книги / Организация и математическое планирование эксперимента.-1

В зависимости от вида оператора математические модели делят на простые и сложные. Если оператор модели является алгебраическим выражением, отражающим функциональную зависимость входных параметров от выходных, то модель называют простой. Многие законы физики – простые модели (законы всемирного тяготения, Ома, Гука и др.). Модели, включающие системы дифференциальных и интегральных соотношений, чаще всего относят к сложным. Но в двух случаях они могут быть сведены к простым:

–если система математических соотношений может быть решена аналитически;

–если результаты вычислений аппроксимированы некоторой алгебраической зависимостью (например, методом наименьших квадратов).

Классификация в зависимости от параметров модели, описывающих состояние и поведение объекта моделирования, разбивается на ряд непересекающихся подмножеств:

–совокупностьвходных(управляемых)воздействийнаобъект;

–совокупностьвоздействийвнешнейсреды(неуправляемых);

–совокупностьвнутренних(собственных)параметровобъекта;

–совокупность выходных характеристик.

Входные параметры, описывающие воздействие внешней среды, и внутренние (собственные) характеристики объекта относят к независимым (экзогенным) величинам. В зависимости от вида используемых множеств параметры моделей делят на каче-

ственные и количественные, дискретные и непрерывные, а также смешанные.

При построении моделей часто приходится иметь дело с недостатком информации. Описание неопределенности параметров может быть осуществлено следующими способами:

1) детерминированное – каждому параметру соответствует конкретное число или соответствующая функция, данный способ соответствует полной определенности параметров;

11

2)стохастическое – значение параметров модели определяют случайные величины, наиболее полно исследовано нормальное (гауссово) и показательное распределение случайных величин;

3)случайное – значения параметров модели устанавливают случайные величины, полученные обработкой ограниченной экспериментальной выборки;

4)интервальное – значения параметров модели задают воображаемымминимальнымимаксимальнымзначениямипараметра;

5)нечеткое – параметры модели описывают функции, принадлежащие нечеткому множеству, т.е. информация задается на неестественном с позиций математики языке (около нуля, много больше пяти и т.д.).

Процессы, для которых состояние объекта в каждой точке пространства не зависит от времени, называют стационарными, для моделирования таких процессов время может быть исключено из числа независимых переменных. Если одним из независимых параметров должно быть время, то модель должна быть нестационарной. Например, жидкость вытекает из сосуда, при условии постоянства объема жидкости в сосуде давление в трубе будет постоянным – стационарный процесс, а если объем жидкости в сосуде изменяется, то давление в трубе также непостоянно и описывать его будет нестационарная модель.

Взависимостиотцелеймоделированиямоделиподразделяют:

– на дескриптивные (описательные), цель – построение законов изменения параметров модели; дескриптивные модели описывают зависимость выходных величин от входных параметров;

– оптимизационные модели предназначены для определения наилучших параметров моделируемого объекта или оптимального режима управления процессом. К ним относятся управленческие модели, применяемые для принятия эффективных управленческих решений.

В зависимости от методов исследования модели подразде-

ляют на аналитические и алгоритмические (рис. 1.3). Исследо-

вательские модели называют аналитическими, если они позво-

12

ляют получить выходные величины в виде аналитических (выражений с конечным (счетным) числом арифметических операций и переходов) или приближенных (количество членов арифметических операций и аналитических выражений ограничено конечным числом) выражений.

Рис. 1.3. Методы исследования моделей

В большинстве случаев при построении моделей используют алгоритмические подходы, позволяющие получать лишь приближенные значения исходных параметров. При численном подходе совокупность математических соотношений заменяют конечномерным аналогом, т.е. переходят от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента, а затем за конечное число шагов получают решение дискретной задачи, которое принимают за приближенное решение исходной задачи. Если при численном подходе дискретизации подвергается система математических соотношений, то при имитационном на отдельные элементы разбивают сам объект исследований.

Использование математических моделей позволяет заменить реальный эксперимент на вычислительный.

1.2. Этапы построения математических моделей

Отличительной особенностью математических моделей, создаваемых в настоящее время, является их комплексность, связанная со сложностью моделируемых объектов.

Совокупность правил построения математических моде-

лей называют технологией создания математических моделей.

13

ветствующих параметров, позволяющих описывать моделируемый объект;

–сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах, проведение дополнительных экспериментов при необходимости;

–аналитический обзор литературных источников, сравнение построенных ранее моделей данного объекта;

–анализ и обобщение накопленного материала, разработка плана создания математической модели.

Содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов формулируются в виде технического задания на проектирование и разработку модели. Техническое задание – это итоговый документ, заканчивающий этап обследования.

Концептуальная постановка задачи моделирования – это сформулированный в терминах конкретных дисциплин перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотезотносительносвойствиповеденияобъектамоделирования.

На основании принятых гипотез определятся множество параметров, описывающих состояние объекта, а также перечень законов, управляющих изменением и взаимосвязью этих параметров.

Законченная концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования.

Математическая постановка задачи моделирования – это сово-

купность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования. Математическая модель является корректной, если для нее выполняются все контрольные проверки: размерности, порядка, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла

иматематической замкнутости.

Выбор и обоснование выбора метода решения задачи –

аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но они применимы лишь для относительно простых задач. Приближенные и численные методы исследования относятся к современному разделу математики – вычислитель-

15

ной математике. Общим для численных методов является сведение математической задачи к конечномерной.

