книги / Организация и математическое планирование эксперимента.-1

щей наибольшему значению у, и находят новое направление движения по поверхности отклика. Шаговый процесс продолжается до достижения области, близкой к экстремуму, или «почти стационарной области». Величина шага пропорциональна произведению bj на интервал варьирования bj zj, где zj – интервал варьирования.

Инвариантным к изменению интервала варьирования остается только знак составляющих градиента. Интервал варьирования должен быть не менее чем в 3–4 раза больше ошибки воспроизводимости, но линейное приближение поверхности отклика адекватно только при небольших интервалах варьирования. Ввиду этого обработка результатов эксперимента должна быть сопряжена со строгим статистическим анализом полученных результатов.

71

Глава 6. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ С ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ ВЫХОДА

Обычно параметры у1 и у2 заменяют одним параметром оптимизации у = у1 + у2. Этот прием не всегда приводит к желательному результату. Так, при большой разнице масштабов параметров у1 и у2 метод крутого восхождения с увеличением значения у может привести к уменьшению значения уi.

6.1. Применение метода квазикрутого восхождения для оптимизации процесса с двумя параметрами выхода

Методология подхода основана на методе крутого восхожде- нияБокса–Уилсона.Оптимизациюпроводятследующимобразом.

1.В факторном пространстве Χ = Х (х1, х2, …, хk) выбирают минимальное число точек, образующих матрицу независимых переменных ортогонального плана.

2.Каждую поверхность отклика в окрестности центра эксперимента Е аппроксимируют плоскостью. Поверхности откли-

ка – функции у1 = f1 (х1, х2, …, хn) и у2 = f2 (х1, х2, …, хn) (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Схема оптимизации процесса с двумя параметрами выхода

72

3. Экспериментально определяют коэффициенты регрессии bj (i), которые интерпретируют как координаты вектора –

градиента ei b1i ,b2i , ,bki соответствующей поверхности от-

где vi – неопределенные положительные коэффициенты. При этом aj = v1bj (1) + v2bj (2), j = 1, 2, …, n. Обозначение (1) относится

к первому вектору, а (2) – ко второму.

Для возрастания параметров у1 и у2 в направлении z необходимо и достаточно, чтобы z образовывал острый угол с векторами e1 и e2. Откуда следует, что скалярные произведения

( z , ei ) положительны:

v1 e1e1 v2 e2e1 0; v1 e1e2 v2 e2e2 0;

n

eiek bijbkj i, k 1,2 . j 1

Решение поставленной задачи сводится к исследованию и решению системы приведенных выше неравенств. Возможны следующие варианты:

1. Если e2e1 0, то при любых положительных v1 и v2 z v1e1 v2e2 . Подобрав наиболее удобные для исследования

значения v1 и v2 (обычно v1 = v2 = ½), рассчитывают мысленные эксперименты, в которых факторы хj изменяют пропорционально координатам v1b1j v2b2j вектора z . Часть мысленных опытов

реализуют. Если с некоторого момента реализация опытов не дает увеличения хотя бы одного параметра, то ставят новую се-

73

рию опытов и совершают новое квазикрутое восхождение, иногда изменяют v1 и v2.

2. Если 0 e1e2 e1e2, то из системы неравенств полу-

направлений z u v возрастания параметров у1 и у2 (при α,

β> 0), которое определяет направление квазикрутого восхождения.

3.Если e1e2 e1e2 , то система неравенств не имеет ре-

шений. Это означает, что векторы e1 и e1 направлены в разные

стороны. Квазикрутое восхождение закончено. Направление дальнейшего поиска выбирают в зависимости от важности того или иного фактора.

6.2. Пример оптимизации состава стали

Использование методов математического планирования позволяет значительно сократить время эксперимента при разработке материала в тех случаях, когда закономерности формирования структуры и свойств изучены недостаточно. Для оптимизации состава стали по двум параметрам: пределу прочности и трещи-

74

ностойкости – применяли метод квазикрутого восхождения, который позволяет получить увеличение параметров при применении метода Бокса – Уилсона. Обычно применяемые методы оптимизации имеют два основных недостатка.

Во-первых, в качестве параметра оптимизации выбирали величину, которая была суммой или произведением двух параметров, что не всегда приводит к желаемому результату. Другим недостатком является отсутствие учета критериев механики разрушения (табл. 6.1).

Таблица 6.1 Влияние размеров образцов на вязкость разрушения сталей

Исходя из соображений экономической целесообразности и опыта разработок сталей содержание элементов на первом этапе эксперимента изменяли в следующих пределах:

Ni = 1,5 ± 0,5 %; Cr = 2,5 ± 0,5 %; Mo = 0,375 ± 0,125 %.

Втабл. 6.2 приведены химический состав, матрица планирования и средние значения механических свойств низколегированных порошковых сталей. Образцы испытаны после нормализации t = 950 °С (выдержка 1 ч) и отпуска при t = 650 °С 4 ч.

