книги / Теория автоматического управления. Дискретные системы

Квантование по уровню и по времени обеспечивает замену непрерывного сигнала фиксированными дискретными по уровню значениями, ближайшими к значениям f в дискретные моменты времени, следующими с периодом T0, например, как показано на рис. 1.2, в. Системы с таким видом квантования называют релейноимпульсными или цифровыми, в которых квантование по времени относит их к импульсным, а квантование по уровню – к нелинейным системам.

1.2. Структурные особенности дискретных систем автоматического управления

1.2.1.Преобразование непрерывного сигнала

вимпульсных системах

Как показано на рис. 1.1, а, непрерывный сигнал ошибки импульсной системы преобразуется квантователем в серию импульсов и в дальнейшем преобразуется фильтром в аналоговый сигнал, воздействующий на объект управления.

Процесс преобразования непрерывного сигнала в последовательность импульсов, параметры которых зависят от значений сигнала в фиксированные моменты времени, называют импульсной модуляцией. По принятой зависимости параметров импульсов (амплитуды, длительности или фазы) от значений сигнала различают:

•амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), при которой амплитуда импульсов определяется в функции значения сигнала, а ширина и период повторения импульсов неизменны;

•широтно-импульсную модуляцию (ШИМ), при которой амплитуда и период повторения импульсов постоянны, а уровню непрерывного сигнала в фиксированные моменты времени соответствует их ширина (длительность);

•время-импульсную модуляцию (ВИМ), которая подразделяется на частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ), когда изменяется

11

частота импульсов и фазоимпульсную модуляцию (ФИМ), при которой изменяется фаза импульсов при неизменных остальных их параметрах.

Примеры принципов импульсной модуляции непрерывных сигналов прямоугольными импульсами приведены на рис. 1.3. На практике могут быть использованы также треугольные и экспоненциальные импульсы. На рис. 1.3, a, б показаны длительности импульсов γT0 при АИМ, где γ – коэффициент заполнения (скважность) импульса, показывающий отношение длительности импульса с постоянной длительностью к периоду их следования. Примеры импульсной модуляции с ШИМ и ФИМ приведены соответственно на рис. 1.3, в, г, где φ и ψ являются функциями от значений переменной в момент квантования. Случай ЧИМ не показан, как практически не применяющийся в системах автоматического управления технологическими объектами, как и ФИМ, из-за сложности реализации.

Рис. 1.3. Примеры модуляции непрерывного сигнала

12

Различают два вида формирователей импульсов в дискретных системах. В импульсных системах автоматического управления (САУ) с АИМ возможно применение импульсных элементов – формирователей 1-го рода, когда модулируемый параметр импульса (например, амплитуда) остается постоянным в течение времени существования импульса (рис. 1.3, а), и формирователей импульсов 2-го рода, у которых модулируемый параметр в течение времени существования импульса изменяется в соответствии с текущим значением входного сигнала (рис. 1.3, б).

Структуру формирователя импульсов (например, фильтра на рис. 1.1, а) в дискретных системах управления можно представить состоящей из двух частей: идеального импульсного элемента, преобразующего входной сигнал в последовательность идеальных импульсов типа δ-функций, и формирователя импульса заданной конкретной формы.

Если на вход формирователя действует δ-функция, и функция u(t) является уравнением импульса на выходе, то передаточная функция формирователя (импульсного элемента)

При формировании прямоугольных импульсов высотой k и длительностью γT0 имеем

Структурная схема формирователя прямоугольных импульсов, состоящая из типовых звеньев, приведена на рис. 1.4.

Таким образом, структура импульсных систем представляется последовательным соединением идеального импульсного элемента и приведенной непрерывной части WПНЧ (p), в состав которой входят

в виде последовательного соединения непрерывная часть системы (объекта управления) и формирователь прямоугольных импульсов.

13

Рис. 1.4. Структурная схема формирователя прямоугольных импульсов

Идеальный импульсный элемент, преобразующий непрерывный сигнал в серию модулированных по амплитуде импульсов (решетчатую функцию), называют как в импульсных, так и цифровых системах управления импульсным элементом 1 рода (ИЭ1).

