книги / Управляющие системы и автоматика
..pdfТаблица 24. Целые четырехразрядные двоичные числа |
|
|||
Десятичное число |
Двоичное число |
Десятичное число |
Двоичное число |
|
00 |
0000 |
08 |
1000 |
|
01 |
000 1 |
09 |
1001 |
|
02 |
00 10 |
10 |
1010 |
|
03 |
001 |
1 |
11 |
1011 |
04 |
0100 |
12 |
1 100 |
|
05 |
010 1 |
13 |
1101 |
|
06 |
0 1 10 |
14 |
1110 |
|
07 |
0111 |
15 |
1111 |
|
Цена разряда |
842 1 |
|
842 1 |
|
Пример:
Определить десятичное число, равнозначное двоичному числу 101,011.
Решение:
101,011 = 1 22+ 0 • 2‘ +1 2° + 0 • 2—1 + 1 2 -2 + 1 2-3 = 5,375. Вычисления с двоичными числами очень похожи на вычисления с деся
тичными числами (см. табл. 25).
Таблица 25. Основные правила вычислений с двоичными числами
0 + 0 = 0 |
0 - 0 = 0 |
0 0 = 0 |
0 : 1 = 0 |
|
1 + 0 = 1 |
1 - 0 = 1 |
1 0 = 0 |
1 1 = 1 |
|
0+1 = 1 |
0 — 1 = —1 |
0 1 |
= 0 |
|
1 + 1=0 плюс |
1 - 1 = 0 |
1 1 |
= 1 |
|
перенос 1
Складывают и вычитают, как и при вычислениях с десятичными числа ми, поразрядно, с образованием переноса для следующего, более высокого разряда, если сумма в одном разряде становится больше 1; и соответственно при вычитании занимают 1 из следующего, более высокого разряда, если вы читаемое слишком велико.
Пример: Вычислить 6 + 5 и 11—5 с использованием двоичных чисел.
Решение:
ПО
+
101
перенос 1
1011=11
1011
101
перенос 1
0110 = 6
При сложении складывают поразрядно справа налево: 1 + 0=1; 0+1=1; 1 + 1=0 + перенос 1 в 4-й разряд. При вычитании вычитают поразрядно спра ва налево: 1—1=0; 1— 0 = 1; 0—1 не идет, то есть занимают 1 из следующего, более высокого разряда. Вычисляют 10 — 1=1 (поскольку 1 + 1 = 10).
Для умножения, как и в случае десятичных чисел, отдельные частичные произведения с поразрядным сдвигом записывают друг под другом и сумми руют. Для деления используют тот же способ, что и для десятичных чисел, решая, сколько делителей содержится вделимом.
Пример: Вычислить 2х11и6: 4с использованием двоичных чисел.
Решение: |
10-1011 |
|
|
|
10 |
|
|
|
00 |
= |
1 Т + 0 • 23 |
|
10 |
+ |
1 22+ 1 2‘ |
|
____ Ш |
+ 0 • 2° = 22 |
|
|
10110 |
|
|
|
110: 100= 1,1 |
|
|
|
100 |
=1 2° |
|
|
1 0 0 |
+ 1 Г |
|
100=1,5
2.5.2.Двоично-десятичные коды
Спомощью двоично-десятичных кодов осуществляется двоичное кодирова ние цифр от 0 до 9; так, цифра 7 в коде 8-4-2-1 соответствуетдвоичному числу 111, в коде 5-2-1 -1 — двоичному числу 1011, а в коде «два из пяти» — двоич ному числу 10001 (см. табл. 26). С четырьмя двоичными разрядами можно за кодировать 16 знаков, например 16 цифр, а с тремя двоичными разрядами — всего 23 = 8 цифр. Для кодирования 10 десятичных цифр от 0 до 9 требуется поэтому не менее четырех двоичных разрядов (1 тетрада, греч. тетра —4). Десятичные цифры часто кодируются более чем с четырьмя двоичными раз рядами (битами), как, например, в коде «один из десяти». Здесь единица в нулевом разряде соответствует нулю, в первом разряде — единице, во втором разряде — двойке и т. д. Таблица 25 показывает наиболее распространенные двоично-десятичные коды.
Двоично-десятичные коды с более чем четырьмя битами на одну дека ду особенно подходят для защиты кода от ошибок считывания и помех при передаче сигналов. В коде «два из пяти» для каждой цифры всегда имеются два единичных бита и три нулевых бита. Если, например, из-за неисправно го диода возникает ошибка считывания, так что считывается три единичных бита, распознать это можно благодаря автоматической проверке кода. Коды, содержащие больше битов для кодирования, чем это необходимо, называют «избыточными». Эту избыточность используют для распознавания ошибок либо — при очень высокой избыточности — также для автоматической кор рекции ошибок.
2.5.4.Алгебра переключательных схем
Алгебра переключательных схем (булева алгебра, от Boole — английский ма тематик 1815—1864 гг.) есть математическое описание отношений междудво ичными переменными. Существует целый набор правил, объяснить которые легче всего с помощью переключающих контактов и возможного прохожде ния электрического тока (см. табл. 31).
Перечислим здесь важнейшие законы алгебры переключательных схем (табл. 32):
•законы коммутативности, ассоциативные (сочетательные) законы,
распределительные (дистрибутивные) законы,
законы отрицания (теорема Де Моргана — от De Morgan — английс кий математик 1806-1871 гг.).
Таблица 31. Правила алгебры переключательных схем
Таблица 32. Законы алгебры переключательных схем с примерами
Закон коммутативности: |
В пределах одного булева терма И и соответственно |
|
а А Ь = Ь А а |
одного булева терма ИЛИ возможна перестановка |
|
д V Ь = Ь У а |
переменных. |
|
Ассоциативный закон: |
Переменные одной функции могут объединяться |
|
а А Ь А с = |
( а А Ь ) А с |
только с использованием скобок. |
д V Ь У с = \ а у Ь ) У с |
|
|
Дистрибутивный закон: |
Соединение с выражениями в скобках дает новые |
|
a A ( b V с ) |
= (д Л b ) V (д Л с) |
выражения в скобках. |
д V ( Ь А с ) = (д V Ь) А (д V с ) |
|
|
Теорема Де Моргана: |
Отрицание терма тождественно отрицанию перемен |
|
|
|
ных, если элемент ИЛИ заменяется элементом И, и |
а Л Ь = а ч Ъ |
наоборот. |
|
о V Ь = ал!>
