книги / Теория автоматического управления. Дискретные системы

Различают три типа желаемых ЛЧХ дискретных систем:

1) cистемы с астатизмом 2-го порядка типа 2-1-0 (рис. 7.1, а)

а

б

б

Рис. 7.1. Типовые желаемые ЛЧХ дискретных систем

2) системы 1-го порядка (следящие системы) типа 1-2-1-0

121

входного сигнала. Пусть на входе системы известны максимальные по модулю значения первой (скорости) и второй (ускорения) производных входного сигнала v(t). Для эквивалентного гармонического этому сигналу режима vэ(t)=vэmaxsin(ωэt), который характери-

Если ωэ<<T–1 (ωэ=λэ), то на плоскости ЛЧХ можно отметить точку Аk, определяющую «запретную зону» (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Запретные зоны для астатических (а) и статических (б) систем

Если амплитуда первой производной равна vmax′ и остается не-

изменной, то уменьшение амплитуды ее производной второго порядка в соответствии с (7.4) приведет к снижению ωэ=λэ и увеличению vэmax . При этом точка Ак будет перемещаться вдоль асимптоты

с наклоном 1 влево, причем, если vmax′′ устремить к нулю, то λэ →0. Это соответствует режиму с постоянной скоростью v′=vmax′′ , и тогда имеем

v′′

emax = max , (7.5)

Kv

где Kv – добротность по скорости.

123

Если рассмотреть режим, когда амплитуда второй производной гармоники равна максимальному значению vmax′′ и амплитуда первой производной ниже заданного значения vmax′ , то аналогич-

ными предыдущему случаю рассуждениями можно установить, что точка Аk будет перемещаться в область более высоких частот, двигаясь по асимптоте с наклоном 2. Тогда этот режим соответствует режиму с постоянным ускорением, для которого имеем

v′′

emax = max , (7.6)

Kε

где Kε – добротность системы по ускорению.

Определим «запретную зону» для статических систем аналогично построению ее для астатических. Координаты точки Аk определим также аналогично при эквивалентном гармоническом сигнале на входе, при этом эквивалентная круговая частота должна быть выбрана из условия ωэvmax =vmax′ . Тогда координаты точки Аk будут,

как показано на рис. 7.2, б:

наоборот, точка Аk будет двигаться по асимптоте с наклоном 1 до тех пор, пока vэ′′<vmax′′ , т.е. пока выполняется условие ωэvэ′max ≤vmax′′ .

v′′

Отсюда находим абсциссу точки Аk на асимптоте 1 ω = max . Да-

э2 vmax′

лее наступает режим с постоянным ускорением в соответствии с (7.4), и точка Аk движется до оси частот.

124

7.1.2. Построение желаемых ЛЧХ с заданным запасом устойчивости

Для синтеза дискретных систем удобно применение частотных методов оценки запасов устойчивости, при этом пользуются показателем колебательности систем в замкнутом состоянии, значения которого могут быть установленными в пределах 1,3–1,7. Связь запасов устойчивости с колебательностью может оцениваться с использованием любых частотных характеристик, например, W(ejωТ), W(jλ). Условием соблюдения требуемых запасов устойчивости, как известно, является запрет на вхождение частотных характеристик внутрь М-окружностей (линий равных значений колебательности), как показано на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Желаемые ЛПЧХ с требуемыми запасами устойчивости

Методика применения подробно рассмотрена применительно к непрерывным линейным и нелинейным системам.

При построении желаемых логарифмических псевдочастотных амплитудных характеристик используются расчетные формулы их параметров, обозначенных в соответствии с рис. 7.1–7.3 и связанных с показателем колебательности для «симметричных» типовых характеристик:

• при ν = 2 (см. рис. 7.1, а, 7.2, а, 7.3)

125

7.2. Синтез регуляторов дискретных систем

При проектировании дискретных систем автоматического управления имеется множество структурных решений задачи, в том числе традиционных.

На рис. 7.4 приведены типовые структурные схемы включения регуляторов в дискретных системах.

а

б

Рис. 7.4. Структурные схемы скорректированных дискретных систем (см. также с. 127)

126

в

г

Рис. 7.4. Окончание

Вдискретных системах применяются как аналоговые, так и цифровые регуляторы, в виде последовательного соединения в прямой цепи (рис. 7.4, а, б) или в виде внутренних обратных связей

(рис. 7.4, в, г).

7.2.1.Синтез аналогового регулятора в прямой цепи

Всоответствии с (4.16) запишем импульсную передаточную функцию системы как комплексную частотную функцию разомкнутой системы:

Поскольку в большинстве систем управления регулятор имеет

низких частотах приблизительно равно единице, то выражение (7.11) можно аппроксимировать только первым членом ряда (r=0). Это означает, что экстраполятор нулевого порядка заменяется звеном чистого запаздывания, равным половине периода квантования, как было показано на рис.1.9. Таким образом, получаем эквивалентную непрерывную систему с передаточной функцией в разомкнутом состоянии:

По желаемой передаточной функции, обеспечивающей дискретной системе требуемые показатели качества, с учетом (7.12) определяется структура и параметры непрерывного регулятора.

Следует учитывать в данном методе, что аппроксимировать экстраполятор нулевого порядка звеном запаздывания, т.е. первым членом ряда в (7.11) допустимо только при малых периодах квантования.

7.2.2. Синтез цифрового регулятора в прямой цепи

Рассмотрим синтез цифрового регулятора с заданным запасом устойчивости на примере билинейного преобразования частотных характеристик.

Пример 7.1. Определить структуру цифрового регулятора систе-

K=100 c–1, T1=0,1 c, период квантования сигнала T=0,01 c. Запаздывание в регуляторе и ошибку от квантования по уровню не учитывать. Показатель колебательности в системе не должен превышать 1,5.

128

Передаточная функция разомкнутой исходной системы в фор-

На рис. 7.5 приведен переходный процесс исходной замкнутой системы, показатели качества которой оказываются неудовлетворительными.

Рис. 7.5. Переходная характеристика исходной системы

129

Выполним синтез цифрового фильтра с помощью билинейно-

го преобразования. Используя подстановку z = 11+− ww в передаточ-

Построение желаемой ЛАПЧХ проводим из условия, что передаточный коэффициент разомкнутой системы (добротность по скорости) и постоянная времени объекта управления неизменны. Это означает, что ордината Ak «запретной зоны» (см. рис. 7.2, а) известна и равна L(ω1), с контрольной частотой, равной сопрягающей

λср = 54,5 c−1.

Верхняя граница среднечастотного диапазона определяется из условия «симметричности» желаемой псевдочастотной ампли-

130