1.2.2. Преобразование сигналов в цифровых системах управления

Развернутая функциональная схема цифровой системы управления с микроЭВМ, соответствующая типовой структуре, приведена на рис. 1.5.

Квантование непрерывной переменной по времени в цифровых системах относит их к классу импульсных систем, и квантование по уровню делает их нелинейными. Нелинейность характеристик преобразователей значительно усложняет исследование цифровых систем. Для ступенчатых статических характеристик преобразователей тангенс угла наклона либо равен нулю, либо стремится к бесконечности, поэтому используемые методы линеаризации нелинейностей неприменимы. Линеаризация статических характеристик преобразователей возможна, если входной сигнал преобразователя изменяется в пределах, значительно больших единицы младшего разряда цифрового сигнала.

На рис. 1.6, a, б показаны статические характеристики АЦП и ЦАП, где f – аналоговый сигнал, а f0 – его цифровое представление.

14

Рис. 1.5. Функциональная схема системы управления с микроЭВМ

Ширина ступеньки δА определяется в единицах измерения преобразуемой непрерывной величины и представляет собой цену единицы младшего разряда АЦП. При изменении входной величины на δА выходная величина АЦП скачком изменяется на единицу младшего разряда.

Статическая характеристика ЦАП (см. рис. 1.6, б) имеет аналогичный характеристике АЦП вид. При этом по оси абсцисс откладывается цифровое значение переменной f0 (код), а по оси ординат – некоторая непрерывная величина f (обычно электрический сигнал).

Рис. 1.6. Статические характеристики АЦП (а) и ЦАП (б)

15

Цена единицы младшего разряда δЦ представляет собой высоту одной ступеньки и имеет размерность выходной величины ЦАП.

Числа отличных от нуля уровней одной ветви статических характеристик АЦП и ЦАПопределяется поодинаковым выражениям:

где α – число разрядовпреобразователя (без учета знакового разряда); fmax – максимальное значение входной (для АЦП) и выходной

(для ЦАП) аналоговых величин.

Число разрядов АЦП велико и обычно составляет 8–24, для ЦАП в отличие от АЦП может быть малым (вплоть до 1).

Для упрощения исследования цифровых систем статические характеристики линеаризуются, как показано на рис. 1.6 штриховыми линиями.

Статические характеристики преобразователей формируются совокупностью блоков, показанных на рис. 1.7.

Блок 1 соответствует линеаризованной части характеристики АЦП с коэффициентом передачи kA = 1/ δА. Блок 2 с пилообразной характеристикой учитывает нелинейность с наклонами «зубцов» kA. Блок 3 с единичным коэффициентом передачи определяет ограничение, существующее во всех реальных преобразователях.

Рис. 1.7. Линеаризация статических характеристик АЦП и ЦАП

Отличие характеристики ЦАП состоит в том, что коэффициент передачи принят kЦ = δЦ иблок 2 имеетвид, показанный на рис. 1.6, б.

16

PNRPU

Линеаризованные характеристики из трех блоков представляются только блоками 1 (см. рис. 1.7). При этом ошибка округления в каждом такте работы цифрового устройства лежит в пределах

±δ/2 и подчиняется равномерному закону распределения с дисперсией шума округления D = δ2/12.

Структурные схемы линеаризованных АЦП и ЦАП приведены на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Структурные схемы АЦП (а) и ЦАП (б)

На рис. 1.8, а структурная схема АЦП представлена в виде линеаризованной части с коэффициентом передачи kA=1/δA, источником шума квантования νA и идеального импульсного элемента первого рода ИЭ1, преобразующего непрерывную функцию v(t) в решетчатую v[n] (цифровой код).

