книги / Организация и математическое планирование эксперимента.-1

3.3. Планирование эксперимента при дисперсионном анализе

Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Принципы построения математических моделей

Рассмотрим основные принципы моделирования, отражающие опыт, накопленный к настоящему времени:

1.Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. При наличии полной информации о системе

еемоделирование лишено смысла. Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена ее адекватная модель.

2.Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна

обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное время.

3.Принцип множественности моделей. Данный принцип является ключевым. Речь идет о том, что создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы (или явления), которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно, при использовании любой конкретной модели познаются лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый процесс.

4.Принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы. Кроме того, принцип агрегирования позволяет дос-

51

таточно гибко перестраивать модель в зависимости от задачи исследования.

5. Принцип параметризации. В ряде случаев моделируе-

мая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным. Такие подсистемы можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы).

Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако надо иметь в виду, что параметризация снижает адекватность модели.

Степень реализации перечисленных принципов и каждой конкретной модели может быть различной, причем это зависит не только от желания разработчика, но и от соблюдения им технологии моделирования. А любая технология предполагает наличие определенной последовательности действий.

Общая схема может быть сформулирована следующим образом: это определение (расчет) значений выбранного показателя эффективности (ПЭ) для различных стратегий проведения операции (или вариантов реализации проектируемой системы). При использовании критерия оптимальности модель должна позволять непосредственно определять параметры исследуемого объекта, дающие экстремальное значение ПЭ.

В литературе часто к принципам планирования эксперимента относят: невырожденность, оптимальность и практичность.

Оптимальность – наилучшее по определенным критериям. Принципы оптимальности планов могут формулироваться по-разному. Фактически в них в строгой математической форме представлены, формализованы те или иные интуитивные соображения специалистов-экспериментаторов о «хорошем», качественном эксперименте. При этом общая направленность тео-

52

рии планирования: «меньше опытов – больше информации, вы-

ше качество результатов», сохраняется конкретная форма критерия, которая зависит прежде всего от типа решаемой задачи, назначения плана, хотя даже в рамках одного типа задач могут быть предложены различные критерии.

Опорный план задачи может иметь (m + n – 1) отличных от нуля неизвестных. В этом случае план является невырожденным. Если отличных от нуля неизвестных меньше, чем (m + n – 1), то такойпланвырожденный,гдеm – числострок,n –числостолбцов.

Оптимальное планирование

1.В решении задач подготовки оптимальных, т.е. наилучших по определенным критериям, планов могут использоваться методы математического программирования. Задачи математи-

ческого программирования состоят в отыскании максимума или минимума некоторой функции при наличии ограничений на пере-

менные – элементы решения. Известно большое количество типовых задач математического программирования, для решения которых разработаны эффективные методы, алгоритмы и программы для компьютеров, совокупность средств и методов, позволяющих выбрать из множества возможных наиболее эффективный вариант плана развития.

2.Правило: количество базисных (заполненных) клеток

впервоначальном плане всегда должно быть равно m + n – 1 (невырожденность).

3.Многофакторный эксперимент – мощное средство современной науки. К его достоинствам относят эффективность использования времени и средств (ведь проведение ряда экспериментов с отдельными, но факторными модификациями требует значительных затрат), что выражается прежде всего в сокращении числа опытов, необходимых для решения исследовательской задачи; значительную информативность эксперимента (так как получаемый результат показывает удельный вес каждого фактора в их совокупном действии).

53

4. Практичность, полезность, эффективность научного знания считаются производными от его истинности. Научный работник – это профессионал, который руководствуется в своей деятельности принципом «истинность-ложность».

Практичность – этот критерий отражает, насколько представленная реализация плана удобна и способна к развитию. Удельный вес каждого фактора называют информативностью.

Выделяют следующие этапы:

–сбор и анализ существующей ранее информации;

–выбор входных и выходных переменных, области экспериментирования;

–выбор математической модели, с помощью которой будут представлены экспериментальные данные;

–выбор критерия оптимальности и плана эксперимента;

–определение метода анализа данных;

–проведение эксперимента;

–проверка статистических предпосылок для полученных экспериментальных данных;

–обработка результатов;

–интерпретация и рекомендации.

Входные переменные (факторы) определяют состояние объекта. Выходные переменные – это реакции (отклики) на воздействие входных переменных.

Если вид функции неизвестен, то ее представляют в виде разложения в степенные ряды. Полиномиальные модели оказались особенно эффективными при решении экспериментальных задач. При определенных условиях разложение в многочлен возможно для всех непрерывных функций. Оценки коэффициентов многочленов осуществляют с помощью метода наименьших квадратов. Чтобы убедиться в приемлемости оценок, нужно провести статистический анализ, задача которого оценить параметры генеральной совокупности по данным выборки. При статистическом анализе проверяют значимость коэффициентов регрессии и адекватность модели. Под адекватностью понимают

54

соответствие модели экспериментальным данным по выбранному критерию.

Планированию эксперимента предшествует этап неформализованных решений о выборе области экспериментирования, центра эксперимента и интервалов варьирования факторов.

Пусть в эксперименте изменяются два фактора на двух уровнях: х1 – температура и х2 – время реакции. Для температуры основным уровнем является 50 С, а интервал варьирования 10 С. Тогда верхний уровень составляет 60 С, а нижний – 40 С. В кодированных значениях это запишем следующим образом: (60 – 50)/10 = 1 и (40 – 50)/10 = –1. Если для х2 выбраны х2 = 30 мин и I2 = 5 мин, то (35 – 30)/5 = 1 и (25 – 30)/5 = –1.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). Для двух уровней это будет ПФЭ типа 2k,

адля n уровней – ПФЭ типа nk.

