книги / Теория автоматического управления. Дискретные системы

На низких частотах формирователь импульсов по своим свойствам близок к безынерционному звену с некоторым коэффициентом усиления kиT, поэтому

Полученные соотношения показывают возможность построения частотных характеристик импульсных систем аналогично непрерывным системам.

При известных полюсах дискретная передаточная функция разомкнутой системы представляется в результате разложения на простые дроби слагаемыми вида z/(z – d) и d/(z – d), где d=eaT. Выполнив построение годографов для простейших слагаемых частотных функций построение результирующей амплитудно-фазовой частотной характеристики выполняется их графическим суммированием.

1. Пусть a = –β, тогда комплексная частотная функция будет иметь вид

(рис. 4.5), причем начало и конец годографа лежат на действитель-

ность вырождается в полупрямую, параллельную мнимой оси

иопирающуюся на действительную ось в точке (1/2).

2.Пусть а = –β ± jωi, тогда

Рис. 4.5. АФЧХ при a = –β, W(z) = z/(z – d)

Полученное выражение отличается от (4.29) тем, что вместо ω стоит ω ωi . Поэтому годографы, соответствующие (4.30), обра-

зуются из годографов окружностей, описываемых (4.29), поворотом их вокруг центра на угол ψ, при котором действительная ось проходила бы через точки ω=±ωi окружности (рис. 4.6).

Рис. 4.6. АФЧХ при а= –β ± jωi, W(z)= z/(z–d)

62

3. Комплексные частотные функции, соответствующие слагаемым суммы простых дробей вида a/(z – a) описываются как

Годографы, описываемые (4.31), строятся на плоскости из годографов, построенных по (4.29), смещением последних влево вдоль действительной оси на единицу (рис. 4.7).

Рис. 4.7. АФЧХ при a= –β, W(z)= d/(z – d)

Таким образом, непосредственное построение возможно, если известны полюсы дискретной передаточной функции.

Пример 4.1. Пусть передаточная функция разомкнутой дискретной системы с экстраполятором нулевого порядка имеет передаточную функцию, разложив которую на простые дроби найдем уравнение в форме Z-преобразования:

Перейдя к комплексным частотным функциям, получим уравнения частотных характеристик W*(jω)=W(ejωT) в виде слагаемых,

63

соответствующих рассмотренным выше вариантам значений полюсов передаточной функции.

Рассмотрим далее построение частотной характеристики дискретной разомкнутой системы по частотной характеристике ее непрерывной линейной части (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Построение АФЧХ разомкнутой дискретной системы

Из (4.16) имеем уравнение комплексной частотной функции дискретной разомкнутой системы:

Данный ряд сходится тем быстрее, чем сильнее убывает комплексный коэффициент передачи WПНЧ(jω) с ростом ω. В этом случае число слагаемых в сумме может быть принято равным двум наибольшим по модулю (для наименьших абсолютных значений частоты):

64

Wp* ( jω)= 1 {WПНЧ ( jω)+WПНЧ j(ω−ωи ) }=

Tи

(4.33)

=T1 {WПНЧ ( jω)+WПНЧ* j(ωи −ω) },

и

где WПНЧ* – сопряженное значение комплексного коэффициента на

частоте (ωи – ω).

На рис. 4.8 показано построение АФЧХ дискретной разомкнутой системы по АФЧХ приведенной непрерывной части.

4.4. Логарифмические частотные характеристики

Логарифмические частотные характеристики для непрерывных систем существенно упрощают решение задач анализа и синтеза систем. Поскольку получение комплексных частотных характеристик для дискретных систем оказывается затруднительным, как показано в предыдущем разделе, особую важность приобретает использование частотных методов их исследования с помощью логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ).

Прямое применение логарифмических масштабов в данном случае преимуществ не дает из-за наличия в передаточных функциях разомкнутых систем трансцендентного сомножителя, присущего дискретным системам. Для дискретных систем используются ЛЧХ, получаемые спомощью так называемого «билинейногопреобразования».

Введем комплексную переменную w, связанную с переменной z, и, сделав подстановку z=e jωT, получим

где tg(ωT/2)=ω* – относительная псевдочастота.

