книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Подвеска

М аленький кусочек

Ф и г . 34.1. Небольшой висмутовый цилиндр слабо отталкивается заостренным полюсом; кусочек алюминия будет притягиваться.

но обнаружить по незначительному смещению подвешенного кусочка материала при повороте магнита. Оказывается, что ферромагнитные материалы сильно притягиваются заостренным полюсом, а все остальные — очень слабо. А есть и такие, которые не притягиваются заостренным полюсом, а слабо отталкиваются.

Этот эффект легче всего наблюдать на маленьком цилиндре из висмута, который выталкивается из области сильного поля.

Вещества, которые отталкиваются, подобно висмуту, называются диамагнетиками. Висмут — один из сильнейших диамагнетиков,

но даже и его магнитный эффект очень слаб. Диамагнетизм всегда очень слаб. Если между полюсами подвесить кусочек алюминия, то на него все же будет действовать слабенькая сила, но направ­

ленная в сторону заостренного полюса. Вещества, подобные алюминию, называются парамагнетиками. (В таких экспери­

ментах при включении и выключении магнита из-за вихревых токов возникают силы, которые могут дать сильный толчок. Поэтому нужно быть очень внимательным и смотреть только на чистое перемещение после того, как подвешенный предмет успо­ коился.)

Сейчас я коротко опишу механизм этих двух эффектов. Прежде всего атомы многих веществ не имеют постоянных магнитных моментов, или, вернее, все магнитные моменты внутри каждого атома уравновешены так, что суммарный магнитный момент атома равен нулю. Спиновые и орбитальные моменты электронов сбалансированы так, что у каждого данного атома никакого среднего магнитного момента нет. Если при этих обстоятельст­ вах вы включаете магнитное поле, то внутри атома по индукции

92

генерируются слабые дополнительные токи. В соответствии с за­ коном Ленца эти токи действуют так, чтобы сопротивляться

увеличивающемуся магнитному полю. Таким образом, наведен­ ный магнитный момент атомов направлен противоположно маг­

нитному полю. Это и есть механизм диамагнетизма.

Однако существуют такие вещества, атомы которых все же обладают магнитным моментом, т. е. электронные спины и ор­ биты которых имеют ненулевой полный циркулирующий ток. Таким образом, кроме диамагнитного эффекта (а он всегда при­ сутствует), существует еще возможность «выстраивания» инди­

видуальных атомных моментов в одном направлении. Магнит­ ные моменты в этом случае стараются выстроиться по направлению

магнитного поля (точно так же, как постоянные диполи в диэлект­ рике выстраиваются в электрическом поле) и наведенный магне­ тизм стремится усилить магнитное поле. Это и есть парамагнит­ ные вещества. Парамагнетизм, вообще говоря, довольно слаб, потому что выстраивающие силы относительно малы по сравне­ нию с силами теплового движения, которые стараются разру­ шить упорядочивание. Отсюда также следует, что парамагнетизм обычно чувствителен к температуре. (Исключение составляет парамагнетизм, обусловленный спинами электронов, ответствен­ ных за проводимость металлов. Но мы не будем обсуждать здесь это явление.) Для обычного парамагнетизма эффект тем сильнее, чем ниже температура. При низких температурах атомы выстраи­ ваются в большей степени, поскольку разупорядочивание вслед­ ствие тепловых колебаний (соударении) будет меньше. Но, с дру­ гой стороны, диамагнетизм более или менее не зависит от темпе­ ратуры. У любого вещества с выстроенными магнитными момен­ тами есть как диамагнитный, так и парамагнитный эффекты, при­

чем парамагнитный эффект обычно доминирует.

В гл. 11 (вып. 5) мы описывали сегнетоэлектрические мате­

риалы, все электрические диполи которых выстраиваются в ре­ зультате взаимного действия атомов друг на друга своими элект­ рическими полями. Можно представить себе магнитный аналог сегнетоэлектричества, в котором все атомные моменты, действуя друг на друга, выстраивают сами себя. Если бы вы попытались вычислить, как это должно происходить, то обнаружили бы, что из-за того, что магнитные силы гораздо слабее электрических, тепловое движение должно расстраивать упорядочивание даже при столь низких температурах, как 10°К. Так что при ком­ натных температурах любое постоянное выстраивание магнитных моментов казалось бы невозможно.

Но, с другой стороны, именно это явление происходит в же­ лезе: там магнитные моменты все-таки выстраиваются. Между магнитными моментами различных атомов железа действуют

эффективные силы, которые во много-много раз больше пря­ мого магнитного взаимодействия. Это косвенный эффект, кото-

93

рын можно объяснить только с помощью квантовой механики. Он примерно в десять тысяч раз сильнее прямого магнитного взаимодействия, и именно он выстраивает магнитные моменты в ферромагнитных материалах. Об этом особом взаимодействии мы будем говорить в дальнейшем.

