книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

эффект (наподобие того, что мы видели в связи между В и И в магнитных мате­

риалах).

Деформация Напряжения, при ко­

торых происходит разру­ шение. сильно изменяют­

сяот материала к материалу. Некоторые материалы раз­ рушаются при максимальном растягивающем напряжении.

Другие же разрушаются при определенной величине напряже­ ния сдвига. Скажем, мел гораздо слабее противостоит растяже­

нию, чем сдвигу. Если вы потянете за концы палочки мела, то

она сломается перпендикулярно направлению приложенной силы (фиг. 39.9, слева). Ведь мел — это только спрессованные

частички, которые легко растаскиваются в стороны, поэтому он ломается перпендикулярно приложенной силе. А в отношении сдвига этот материал гораздо крепче, так как в этом случае частицы мешают друг другу. Вспомните теперь, что когда мы скручиваем стержень, то в любом его поперечном сечении воз­ никают сдвиги. Мы показали, кроме того, что сдвиг эквивален­

тен комбинации растяжения и сжатия под углом 45°. По этой причине при скручивании кусочек мела разломится по сложной

поверхности, которая расположена под углом 45° к образующим. На фиг. 39.9 {справа) приведена фотография куска мела, сломан­

ного таким способом. Мел ломается там, где напряжения макси­ мальны.

Есть и другие материалы, которые ведут себя очень странным и сложным образом. Чем сложнее материал, тем причудливей его поведение. Если мы возьмем лист сарана *, скомкаем его и бросим на. стол, то постепенно он расправится и примет свою первона­ чальную плоскую форму. На первый взгляд кажется соблазни­ тельным считать, что здесь основную роль играет именно упру­ гость. Но простой подсчет покажет, что она слишком слаба (на несколько порядков слабее), чтобы как-то влиять на этот эффект. Оказывается, что здесь соревнуются два механизма: «нечто»

* Пластик с мудреным названием «полившшлиденхлорид», применяемый для обертки.— Прим. ред.

222

ждение о том, что напряжение пропорционально деформации, равносильно утверждению, что энергия деформации изменяется как квадрат напряжения. Предположим, что мы скрутили стер­ жень на малый угол 0. Если справедлив закон Гука, то энергия деформации должна быть пропорциональна квадрату 0. Пред­ положим, что энергия является некоторой произвольной функ­ цией угла. Мы можем записать ее в виде разложения Тэйлора около нуля:

f/(0)=t/(O H -^'(O )0 -t-yt;"(O )0J + -g-f/, , , (O)0»-)-... . (39.40)

Момент силы т представляет производную U по углу, поэтому

Если теперь отсчитывать угол от положения равновесия, то первое

слагаемое будет равно нулю. Таким образом, первое оставшееся слагаемое пропорционально 0 и при достаточно малых углах оно будет превосходить слагаемое с 0а. [На самом деле, внутренне материалы в достаточной мере симметричны, так что т(0)=— = т (—0); слагаемое с 0а оказывается нулем, а отклонение от ли­ нейности происходит только из-за слагаемого с 08. Однако нет причин, по которым это было бы верно для растяжения и сжатия.) Единственно, что мы не объяснили,— почему материалы обычно разрушаются вскоре после того, как становятся существенными члены высшего порядка.

§ б. Вычисление упругих постоянных

Последний вопрос в теории упругости, который я разберу,— это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла

типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличе­ нию потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изме­ нения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае простого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри Кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внеш­ них граней.

224

Упругие постоянные кубического кристалла можно вычислить следующим образом. Прежде всего мы предположим наличие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между деформацией и энергией, которая квадратич­ на по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэф­ фициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными Си н ,

В нашем примере мы будем предполагать следующий простой

закон взаимодействия: между соседними атомами действуют цент­ ральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соеди­

няющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ионных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к боковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодей­ ствия каждого атома сбли­ жайшим к нему и следую­ щими поблизости соседями.

Другими словами, мыбудем делать приближение, в ко­ тором пренебрежем силами между далекими атомами. На фиг. 39.10, а показаны

Ф и г. 39,10, Принимаемые нами

врасчет межатомные силы (а) и модель,в которой атомы свя­

заны пружинками (б).

225

мацням, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно. Поэтому для на­ глядности можно представлять, что каждая пара атомов соеди­ нена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки

между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем ki. Пружинки между двумя ато­

мами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через kt.

(Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы смо­ жете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором etj. В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и г , но мы для большей

наглядности рассмотрим только деформации с тремя компо­ нентами: ехх, еху и evv. Если один из атомов выбрать в качестве

начала координат, то перемещение любого другого атома за­ дается уравнением типа (39.9):

ии ~ е*иХ“Ь ei/I/У'

Назовем атом с координатами х=у—0 «атомом /», а номера его

соседей показаны на фиг. 39.11. Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х - и «/-компоненты перемещения их, и„,

выписанные в табл. 39.1.

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению AV2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между

226

Фиг. 39.11. Перемещение ближайших и следующих побли-

воети соседей этома 1. (Масштаб сильно искажен.)

атомами 1 и 2 будет равна

Заметьте, что с точностью до первого порядка ^-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2.

Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изме­

нение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонталь­ ного перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент их и иу в диагональном направлении:

(«* + «,)•

Воспользовавшись величинами их и и„, можно получить выраже­

ние для энергии

Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна

сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энер-

227

г и ю ч ер ез t / 0, п о л у ч а ем

Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с ато­ мом /, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- и ^/-компоненты деформации, вклад в

них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диаго­ нальными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия

равна

k2{e%fl*+el„a*). (39.46)

Упругие постоянные связаны с плотностью энергия w уравне­

нием (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с од­ ним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на

один атом, ибо. на каждый из двух атомов, соединенных пружин­ кой, должно приходиться по 1/2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/а3 атомов, то и и У, связаны соотношением

Чтобы найти упругие постоянные Сцы, нужно только воз­

вести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), прибавить (39.46) и сравнить коэффициенты при е^ек( с соответствующими

коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая сла­ гаемые с е\х и е\и, мы находим, что множитель при нем равен

(ftx-)-2fc2)a 2,

поэтому

'^хххх'— ^ииии~~ а

В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения еххеиу от evvexx,

то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при еххеуу в урав­

нении (39.45) равен 262, так что получаем

228

Однако из-за симметрии выражения для энергии при переста­ новке двух первых значений с двумя последними можно считать,

ЧТО С х х у у ^у ухху ПОЭТОМУ

С= Г — ^2

Таким же способом можно получить

Г — Г —

^Хуху — ^ухух— — *

Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок х или у, равен нулю, как это было найдено ранее из соображений

симметрии. Подытожим наши результаты:

Сххху ~ Схууу = И Т. Д. = 0.

Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопические упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявля­ ются в постоянных ki и k2. В нашем частном случае Схуху=Сххуу.

Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заме­ тили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии,

что силы действуют вдоль линии, соединяющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несом­ ненно существует при ковалентной связи).

Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для не­ которых кубических кристаллов *. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что Сххуу, вообще говоря, не равно Схуху. При­

чина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяющей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе — это кова­ лентные силы, которые обладают особым свойством направ­ ленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, распо­ ложенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают

* В литературе вы часто столкнетесь с другими обозначениями. Так, мно­ гие пишут:

229