книги / Практическая кристаллография

Приведенные соотношения (6.7) — (6.10) даны для четырехосной системы координат.

Для обратного перехода можно применить соотношение (6.10) и следующее соотношение:

Пожалуй, наиболее наглядно можно проиллюстрировать связи между обеи­ ми координатными системами и индексами граней (атомных плоскостей) на примере кристаллов кубической сингонии. Так, индексы граней связаны с по­ лярными координатами нормалей следующими простыми соотношениями:

Для кубических кристаллов характерны также аналогичные связи между по­ лярными координатами и индексами граней:

h : к : I = y]l - cos2 cp : cosqp: cos P _ ( (6.16)

sj1 - C O S2 P

или

имежду координатными углами и индексами граней (5.32).

Взаключение приведем соотношения для кубических кристаллов, связываю­ щих координатные углы нормалей граней с их полярными координатами:

Выводы. Если определение пространственной ориентировки атомных рядов и атомных плоскостей кристалла (ребер кристалла и его граней) представляют собой первостепенные задачи кристаллографии как науки об описании крис­ таллов, то роль графических методов при этом определении трудно переоце­ нить. Существенные преимущества графических методов описания кристаллов, помимо их доступности и документального характера, заключаются в том, что они позволяют одновременно наглядно представить совокупность многих гра­ ней кристалла (или атомных плоскостей и атомных рядов) в их взаимном расположении и взаимодействии.

Построение стереографических проекций, аналогичное переходу от объем­ ной модели земного шара (глобуса) к плоской географической карте, легко осуществляется с помощью специального замечательного инструмента — кри­ сталлографической градусной сетки Г.В. Вульфа (КСВ), позволяющей опреде­ лять угловые характеристики направлений в кристалле с точностью до ±0,5°, достаточной для решения большого числа практических задач кристаллогра­ фии.

С помощью КСВ можно элементарными средствами решать следующие ти­ повые задачи:

- строить СП направлений и нормалей граней (атомных плоскостей):

по заданным полярным координатам р и ф, по заданным координатным углам X, ц и v, по известным символам [MVW] и (Ш);

~ строить СП элементов симметрии:

плоскостей симметрии и их нормалей, осей симметрии; - определять значения углов между:

двумя направлениями, двумя нормалями граней (атомных плоскостей), на­ правлением и нормалью, направлением и осями координат, направлением и осями симметрии;

-определять СП линии пересечения двух атомных плоскостей (или ребра кристалла);

-определять СП нормали грани по заданным СП двух ее ребер;

-определять СП и пространственную ориентировку совокупности граней и Ребер кристалла, связанных друг с другом элементами симметрии;

-определять СП и пространственную ориентировку граней кристалла, ко­ торые ориентированы параллельно заданному направлению в кристалле;

~ изменять ориентировку оси (полюса) самой стереографической проек­ ции в целом (поворотом исходной проекции на заданный угол).

Наиболее эффективное использование графических методов описания кри­

сталлов достигается в их сочетании с расчетными методами, с разнообразными методами индицирования кристаллов. Действительно, если графические мето­ ды позволяют быстро получить предварительные результаты решения задачи о взаимном расположении граней и ребер кристалла в доступном и наглядном виде, то расчетные методы, включая методы определения символов атомных рядов и атомных плоскостей, позволяют дополнить эти результаты ценнейшей информацией о населенности (ретикулярной плотности) этих атомных плос­ костей и атомных рядов, уточнить сведения об углах между ними и других параметрах, характеризующих атомную структуру кристалла.

ГЛАВА 7. ПОСТРОЕНИЕ СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ И ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП (КЛАССОВ) СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ

Спустя два столетия после открытия Стеноном первого закона кристалло­ графии — закона постоянства двугранных углов кристаллов — профессором Михайловской артиллерийской академии А.В. Гадолиным была разработана стройная научная система описания самых разнообразных кристаллов на базе симметрийного принципа. Центральное место в этой системе заняла классифи­ кация кристаллов по признакам их симметрии. А.В. Гадолин разделил кристал­ лы на 32 группы, точнее на 32 точечные группы симметрии (ТГС) (или 32 класса симметрии).

Точечной группой симметрии (или классом симметрии) называют конкретное сочетание элементов симметрии кристаллических многогранников из числа: зеркальных плоскостей симметрии, простых поворотных осей симметрии, ин­ версионных осей симметрии, а также центра симметрии. Гадолин установил, что в кристаллах существует всего 32 возможных сочетания элементов симметрии. Количество этих сочетаний является ограниченным, поскольку кристаллы имеют оси симметрии только второго, третьего, четвертого и шестого порядка.