Вместо переменной ω* удобно рассматривать пропорциональную ей размерную переменную λ (абсолютную псевдочастоту):

65

круга плоскости z в левую полуплоскость плоскости w, при этом окружности единичного радиуса на плоскости z соответствует мнимая ось на плоскости w.

Рис. 4.9. Отображение единичной окружности на p-, z- и w-плоскостях

тота ω* пробегает все значения от –∞ до +∞, а комплексная переменная w движется по оси мнимых чисел от –j∞ до +j∞.

Построение частотных характеристик в функции абсолютной псевдочастоты оказывается более удобным в инженерной практике анализа и синтеза дискретных систем.

При малых углах tg ω2T ≈ ω2T λ≈ω , тогда при выполнении условия ωT <2 можно в расчетах заменить псевдочастоту действи-

66

тельной круговой частотой, что может быть использовано, в частности, при расчетах реакции ЦАС на медленно меняющиеся гармонические сигналы на входе.

Пример 4.2. Пусть непрерывная часть системы описывается уравнением интегрирующего звена WO ( p) = kp . Если импульсы формируются экстраполятором нулевого порядка с коэффициентом

строены логарифмические псевдочастотные характеристики.

Рис. 4.10. ЛПЧХ дискретной системы к примеру 4.2

67

По полученным результатам можно сделать выводы:

•в области высоких частот ЛПЧХ существенно отличаются от ЛЧХ непрерывной части;

•в области низких частот ЛПЧХ практически совпадают

сЛЧХ непрерывной части системы;

•предельный фазовый сдвиг равен –π, такая замкнутая система приближается к границе устойчивости при больших k.

Пример 4.3. Пусть в дискретной системе по примеру 4.2 объ-

ект описывается передаточной функцией WO (p)=TO pk +1. Опреде-

лим передаточную функцию разомкнутой системы в форме Z-преобразования:

где d =e−TTO .

Выполнив билинейное преобразование к полученному выражению, получим

На рис. 4.11 построены ЛПЧХ по полученной комплексной частотной функции.

68

Рис. 4.11. ЛПЧХ системы первого порядка

В приведенных ЛПЧХ примера 4.3 подтверждаются вышеперечисленные их свойства для примера 4.2.

Построение ЛПЧХ методами, рассмотренными в примерах 4.2 и 4.3, для дискретных систем с непрерывной частью высокого порядка требует разложения передаточной функции непрерывной части на простые дроби, при этом возникает часто необходимость вычисления cth. В связи с этим процедура нахождения комплексной частотной функции оказывается трудоемкой и утрачиваются основные достоинства метода – простотаинаглядность использования ЛПЧХ.

Во многих случаях построение псевдочастотных логарифмических характеристик (ЛПЧХ) можно упростить приближенным построением отдельно для областей низких и высоких частот.

Рассмотрим применение асимптотического метода, основанного на использовании условий:

1.Передаточная функция разомкнутой импульсной системы

сэкстраполятором нулевого порядка имеет вид

Wp (p)=WПНЧ (p)=Wэ (p)WНЧ (p)=

2.Частотный диапазон разделен на область низких λ ≈ ω<2/T

ивысоких частот λ > 2/T.

3.Постоянные времени Ti и Tj знаменателя WНЧ(jω) делятся на две группы:

1) группа больших постоянных времени при i =1,2,…,q′; j =1,2,…,r′;

2) группа малых постоянных времени, соответствующие сопрягающим частотам, большим частоты ω=2/T, при i =q′+1, q′+2,…,q; j =r′+1, r′+2,…,r.

4. Постоянным времени Tk числителя WНЧ(jω) соответствуют сопрягающие частоты, меньшие частоты ω=2/T.

В низкочастотной области ЛПЧХ импульсных систем практически совпадают с ЛЧХ непрерывной части, так как при малых уг-

Для цифровых систем при D(z)=1 и отсутствии запаздывания (τ = 0) низкочастотные характеристики будут отличаться от характеристик импульсных систем только масштабным сомножителем δЦ/δА.

На высоких частотах вид частотных характеристик дискретных систем в соответствии с принятыми условиями определяется по выражению

70