
цоэдр можно получить из дипи |
|
а |
5 |
рамиды, если повернуть на неко |
|
торый угол вокруг вертикальной |
|||
|
|
оси одну пирамиду относитель но другой. При этом каждая грань трапецоэдра будет иметь форму четырехугольника с парой оди наковых ребер, примыкающих к одной из вершин дипирамиды.
Однако приведенные названия геометрических форм (призмы, пи рамиды, дипирамиды, трапецоэдры)
— это лишь часть наименования
|
|
Рис. 1.5. Простые формы: а — призма; |
В |
г |
6 — пирамида; в — дипирамида; г — тра |
пецоэдр |