Вфакторном пространстве X (X1, …, Xi) находили вектор z,

начало которого совпадает с точкой Е, в направлении возрастания значений параметров оптимизации у1 и у2. Каждая поверхность отклика у1 = f (x1, …, xn), у2 = f (x1, …, xn) в окрестности центра эксперимента E аппроксимирована гиперплоскостью (рис. 6.2).

75

Таблица 6.2

Химический состав и механические свойства сталей, исследованных на первом этапе эксперимента

Примечание: содержание углерода в исследуемых сталях составило 0,4 %.

Рис. 6.2. Крутое восхождение: - - - - линии уровня у1;

–––––– линии уровня у2; ABC – область допустимых значений х1, х2, …, хn

Коэффициенты регрессии определяли из выражения

bi N xiu yu ,i 0,1,2, , k,

u 1

где i – номер фактора; u – номер опыта; N – количество опытов, которые интерпретировали как координаты вектор-градиента соответствующей поверхности отклика уi, где i = 1, 2.

76

Для предела прочности получены следующие значения коэффициентов:

b0 = 467; b1 = –66,5; b2 = –64,5; b3 = 24.

Для KIC

b0 = 16,3; b1 = –0,75; b2 = 2,3; b3 = 4,25.

Отсюда вектор-градиенты выглядят следующим образом:

еi = (b0i, b1i, …, bni), i = 1, 2,

где b0, b1, …, bn – коэффициенты регрессии;

е1 = (467; –66,5; 64,5; 24); е2 = (16,3; –0,75; 2,3; 4,25).

Вектор z a1, a2, an искали в виде

z v1e1 v2e2,

где νi – неопределенные коэффициенты.

aj = ν1bj1 + ν2bj2,

где j = 0, 1, …., n.

Для возрастания параметров у1 и у2 в направлении вектора z необходимо и достаточно, чтобы z образовывал острый угол с векторами e1 и e2. Откуда следует, что скалярные произ-

ведения ( z , ei ) положительны:

v1 e1e1 v2 e2e1 0;

v1 e1e2 v2 e2e2 0;

n

eiek bijbkj i, k 1,2 . j 1

Возможно только три варианта:

1) если e2e1 0, то при любых положительных v1 и v2 z v1e1 v2e2;

77

Эти неравенства определяют в факторном пространстве векторы

u e1e2e1 e12e2 и v e22e1 e22 e1e2 ;

β> 0),котороеопределяетнаправлениеквазикрутоговосхождения;

3)если e1e2 e1e2, то система неравенств не имеет ре-

шений. Это означает что векторы e1 и e1 направлены в разные

стороны.

В рассматриваемом случае

n

eiek bijbkj 467 16,3 66,5 0,55 64,5 2,3

j 1

24 4,25 7915,4 0,

что соответствует п. 1. Координаты вектора z:

a1 467v1 16,3v2; a2 66,5v1 0,75v2; a3 64,5v1 2,3v2; a4 24v1 4,25v2.

Принимаемν1 =ν2 =½.Отсюда z 241,65; 33,625;33,4;14,125 .

Двигаясь по вектору z , вышли на новую область при постоянной концентрации молибдена, так как увеличение содержа-

78

ния молибдена более 0,5 % значительно увеличивает стоимость стали и понижает характеристики пластичности и вязкости.

В связи с ограниченным масштабом эксперимента следующий этап восхождения был выполнен в смежной области. Содержание элементов варьировали в следующих пределах: Ni = 0,5 ± 0,5 %; Cr = 4 ± 1 % при постоянной концентрации молибдена 0,5 %. Состав сталей и результаты испытаний приведены в табл. 6.3.

Таблица 6.3 Механические свойства сталей, исследованных

на втором этапе эксперимента

Поскольку области смыкаются, построена общая регрессионная модель. Для ускорения эксперимента проверка модели осуществлена только по пределу прочности:

b4 = –1 310 200; b5 = –555 000; СNi и СCr – концентрация соот-

ветствующих элементов.

Исследовав полученные функции на наличие строго локального экстремума и решив системы уравнений, нашли концентрации элементов, соответствующие наибольшему значе-

нию σВ: СCr = 3,9 %; СNi = 0,71 %.

Экспериментальная проверка не подтвердила в указанной точке наличия наиболее высоких механических свойств (см. табл. 6.3). Это объясняется тем, что стали c расчетным мак-

симумом свойств (4,0 % Cr; 0,7 % Ni; 0,5 % Mo; 0,5 % C) соответ-

79

ствует высокий уровень концентрационной, а значит, и структурной неоднородности (табл. 6.4, рис. 6.3).

Таблица 6.4

Концентрационная неоднородность хромникельмолибденовых сталей

Рис. 6.3. Структура стали (4,0 % Cr; 0,7 % Ni; 0,5 % Mo; 0,5 % C) расчетного состава, 200

Новая регрессионная модель была построена с учетом со-

става, содержащего 4 % Cr; 0,7 % Ni; 0,5 % Mo; 0,5 % C. Адек-

ватность модели проверяли по критерию Фишера, а ранжировку

80