Выходной преобразователь (ЦАП) представлен на рис. 1.8, б в виде идеального импульсного элемента второго рода ИЭ2, преобразующего дискретную последовательность (цифровой код) x[n] в последовательность δ-функций x*[n], являющихся суммой бесконечных по высоте и бесконечно коротких по длительности импульсов, линеаризованной части с коэффициентом передачи kЦ = δЦ, источником шума квантования νЦ. Эти импульсы аналого-цифровым преобразователем удерживаются в течение периода квантования постоянными до появления следующего уровня импульса, что соответствует функции рассмотренного в п.1.2.1 формирователя прямоугольных импульсов. Идеальный импульсный элемент 2-го рода и формирователь прямоугольных импульсов в ЦАП оказываются такими же, что и в импульсных системах.

Преобразование импульса в прямоугольный импульс в ЦАП, как и в импульсных системах, называют экстраполяцией (прогно-

17

зированием сигнала в течение очередного периода квантования), а сам формирователь прямоугольных импульсов – экстраполятором нулевого порядка. На рис. 1.9 показано преобразование решетчатой функции в аналоговый сигнал цифроаналоговым преобразователем.

Рис. 1.9. Прохождение сигнала через ЦАП

Если сигнал на выходе АЦП «усреднить», то на входе непрерывной части системы (объекта управления) сигнал окажется смещенным относительно исходного на половину периода квантования, что вносит существенную ошибку.

Эта ошибка может быть снижена в системах с относительно большим периодом квантования применением экстраполяторов первого порядка, имеющих линейный закон изменения выходного сигнала в промежутке между моментами квантования переменных.

Нелинейность цифровых систем управления, вызванная квантованием непрерывного сигнала по уровню, как уже отмечалось выше, учтена при линеаризации АЦП и ЦАП. Поэтому квантование по времени, аналогичное импульсным системам, позволяет приме-

нять одинаковый математический аппарат исследования им-

пульсных и цифровых САУ.

В дальнейшем будем рассматривать широко используемые системы с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ), описание которых возможно линейными уравнениями.

Системы с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) при малой ширине импульсов эквивалентны системам с АИМ, так как действие короткого импульса определяется его площадью за время, равное длительности периода квантования.

18

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ САУ

2.1. Решетчатая функция

Как было уже показано, в результате линеаризации цифровая система рассматривается как линейная импульсная система, а квантование по уровню учитывается введением в структуру преобразователей случайной помехи (см. рис. 1.8).

Пусть имеем аналоговый сигнал f(t), определенный при t ≥ 0, который подвержен квантованию идеальным импульсным элементом с периодом квантования Т. В результате дискретизации получаем числовую последовательность f[nT] или f[n], называемую решетчатой функцией, являющейся дискретными ординатами исходной функции для моментов времени t = iT, i = 0,1,2,3, …, n (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Представление непрерывной функции решетчатой

Математический аппарат исследования дискретных САУ основан на применении разностных уравнений систем, где аналогом производных непрерывной функции для решетчатых функций являются прямые или обратные разности.

19

Аналогом первой производной для решетчатой функции в момент времени t = iT является первая обратная разность f[i] = f[i] –

– f[i – 1] либо первая прямая разность ∆f[i] = f[i + 1] – f[i].

Прямая разность определяется в момент времени t = iT по будущему значению решетчатой функции при t = (i+1)Т. Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно или его можно вычислить. Обратная разность определяется для момента времени t = iT по предыдущему значению решетчатой функции в момент времени t = (i – 1)Т, которое известно.

Аналогом второй производной для любого момента времени (i = n) служат, например, обратные вторые разности:

2 f [n]= f [n]− f [n −1]= f [n]−2 f [n −1]+ f [n −2].

Для вычисления k-й разности используют рекуррентную формулу

k f [n]= k−1 f [n]− k−1 f [n −1],

или формулу общего вида

Ckν = ν!(kk−! ν)! .

Обратные разности обладают важной особенностью: если решетчатая функция определена только для положительных значений аргумента, т.е. f [n]≡0 при n < 0, то для любого целого положи-

тельного k в точке n = 0 k-я разность k f [0]= f [0].

Аналогами интегралов непрерывных функций в пределах от 0 до t для решетчатых функций являются неполные суммы

20