Я попытался дать вам качественные объяснения диамагнетиз­ ма и парамагнетизма, однако хочу тут же внести поправку и

сказать, что с точки зрения классической механики честным путем понять магнитные эффекты невозможно. Подобные магнит­ ные эффекты — явления целиком квантовомеханические. Тем

не менее привести некоторые «правдоподобные» классические рассуждения и дать вам представление о том, как здесь все про­ исходит, все-таки небесполезно.

Попробуем встать на этот путь. Можно Приводить разные фи­ зические аргументы и строить догадки о том, что происходит с веществом, однако все эти аргументы будут в той или иной сте­ пени «незаконными», так как в любом из магнитных явлений весьма существенную роль играет квантовая механика. С другой стороны, бывают такие системы, подобные плазме или скоплению множества свободных электронов, где электроны все же живут по законам классической механики. При таких обстоятельствах некоторые из теорем классического магнетизма будут очень по­ лезны. Кроме того, классические рассуждения полезны еще и по историческим причинам: ведь пока люди еще не могли понять глубокий смысл и поведение магнитных материалов, они пользо­ вались классическими аргументами. Так что классическая меха­ ника все же способна дать нам полезные сведения. И только если стремиться быть совсем честным, то надо отложить изучение маг­ нетизма до тех пор, пока вы не пройдете квантовую механику.

А мне все-таки не хочется ждать так долго ради того, чтобы понять такую простую вещь, как диамагнетизм. Для целого ряда полуобъяснений происходящего можно ограничиться клас­ сической механикой, сознавая, однако, что наши доводы на самом деле нуждаются в квантовомеханическом подкреплении.

§2. Магнитные моменты и момент количества движения

Первая теорема, которую мы хотим доказать в классической механике, гласит: если электрон движется по круговой орбите (например, крутится вокруг ядра под действием центральных сил), то между магнитным моментом и моментом количества дви­ жения существует определенное соотношение. Обозначим через J момент количества движения, а через р — магнитный момент

электрона на орбите. Величина момента количества движения равна произведению массы электрона на скорость и на радиус

94

J

(Хотя эта формула и нерелятивистская, но для атома она должна

быть достаточно хороша, ибо у захваченного на орбиту электрона отношение vie в общем случае равно по порядку величины e2lfic= =1/137, или около \%.)

Магнитный момент той же самой орбиты равен произведению тока на площадь (см. гл. 14, § 5, вып. 5). Ток равен положитель­ ному заряду, проходящему в единицу времени через любую точку на орбите, т. е. произведению заряда q на частоту враще­

ния. А частота равна скорости, поделенной на периметр орбиты, так что

г v 1 ~ Ч2лг •

Так как площадь равна лг-, то магнитный момент будет

qvr

(34.2)

Он тоже направлен перпендикулярно плоскости орбиты. Таким образом, J и JLI имеют одинаковое направление:

Их отношение не зависит ни от скорости, ни от радиуса. Для любой частицы, движущейся по круговой орбите, магнитный момент равен произведению q/2m на момент количества движе­

ния. Для электрона, заряд которого отрицателен (обозначим его через — qe),

Вот что получается в классической физике, и совершенно удивительно, что то же самое справедливо и в квантовой меха­ нике. Это один нз правильных выводов. Однако если развивать его дальше по пути классической физики, то вы натолкнетесь

95

на такие места, где он даст неправильные ответы; разобраться же потом, какие результаты верны, а какие неверны,— целое

дело. Уж лучше я сразу скажу, что в квантовой механике верно в общем случае. Прежде всего соотношение (34.4) остается верным для орбитального движения; однако это не единственное место,

где мы встречаемся с магнетизмом. Электрон, кроме того, совер­ шает еще вращение вокруг собственной оси (подобное вращению Земли вокруг ее оси), и в результате этого вращения у него воз­ никает момент количества движения и магнитный момент. Но по чисто квантовомеханическим причинам (классическое объяс­ нение этого совершенно отсутствует) отношение р к J для соб­ ственного вращения (спина) электрона в два раза больше, чем для орбитального движения крутящегося электрона:

В любом атоме, вообще говоря, имеется несколько электро­ нов, и его полный момент количества движения и полный магнит­ ный момент представляют некоторую комбинацию спиновых и орбитальных моментов. И без каких-либо на то классических оснований в квантовой механике (для изолированного атома) направление магнитного момента всегда противоположно направ­

лению момента количества движения. Отношение их не обяза­ тельно должно быть — qjm или —qe/2m\ оно расположено где-то

между ними, ибо здесь «перемешиваются» вклады от спинов и орбит. Можно записать

битальных моментов он равен единице, для чисто спиновых равен 2, а для сложной системы, подобной атому, он расположен

где-то между ними. Конечно, пользы от этой формулы не очень много. Она только говорит, что магнитный момент параллелен

моменту количества движения, но может иметь любую величину.

