книги / Теория автоматического управления. Дискретные системы

Чтобы получить модель в переменных состояния, изобразим сначала схему моделирования (рис. 6.4) системы и выход каждого элемента задержки примем за переменную состояния.

Рис. 6.4. Схема моделирования системы

По этой схеме запишем уравнения состояния:

y(k)=[0 1]x(k).

Решим эти уравнения итерационным методом, считая, что x(0)=0 и u(k)=1 для всех k. Так как x(0)=0, то y(0)=0, последовательно увеличивая k, получим

......................................................................

111

Пример 6.2 можно решить с использованием модели в Matlab, скрипт которого приводится ниже:

u=1;

A=[0 1;-2 3]; B=[0;1]; C=[0 1]; D=[0]; x=[0;0]; iter=4

for k=0:iter y(k+1)=C*x+D*u; [k y(k+1)] x1=A*x+B*u; x=x1; end

6.2.2. Операторный метод

Если u(k) задается неявно в форме Z-преобразования, можно воспользоваться операторным методом решения.

Запишем Z-преобразование для вектора состояния по теореме о сдвиге влево: Z{x(k)} = X(z),

i=1

112

Пример 6.3. Решим уравнения состояния из примера 6.2 с помощью Z-преобразования:

Обратное z-преобразование Y(z) имеет вид

y(k) = –k – 2 + 2*(2)k.

Следовательно, числовая последовательность y(k) равна 0, 1, 4, 11, 26,…, что подтверждает результат, полученный впримере 6.2.

113

6.3. Вычисление дискретной передаточной функции

Из уравнения (6.19) при нулевых начальных условиях x(0)=0 следует, что

W (z)=UY ((zz)) =C[zI–A]–1B+D. (6.22)

Знаменатель полученной передаточной функции составляет левую часть характеристического уравнения

Таким образом, передаточную функцию по уравнениям состояния можно определить двумя способами: либо с помощью матричной процедуры, либо с помощью формулы Мейсона, применив ее к графу, соответствующему уравнениям состояния.

Априорное требование к дискретной передаточной функции W(z) состоит в том, что она должна быть физически реализуема. Условие физической реализуемости произвольной линейной системы предполагает, что выходной сигнал системы не может возникнуть прежде, чем будет приложен входной сигнал. Для физической реализуемости цифровой системы при разложении W(z) в степенной ряд в нем не должно содержаться членов с положительным показателем степени. Поэтому, чтобы W(z) представляла собой физически реализуемую передаточную функцию, наивысший показатель степени знаменателя должен быть равным соответствующему показателю степени числителя или превосходить его.

Реализация дискретной передаточной функции на ЭВМ может осуществляться тремя различными способами: непосредственной, последовательной или параллельной декомпозицией.

Пример 6.4. Определим передаточную функцию по уравнениям состояния. Рассмотрим систему, которая описывается уравнениями состояния:

114

y(k)=[0 1]x(k).

Матрица [zI–A]–1 была получена в примере 6.3:

Тогда на основании (6.22) с учетом, что D = 0, определим передаточную функцию системы:

Как видим, этот результат совпадает с передаточной функцией из примера 6.2. Его можно проверить с помощью скрипта про-

граммы Matlab:

A=[0 1;–2 3]; B=[0;1]; C=[0 1]; [Wnum,Wden]=ss2tf(A,B,C,0)

6.4. Вычисление импульсной переходной функции

Объединим уравнения (6.14) и (6.16), положив x(0)=0:

i=1

115

Пусть входной сигнал имеет вид

1, k = 0, u(k) =

0, k > 0,

тогда импульсная переходная функция определяется рекуррентной формулой

g(0) = d,

Отсюда можно получить соотношение, связывающее импульсную переходную и z-передаточную функции

6.5. Управляемость дискретных систем

Линейный динамический объект называют управляемым, если существует реализуемая последовательность управляющих воздействий u(k), позволяющая перевести объект из произвольного начального состояния x(0) в любое конечное состояние x(n) на ограниченном интервале времени, равном n тактов квантования.

Понятно, что если некоторая переменная состояния не зависит от управления u(t), то отсутствует возможность требуемого изменения этой переменной с помощью произвольного управляющего воздействия за конечное время.

Воспользуемся уравнением (6.16)

При n = m неизвестный вектор входа определяется по выражениям

116

если

Матрица Q называется матрицей управляемости. Она не должна иметь линейно зависимых столбцов (строк). Следовательно, объект управляем, если выполняется условие

где m – порядок матрицы A.

Если n<m, решения относительно вектора u не существует, а при n>m оно становится неоднозначным.

6.6. Наблюдаемость дискретных систем

Для осуществления управления необходима информация о текущем состоянии системы, т.е. о значениях переменных состояния х в каждый момент квантования. Однако не все переменные хi могут быть в системе измерены. Измеряемыми и наблюдаемыми переменными в системе являются физические выходные переменные y, через которые должны однозначно выражаться все составляющие вектора состояния x.

Поэтому понятие наблюдаемости вводится для решения проблемы отыскания состояния системы по результатам изменения входных и выходных сигналов.

Линейный динамический объект с выходной переменной y(k) называют наблюдаемым, если существует такое конечное k, что знания входов u(0),…, u(k–1) и выходов y(0),…, y(k–1) достаточно для определения ее начального состояния.

Пусть u(k)=0. Допустим, что известны y(0), y(1),…, y(n–1). По уравнению выхода y(k)=Cx(k) и векторным разностным уравнениям (6.14), получим последовательность уравнений:

y(0)=Cx(0), y(1)=Cx(1)=CAx(0),

. . . . . . . . . . . . . . . .

y(n–1)=CAn–1x(0).

117

7. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

При проектировании как дискретных, так и непрерывных систем решаются одни и те же задачи управление процессом таким образом, чтобы они удовлетворяли заранее заданным критериям качества.

Традиционные методы синтеза в основе предполагают жестко заданные структуры, а задачей синтеза является выбор структуры корректирующих устройств и их параметров, обеспечивающих требуемое качество процессов, например, требуемое быстродействие системы или обеспечение заданной динамической точности. При этом предварительно может решаться задача определения периода квантования непрерывного сигнала исходя из условий импульсной теоремы для фильтрации транспонированных частот, выявления скрытых колебаний, реализации переходных процессов конечной длительности и т.п.

На практике используются как аналитические, так и графоаналитические методы, в числе последних широко распространены частотные методы с использованием логарифмических частотных характеристик.

7.1. Синтез с использованием частотных характеристик

Если период квантования непрерывного сигнала известен или входит в число заданных показателей качества, синтез проводится по методике, используемой для непрерывных систем. Синтез корректирующих фильтров (регуляторов) начинают с построения желаемых частотных характеристик, под которыми понимают такие, которые удовлетворяют заданным показателям качества. Из числа применяемых предпочтительным является метод логарифмических частотных характеристик с использованием билинейного преобразования.

120