Затем следуют этапы реализации математической модели в виде программы для ЭВМ и проверка адекватности модели.

Под адекватностью математической модели понимают степень соответствия результатов, полученных по разработанной модели, данным эксперимента или тестовой задачи.

Проверка адекватности моделей преследует две цели:

–убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулированных на этапах концептуальной и математической постановок;

–убедиться, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.

Решение об изменении принятой системы гипотез должно быть всесторонне взвешено. Его принимают только в том случае, когда исчерпаны все прочие возможности по улучшению адекватности модели.

1.4. Практическое использование построенной модели и анализ результатов моделирования

Модели, разрабатываемые для исследовательских целей, как правило, не доводят до уровня программных комплексов, предназначенных для передачи сторонним пользователям. Независимо от применения разработанной модели разработчики обязаны провести качественный и количественный анализ результатов моделирования. Основные цели такого анализа следующие:

–модификация рассматриваемого объекта, нахождение его оптимальных характеристик;

–обозначение области применения модели;

–проверка обоснованности гипотез, принятых на этапе математической постановки задачи, оценка возможности упрощения модели и повышения ее эффективности;

–обозначение направления развития модели в дальнейшем.

16

Глава 2. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ЭКСПЕРИМЕНТА

Под случайной величиной понимают величину, принимающую в результате эксперимента значение, которое принципиально нельзя предсказать исходя из условий опыта. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Возможные значения дискретной случайной величины можно заранее перечислить, значения непрерывной случайной величины не могут быть заранее перечислены, они непрерывно заполняют некоторый промежуток. Для характеристики случайной величины необходимо знать, какие значения принимает случайная величина и как часто.

Частота появления события X xi равна отношению

числа опытов mi, в результате которых случайная величина Х приняла значение хi, к общему числу проведенных опытов n. Частота mi/n сама является случайной величиной и меняется в зависимости от количества проведенных опытов, но при большом числе опытов она стабилизируется около вероятности со-

бытия pi P X xi mni .

Теория вероятностей содержит следующие основные аксиомы:

1.Вероятность появления случайного события Р (А) ≥ 0.

2.Вероятность достоверного события U равна единице:

P U 1,

а вероятность невозможного события V – нулю:

P V 0.

3. Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Вероятность того, что

17

наступит хотя бы одно из нескольких несовместных событий (А1 + А2 + А3 + … + Аn), равна сумме вероятностей этих событий:

Р А1 А2 Аn Р А1 Р А2 Р Аn .

Произведением нескольких событий (А1А2 ... Аn ) назы-

вается событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Если события независимые, то вероятность произведения равна произведению вероятностей этих событий:

Р А1А2 ... Аn Р А1 Р А2 Р Аn .

Событие А называют зависимым от событияБ, если вероятность события А зависит от того, произошло событие Б или нет.

Для зависимых событий вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое произошло:

РАБ Р А Р Б ,

А

где Р АБ – вероятность совместного появления двух событий;

вероятность события Б, вычисленная в предположении, что событие А произошло.

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими их вероятностями, называют законом распределения.

Для непрерывной случайной величины изучают вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадает в некоторый интервал.

Удобно пользоваться вероятностью события Х < х, где х – произвольное действительное число, а Х – случайная величина. Эта вероятность является функцией от х:

18

Р(Х х) F х ,

ее называют функцией распределения случайной величины. Для непрерывной случайной величины наиболее часто

употребляется производная функции распределения – плотность распределения. Если F (х) непрерывна и дифференцируема, то

f x dFdxx .

Знание плотности распределения полностью определяет случайную величину.

Равномерным распределением называют распределение,

для которого плотность вероятности постоянна в определенных пределах и равна нулю вне этих пределов.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид

где mx – математическое ожидание (для нормального распределения mx равно среднему значению); σx2 – дисперсия случайной величины Х; σx – среднее квадратичное отклонение.

Функция распределения

Нормальное распределение чаще других встречается на практике и разработано наиболее полно. У множества событий, происходящих случайно, вследствие воздействия на них большого числа независимых или слабо зависимых возмущений за-

19

кон распределения близок к нормальному. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или

кривой Гаусса.

Между случайными величинами обычно существует стохастическая связь, при которой изменение одной величины меняет распределение другой. Отличие такой связи от функциональной состоит в том, что нельзя указать точное значение одной величины при изменении другой, а возможно лишь указать тенденцию изменения.

2.1.Определениепараметровфункциираспределения

На практике исследователь располагает ограниченным числом значений случайной величины – некоторой выборкой из генеральной совокупности. Под генеральной совокупностью понимают все допустимые значения случайной величины. Выборка репрезентативна (представительна), если она дает достаточное представление об особенностях генеральной совокупности. Гарантией репрезентативности может служить случайный отбор, в некоторых случаях случайный отбор или случайное перемешивание (рандомизация) данных необходимы.

Из случайного характера выборок вытекает, что само суждение о генеральной совокупности по выборке случайно. Функцию распределения Fn (x), получаемую по выборке, называют эм-

пирической или выборочной функцией распределения. При доста-

точно большой выборке функцию распределения генеральной совокупности можно заменить выборочной функцией распределения. По выборке могут быть вычислены статистические характеристики (выборочное среднее, дисперсия и др.), которые являются оценками генеральных параметров. К этим оценкам предъ-

являют требования состоятельности и несмещенности. Оценку называют состоятельной, если при увеличении объема выборки она стремится к оцениваемому параметру. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом

20