янная порядка единицы. Одна из задач квантовой механики — предсказание фактора g для разных атомных состояний.

Быть может, вам интересно знать, что происходит в ядрах атомов. Протоны и нейтроны в ядре движутся по своего рода орбитам и в то же время, подобно электронам, имеют спин. Маг­ нитный момент снова параллелен моменту количества движения. Только теперь порядок величины отношения магнитного момента к моменту количества движения для каждой из этих частиц будет таким, как можно было ожидать для протона, движущегося по

кругу; при этом массу т в уравнении (34.3) нужно взять равной массе протона.

06

Поэтому для ядер обычно пишут (в скобках положительная величина)

(34.7)

где тр — масса протона, а постоянная g, называемая ядерным g-фактором,— число порядка единицы, которое должно опре­ деляться отдельно для каждого сорта ядер.

Другое важное отличие в случае ядер состоит в том, что g -фактор спинового магнитного момента протона не равен 2, как

у электрона. Для протона g = 2* (2,79). Крайне удивительно, что спиновый магнитный момент есть и у нейтрона и отношение этого

будет в точности «нейтральным». Он напоминает маленький маг­ нитик и имеет такой же магнитный момент, как и вращающийся отрицательный заряд.

§ 3. Прецессия атомных магнитиков

Одно из следствий пропорциональности магнитного момента моменту количества движения заключается в том, что атомные магнитики, помещенные в магнитное поле, будут прецессировать.

Обсудим это сначала с точки зрения классической физики. Пусть у нас имеется магнитный момент ji, свободно висящий в однородном магнитном поле. Он испытывает действие момента силы т, равного jiXB, пытающегося повернуть его в том же направлении, что и поле. Но атомный магнит — ведь это гиро­ скоп, у него есть момент количества движения J. Поэтому момент силы от магнитного поля не вызовет поворота в направлении

моментом jti в магнитном поле В прецессирует с угловой скоростью ыр.

97

прецессии можно найти тем же методом, что и в гл. 20 (вып. 2).

Предположим, что за малый промежуток времени At момент

количества движения меняется от J до J' (фиг. 34.3), оставаясь при этом всегда под одним и тем же углом 0 к направлению

магнитного поля В. Обозначим через а>р угловую скорость пре­ цессии, так что за промежуток времени At угол прецессии будет

равен (орДt. Из геометрии рисунка мы видим, что изменение мо­ мента количества движения за время At равно

(Формулы для атомов и ядер различны только благодаря раз­

личным соглашениям относительно g в этих двух случаях.) Итак, в соответствии с классической теорией электронные ор­

биты и спины в атоме должны прецессировать в магнитном поле. Верно ли это и в квантовой механике? В сущности это верно, однако смысл «прецессии» здесь совсем иной. В квантовой ме­ ханике нельзя говорить о направлении момента количества дви­

жения в том же смысле, как это делается классически; тем не менее аналогия здесь очень близкая, настолько близкая, что мы продолжаем пользоваться термином «прецессия». Мы еще обсу­ дим это позднее, когда будем говорить о квантовомеханической точке зрения.

98

§ 4. Диамагнетизм

Рассмотрим теперь с классической точки зрения диамагне­ тизм. К этому можно подойти несколькими путями, но один из лучших такой. Предположим, что по соседству с атомом медленно

включается магнитное поле. При изменении магнитного поля благодаря магнитной индукции будет генерироваться электричес­

кое поле. По закону Фарадея контурный интеграл от Е по замк­

нутому контуру равен скорости изменения магнитного потока через этот контур. Предположим, что в качестве контура Г мы выбрали окружность радиусом г, центр которой совпадает с

центром атома (фиг. 34.4). Среднее тангенциальное электрическое поле Е на этом контуре определяется выражением

Е2пг —— (Впгг),

т. е. возникает циркулирующее электрическое поле, напряжен­ ность которого равна

Индуцированное электрическое поле, действуя на атомный электрон, создает момент силы, равный — qeEr, который должен

быть равен скорости изменения момента количества движения dJldt:

Интегрируя теперь no времени, начиная с нулевого поля, мы находим, что изменение момента количества движения из-за включения поля будет равно

Это и есть тот дополнительный момент количества движения, ко­ торый сообщается электрону за время включения поля.

Такой добавочный момент количества движения приводит

Ф и г . 34.4. Индуцированные электри­ ческие силы, действующие на элек­ троны в атоме.

99