Втабл. 3.2 представлен пример матрицы планирования для ПФЭ типа 22.

Таблица 3.2

Матрица планирования для ПФЭ типа 22

ПФЭ типа 2k обладает следующими свойствами:

1. Симметричность относительно центра эксперимента. Это означает равенство нулю алгебраических сумм элементов вектор-столбца для каждого фактора, т.е.

N

xij 0, i 1

гдеi –номеропыта(i =1,2,…,N);j –номерфактора(j =1,2,…,k).

55

2. Условие нормировки: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, т.е.

Это следствие того, что значения факторов в матрице задают в кодированном виде как +1 и –1.

3. Сумма почленных произведений любых двух векторстолбцов равна нулю:

Это свойство называют ортогональностью матриц планов типа 2k.

Кроме того, матрицы планов типа 2k удовлетворяют критериям оптимальности, т.е. дают возможность планировать эксперимент с наибольшей эффективностью.

ПФЭ позволяет количественно оценить все линейные эффекты факторов и их взаимодействия. Для ПФЭ 22 матрица планирования выглядит так, как показано в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Полная матрица планирования для ПФЭ типа 22

Этот план соответствует модели

y b0x0 b1x1 b2x2 b12x1x2.

Чтобы найти число всех возможных взаимодействий некоторого порядка, используют формулу для числа сочетаний

56

где k – число факторов; m – число взаимодействующих элементов. Для плана 24 число парных взаимодействий равно шести:

C42 2! 44! 2 ! 6.

Ортогональность матриц планирования позволяет при обработке данных с помощью метода наименьших квадратов получить независимые оценки коэффициентов уравнений регрессии. Формула для расчета коэффициентов выглядит следующим образом:

Для определения коэффициентов используют соответствующие вектор-столбцы. Если эксперимент поставлен случайным образом, то оценки коэффициентов окажутся коррелированными, что усложнит интерпретацию.

Сформулированные условия относятся только к модели, включающей линейные эффекты и эффекты взаимодействия. Из ПФЭ нельзя извлечь информацию о квадратичных членах и членах более высокого порядка. Число членов можно значительно сократить, если воспользоваться дробным факторным экспериментом (ДФЭ), например по схеме латинского квадрата:

Латинский квадрат n n – это квадратная таблица, составленная из n элементов таким образом, что каждый элемент повторяется в каждой строке и в каждом столбце только один раз.

57

Стандартными, или каноническими латинскими квадратами

называют такие квадраты, у которых первая строка и первый столбец построены в алфавитном порядке.

Обратимся вновь к ПФЭ 22. Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента: b0, b1, b2, b12. При линейном приближении b12 → 0 и вектор-столбец x1x2 можно использовать для введения в план нового фактора x3. При этом линейные оценки смешиваются с оценками взаимодействия следующим образом:

b1 1 23;

b2 2 13;

b3 3 12.

Греческими буквами обозначены истинные коэффициенты. Такое смещение не опасно, только если адекватна линейная модель. Итак, вместо восьми опытов для трех факторов при ПФЭ 23, оказывается, можно поставить только четыре опыта, воспользовавшись дробным планированием, или дробной репликой – ½-репликой для 23.

При этом матрица планирования не теряет оптимальных свойств в рамках линейной модели. Пример такой матрицы представлен в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Пример матрицы для дробного планирования ПФЭ 23

Выше рассмотрен лишь самый простой случай. При увеличении числа опытов дробное планирование позволяет сократить число опытов в десятки и сотни раз.

58

Глава 4. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Для характеристики связи при изучении корреляционной зависимости пользуются уравнениями приближенной регрессии. Основная задача регрессионного анализа состоит в том, чтобы по данной выборке объема n найти уравнение приближенной регрессии и оценить допускаемую при этом ошибку. Уравнение приближенной регрессии зависит, кроме прочих факторов, от выбираемого метода приближения. Чаще других используют метод наименьших квадратов.

Итак, задан некоторый класс функций f (x), накладывающих на выборку одинаковое количество связей I. Число связей I равно числу неопределенных коэффициентов, входящих в аналитическое выражение для этой функции (обычно многочлен различной степени). Наилучшее приближение регрессии дает та функция из рассматриваемого класса, для которой сумма квадратов имеет наименьшее значение:

Ф n yi f xi 2 . i 1

Полагаем, что уравнение истинной регрессии выражает формула my = φ (x), а экспериментальные точки от этой зависимости отклоняются вследствие случайных ошибок измерения. Полагаем, что ошибки измерения подчиняются нормальному закону распределения, тогда результат i-го опыта есть случайная величина yi, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием myi = φ (xi) и средним квадратичным отклонением σi, характеризующим ошибку воспроизводимости.

Все эксперименты равноточны, т.е. σ1, σ2, …, σi, σn = σi. Нормальный закон, по которому распределена величина yi,

можно записать как

59

fi yi 2 exp 2 12 (yi xi 2 .

При заданном σ2 максимум вероятности Р получится в случае, когда стоящая в показателе степени сумма минимальна:

n yi xi 2 min.

i 1

Определение коэффициентов уравнения регрессии по методу наименьших квадратов сводится практически к определению минимума функции многих переменных. Если

y f x,b0,b1,b2, ,bk ,

функция дифференцируемая и требуется выбрать b0, b1, b2, … так, чтобы

Ф n yi f xi ,b0,b1,b2, ,bk 2 ,

i 1

необходимым условием минимума этого выражения является выполнение равенств

dФ 0; db0

dФ 0; db1

…

dФ 0. dbk

Если система уравнений содержит столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов b0, b1, b2, …, bk входит

60