книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Ф и г , 31.8. Эллипсоид поляризуемости.

кольку ахи и avx равны, то этот член превращается в 2ахи

и может быть вычислен из добавочной энергии.

Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геомет­

рическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Ех и Еу отвечают данной плотности энергии, скажем

ив. Возникает чисто математическая задача решения уравнения

2ссху ЕхЕу -f-сСууЕу= 2и0.

Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Ех и £„, решением этого уравнения будут все

точки эллипса (фиг. 31.2). (Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда поло­ жительна и конечна.) А само Е с компонентами Ех и Еу представ­

ляет собой вектор, идущий из начала координат до точки на эл­ липсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «уви­

деть» тензор поляризуемости.

Если теперь пустить в дело все три компоненты, то любой

вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллипсоиде, подобно изображенному на фиг. 31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор поляри­ зуемости.

Заметьте теперь, что эллипсоид имеет очень интересное свойство — его всегда можно описать простым заданием направ­ ления трех «главных осей» и диаметров эллипсоида по этим осям. Такими «главными осями» являются направления наи­ меньшего и наибольшего диаметра и направление, перпендику­ лярное к ним. На фиг. 31.3 они обозначены буквами а, b и с.

По отношению к этим осям уравнение эллипсоида имеет особенно

простую форму:

а ав^о +<*ььЧ+ aceEj=2ut.

Итак, по отношению к главным осям у тензора поляризуе­ мости останутся только три ненулевые компоненты аав, аьь и аес. Другими словами, сколь бы ни был сложен кристалл,

всегда можно выбрать оси так (они не обязательно будут осями

31

самого кристалла), что у тензора поляризуемости останется только три компоненты. Уравнение (31.4) для таких осей стано­ вится особенно простым:

оси, но, разумеется, для различных осей коэффициенты будут разными.

Тензор часто записывается в виде таблицы из девяти коэф­

Для главных же осей а, b и с в таблице остаются только диаго­

нальные члены, поэтому мы говорим, что тензор становится «диагональным», т. е.

Самое важное здесь то, что к такой форме подходящим выбором осей координат можно привести любой тензор поляризуемости (фактически любой симметричный тензор второго ранга какого

угодно числа измерений).

Если все три элемента тензора поляризуемости в диагональ­

то эллипсоид энергии превращается в сферу, поляризуемость во всех направлениях становится одинаковой, а материал изот­ ропным. В тензорных обозначениях

32

Тензор 8t) часто называют также «символом Кронекера». Для

забавы вы можете доказать, что тензор (31.14) после замены од­ ной прямоугольной системы координат на другую будет иметь в точности ту же самую форму. Тензор поляризуемости типа (31.13) дает

Pl = a^6 ijE j = aEi,

т. е. получается наш старый результат для изотропного диэлек­ трика:

Р = аЕ.

Форму и ориентацию эллипсоида поляризуемости иногда можно связать со свойствами симметрии кристалла. В гл. 30 мы уже говорили, что трехмерная решетка имеет 230 различных возможных внутренних симметрий и что для многих целей их удобно разбить на 7 классов в соответствии с формой элемен­ тарной ячейки. Эллипсоид поляризуемости должен отражать геометрию внутренней симметрии кристалла. Например, триклинный кристалл имеет самую низкую симметрию; у него все три оси эллипсоида разные и направления их, вообще говоря, не совпадают с направлением осей кристалла. Более симмет­ ричный моноклинный кристалл обладает той особенностью, что его свойства не меняются при повороте кристалла на 180° от­ носительно одной оси, поэтому тензор поляризуемости при таком повороте должен остаться тем же самым. Отсюда следует, что эллипсоид поляризуемости при повороте на 180° должен перехо­ дить сам в себя. Но такое может случиться только,, когда одна из осей эллипсоида совпадет с направлением оси симметрии кристалла. В других же отношениях ориентация и размеры эллипсоида могут быть какими угодно.

Оси эллипсоида ромбического кристалла должны совпадать с кристаллическими осями, так как вращение такого кристалла на 180° вокруг любой оси повторяет ту же кристаллическую решетку. Если же взять тетрагональный кристалл, то эллип­ соид тоже должен повторять его симметрию, т. е. два из его диаметров должны быть равны менаду собой. Наконец, для ку­ бического кристалла равными должны быть все три диаметра эллипсоида — он превращается в сферу и поляризуемость кристалла одинакова во всех направлениях.

Существует очень серьезная игра, состоящая в выяснении всех возможных свойств тензоров для всех возможных симмет­ рий кристалла. Она мудрено называется «теоретико-групповым анализом». Однако для простых случаев тензора поляризуемости увидеть, какова должна быть эта связь, относительно легко.

33

§4. Другие тензоры; тензор инерции

Вфизике есть еще немало других примеров тензоров. В ме­ талле, например, или каком-либо другом проводнике зачастую оказывается, что плотность тока j приблизительно пропорцио­ нальна электрическому полю Е, причем константа пропорцио­

нальности называется проводимостью о:

j= a E .

Однако для кристалла соотношение между j и Е более сложно, проводимость в различных направлениях не одинакова. Она становится тензором, поэтому мы пишем

i t = $ o ikEk.

Другим примером физического тензора является момент инерции. В гл. 18 (вып. 2) мы видели, что момент количества движения L твердого тела, вращающегося относительно фикси­ рованной оси, пропорционален угловой скорости ю, и коэффи­ циент пропорциональности I мы назвали моментом инерции:

L = /со.

Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориен­ тации относительно оси вращения. Моменты инерции прямо­ угольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость ©

имомент количества движения L — оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления © и L, вообще говоря, не сов­ падают (фиг. 31.4). Они связаны точно таким же образом, как Е

иР, т. е. мы должны писать:

£* = I**®*+1ху<йу + /«<»*,

(31.16)

1мг— 1гх(дх -f- Izy(йу-)- / я <#г.

Ф и г . 31.4. Момент количества движения L твердого предмета, вообще говоря, не параллелен вектору угловой скорости ю.

34

Девять коэффициентов /у называют тензором инерции. По ана­ логии с поляризацией кинетическая энергия для любого мо­ мента количества движения должна быть некоторой квадратич­ ной формой компонент <ах,у о и <oz:

Мы можем снова воспользоваться этим выражением для опре­ деления эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно восполь­ зоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. / y = / / |.

Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой т и скоростью v

Е т ™ а

по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью <■> твердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем счи­ тать покоящимся. Если при этом г — положение частицы отно­ сительно центра масс, то ее скорость v задается выражением о)Хг. Поэтому полная кинетическая энергия равна

(© X г)а = (о X г)!+ (со х r)J + (ю х г)| =

=(wyz — со2уУ + (co2x — coxz)2+ (<вХу—®ух)*=*

=<оага— 2шусог гу + со^/= +

+<о|ха— 2coz<ox xz + co|za +

+со2г/2— 2фхсоу ух + соаха.

Умножая это уравнение на т12, суммируя по всем частицам

и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что / хх, например, равно

/ ~ = 2 " Ф а + гг).

Эго и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2). Ну

апоскольку г*=х^-}-у?-\-г*, то эту же формулу можно написать

ввиде

/« = 2

35

Выписав остальные члены тен зо р а инерции, получим

Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначениях»:

где через г( обозначены компоненты (х, у, z) вектора положения

частицы, а 2 означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой скоростью о :

Для любого тела независимо от его формы можно найти эл­ липсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относи­ тельно этих осей тензор будет диагональным, так что для лю­ бого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.

§ 5. Векторное произведение

Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы опреде­ лили там «момент силы, действующий в плоскости», например тту, следующим образом:

Тxy = xFy—yFx.

Обобщая это определение на три измерения, можно написать

из способов убедиться в этом — свернуть хц с каким-то векто-

тором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить

.7е/-

Если эта величина окажется вектором,, то тц должен преобра­

зовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для хи, получаем

^ xueJ = ^ UFfr- 2 rj eJFi = О (F • е )— (г • е) F{.

36

Поскольку скалярные произведения, естественно, являются

Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: i xv, хиг и х1Х. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось

показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности»

преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор

Т= (тл, Ху, хг) = (хуг, Хгх, Хху).

Ясказал «по случайности» потому, что это происходит только

втрехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных

ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить векто­ ром, у которого компонент только четыре.

Точно так же как аксиальный вектор T =rX F является тен­ зором, по тем же соображениям тензором будет и любое век­ торное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.

Вообще говоря, для любых двух векторов а и b девять ве­ личин аф) образуют тензор (хотя для физических целей он

не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора по­ ложения г величины rf] являются тензором, а поскольку бц

тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действительно является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры.§

§ 6. Тензор напряжений

Встречавшиеся до сих пор симметричные тензоры возникали

физический смысл,— это тензор напряжений. Предположим,

что на твердое тело действуют различные внешние силы. Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы между смежными час­ тями материала. Мы уже говорили немного о подобных напря­ жениях в двумерном случае, когда рассматривали поверх­ ностное натяжение напряжённой диафрагмы (см. гл. 12, § 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы в материале трехмерного тела записываются в виде тензора.

37

Ф и г . 31.6. Сила ЛР1( дебетвующая на элемент площади A(/Az, перпендикулярный оси х, разлагается на три компонен­ ты: &Fx l, &Fyi и &Fz l.

AyAz можно записать как Аах, имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси х, т. е.

ДFyj

V* Дах '

А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькую площадку АхАг действует сила AFa. Раз­

лагая снова эту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы определяем три компоненты напряжения SXy, Syy, SIy как силы, действующие на единичную площадь в этих

трех направлениях. Наконец, проведем воображаемый разрез, перпендикулярный оси г, и определим три компоненты Sxz, Syz и SIZ. Таким образом, получается девять чисел:

Я хочу теперь показать, что этих девяти ве­ личин достаточно, чтобы

Ф и г . 31.7. Сила, действующая на элемент площади, перпенди­ кулярный оси у, разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты.

39

полностью описать внутреннее напряженное состояние, и что 5,7 — действительно тензор. Предположим, что мы хотим

знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, исходя из S ,y? Можно, и это делается следующим образом. Вообразите маленькую призму, одна грань N которой наклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань N па­ раллельна оси г, то получается картина, изображенная на

фиг. 31.8. (Эго, конечно, частный случай, но он достаточно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напряжения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее полная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на грани, параллельные осям координат, известны нам непосредственно из тензора Эц.

А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, так что эту силу можно выразить через Бц.

Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на

малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые

тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметьте, однако, что такие объемные силы бу­

дут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорцио­ нальны АхАуАг, тогда как поверхностные силы пропорцио­

нальны АхАу, AyAz и т. п. Итак, если размер призмочки взять

достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.

А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за х-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани; Но если Аг достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси г) будут

равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них молено забыть. На основание призмы действует .«-компо­ нента силы, равная

ДFx%= Sxy Ах Аг,

а х-компонента силы, действующей на вертикальную прямо-

40