Вывод 32 классов симметрии (ТГС) послужил мощным стимулом для даль­ нейшего развития теоретических основ кристаллографии как современной строй­ ной науки о строении кристаллических тел. Для вывода классов симметрии (или ТГС) воспользуемся наиболее простыми и наглядными приемами, среди которых, например, методики анализа воздействия нескольких элементов сим­ метрии на пробные грани (или пробные фигуры). В результате размножения этих пробных граней (или пробных фигур) с помощью элементов симметрии возникает сложная картина, расшифровка которой содержит ответ на постав­ ленный вопрос об образовании новых элементов симметрии, об образовании их определенных сочетаний, т.е. классов симметрии (или ТГС).

Поскольку решение вопросов о взаимодействии разнообразных сочетаний элементов симметрии и даже о воздействии отдельно взятых, одиночных эле­

С комбинациями четырех простых наклонных осей симметрии третьего порядка (4Ь3), с тремя взаимно перпендикулярными (координатными) осями симметрии (3Ь2 или 3L4ши 3Z^ ), а также

координатными (3.PKQOp) и диагональными (6Рдиа1) плоскостями симметрии

Единственная простая поворотная ось симметрии. Встречается полное и краткое написание символа.

Начнем характеристику 32 классов симметрии с класса симметрии 1. На­ помним, что к символу оси симметрии первого порядка Lx вынуждены прибе­ гать в тех случаях, когда кристалл лишен каких-либо «настоящих» элементов симметрии. Любой кристалл после поворота на полный оборот (т.е. на элемен­ тарный угол, формально соответствующий простой поворотной оси симметрии первого порядка) вокруг любой прямой неизбежно возвращается в исходное положение. С учетом отмеченного, можно считать ссылку на ось симметрии первого порядка и на соответствующий класс симметрии 1 чисто формальной.

Класс симметрии 1 характеризуется наличием единственного элемента сим­ метрии — центра симметрии С (I).

Центром симметрии связаны грани А и В (рис. 7.1, а). Эти грани в кристалле занимают диаметрально противоположные положения. Их проекции распола­ гаются на одном диаметре круга проекций симметрично относительно центра этого круга С; соответствующие угловые расстояния от центра круга проекций для них совпадают, т.е. АС = СВ.

Если сферические координаты проекции А обозначить как р и ср, то поляр­ ное расстояние проекции В составит величину (я —р), а долгота проекции В равна (ф + л). Напомним, что грани, связанные центром симметрии, обладают свойством обратной параллельности (как, например, каждая пара параллельных граней октаэдра).

В классе симметрии Ь2 (2) взаимное расположение граней, которые связаны друг с другом осью симметрии второго порядка, существенным образом зави­ сит от пространственной ориентировки этой оси симметрии. Вертикальная ось симметрии второго порядка Ь2 связывает друг с другом грани А и В (рис. 7.1, б).

Рис. 7.1. Связь граней А и В с использованием элементов симметрии: а — центра симметрии С; б — вертикальной оси симметрии L2; в — горизонтальной оси симметрии Ь2; г — наклонной оси симметрии L2

Действительно, простой поворот грани А вокруг вертикальной оси на угол 180° приводит ее к совмещению с гранью В, при этом вторая грань остается попрежнему на той же полусфере. Если сферические координаты нормали грани А — это р и ср, то полярное расстояние грани В останется прежним (р), а долгота грани В изменится на величину л: (ф + л).

Переход от вертикальной к горизонтальной оси симметрии второго порядка L2 (рис. 7.1, в) существенно отражается на результате симметрического преоб­ разования: грань В оказывается на другой полусфере. Если сферические коор­ динаты нормали грани А были р и ф, то полярное расстояние грани В станет равным (л — р), а ее долгота достигнет величины (2л — ф).

В отличие от рассмотренного действия горизонтальной оси симметрии Ь2 на грань А (рис. 7.1, в), наклонная ось симметрии второго порядка оставляет проекцию В на той же полусфере, сохраняя неизменной величину полярного Расстояния р (рис. 7.1, г). Долгота проекции Д равная (2л - ф), существенно отличается от исходного положения проекции А, равной р.

Наличие простой оси симметрии третьего порядка L3 характерно не только Для класса симметрии 3 , но и для всех кубических кристаллов. Это позволяет провести совместный анализ действия этой оси симметрии для тригональных и кубических кристаллов.

Для простой поворотной оси симметрии третьего порядка L3 характерными являются лишь два положения: вертикальное — для кристаллов тригональной сингонии (включая класс симметрии 3) и наклонное — для кристаллов куби­ н к о й сингонии.