книги / Прикладная математика, механика и процессы управления.-1

шения задачи получим распределение температуры по толщине пластины в зависимости от времени (температурные поля).

Далее решаем задачу по определению напряженного состояния пластины, постановка которой включает в себя следующее: уравнение равновесия, краевые условия, геометрические и физические соотношения [1].

На первом этапе решаем нестационарное уравнение теплопроводности методом конечных разностей на равномерной сетке [2]. Аппроксимируя частные производные, входящие в уравнение теплопроводности, соответствующими конечными разностями, получаем систему линейных алгебраических уравнений, решение которой позволяет получить поля температур.

Для решения уравнения кинетики кристаллизации используем метод Рунге–Кутты четвертого порядка [3].

Для определения напряженного состояния пластины решаем уравнение равновесия в перемещениях методом конечных разностей.

В ходе выполнения работы были получены следующие результаты: поля температур, степеней кристаллизации, перемещений и деформаций.

Список литературы

1.Амензаде Ю.А. Теория упругости: учебник для университетов. – 3-е изд., доп. – М.: Высшая школа, 1976. – 27 с.

2.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.:

Наука, 1989. – 432 с.

3.Бояршинов М.Г. Численные методы: учеб. пособие для студ. направления «Прикладная математика и информатика». Ч. 4. – Пермь: Изд-во ПермГТУ, 2006. – 162 с.

21

СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К ПРОЕКТИРОВАНИЮ ОБЛЕГЧЕННЫХ ДЕТАЛЕЙ АВИАЦИОННЫХ ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И АДДИТИВНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

К.В. Фетисов, П.В. Максимов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

При проектировании авиационных и космических изделий одним из важнейших факторов является его масса. Снижение массы какого-либо узла с сохранением его несущей способности позволит увеличить полезную нагрузку, например массу груза, который выводят на космическую орбиту Земли. Для решения подобного рода задач стоит использовать топологическую оптимизацию. Существуют различные методы топологической оптимизации, но наиболее известны следующие методы [1–3]: ESO иSIMP, основанные на методе конечных элементов. Отличие данных методов в следующем: в методеESO в качестве целевой функции используется масса изделия с заданным ограничением по эквивалентным напряжениям, в методеSIMP целевой функцией являетсяподатливостьсистемысзаданным ограничениемпомассе.

Цель данной работы состоит в создании и апробации новой методики проектирования изделий с использованием топологической оптимизации. В качестве объекта исследования выступает кронштейн газотурбинного двигателя (ГТД).

Для начала необходимо создать объем, в котором проектируемое изделие будет располагаться, с заданными местами крепления и нагрузками. Данный объем можно создать в системах автоматизированного проектирования (САПР). После чего можно приступить к топологической оптимизации изделия. Результатом топологической оптимизации методом SIMP будет область определенной массы, в которой возникает наибольшая энергия деформации. Далее на данной области необходимо вы-

22

числить значение напряжений от действующей нагрузки, в зависимости от того, превысит ли оно критическое значение напряжений, можно изменить значение массы, к которой стремится метод SIMP. После получения области с оптимальным распределением материала необходимо на ее основе построить новую геометрию с учетом технологии изготовления. Были рассмотрены следующие варианты создания геометрии: при помощи САПР, с использованием NURBS сплайнов, сглаживанием и обработкой STL-поверхности. Первый способ создания геометрии подходит при изготовлении изделий традиционными способами: на станках с числовым программным управлением, литьем, при создании геометрии вторым и третьим способом изделие можно будет изготовить при помощи аддитивных технологий. Следующим этапом является проверочный расчет созданной геометрии. В случае удовлетворения заданным требованиям, можно приступать к планированию производства изделия.

Данная методика была испробована при проектировании кронштейна ГТД, который будет изготавливаться аддитивными технологиями, что сняло большинство ограничений по форме будущего изделия. В результате был спроектирован кронштейн, который оказался в 3,5 раза легче ранее спроектированного кронштейна.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (договор №02.G25.31.0168 от 01.12.2015 г. в составе мероприятия по реализации Постановления Правительства РФ № 218).

Список литературы

1.Bendsøe M.P. Optimization of Structural Topology, Shape, and Material. – Springer, 1995. – P. 267.

2.Huang X., Xie Y.M. Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures: Methods and Applications. – Wiley, 2010. – P. 237.

3.Bendsøe M. P., Sigmund O. Topology Optimization: Theory, Methods and Applications. – Springer, 2003. – P. 393.

23

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННОГО И АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОНТАКТНОГО

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СФЕР ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ВАРИАНТОВ КОНТАКТНЫХ ПАР МАТЕРИАЛОВ

А.А. Каменских, А.Е. Кубасевич

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

Внастоящее время существует большое количество прикладных пакетов программ, в которых заложены современные эффективные численные методы моделирования задач контактного взаимодействия. К таким комплексам относится ANSYS. Эффективность численного решения задач контактного взаимодействия требует правильного выбора настроек численного решения контактной задачи в программном комплексе. Таким образом, для решения требуются верификация и апробация моделей поведения материалов контактной пары и моделей контакта на тестовых задачах в программном комплексе ANSYS. В работе сделан сравнительный анализ аналитического и численного решений задачи контактного взаимодействия сферического штампа и сферы [1]. Задача рассматривается в рамках теории упругости, постановка задачи включает: уравнения равновесия, физические соотношения, контактные граничные условия, которые подробно описаны в [2].

Врамках работы выполнены аналитическое решение задачи контактного взаимодействия сфер и численная реализация решения задачи в программном комплексе ANSYS. Рассмотрена сходимость численного решения. В результате серии численных экспериментов установлено достаточное количественное и качественное соответствие результатов численного и аналитического решений задачи. В рамках аналитического и численного решений сделана оценка влияния радиусов контактирующих сфер и величины нагрузки на параметры зоны контакта, а также

24

влияния физико-механических свойств материалов контактной пары (рассмотрены все сочетания контактных пар из материалов: сталь, алюминий, полимер (поликарбонат), кварц).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ про-

екты № 16-38-00390 мол_а, № 16-48-590660 р_а.

Список литературы

1.Кац А.М. Теория упругости. – 2-е изд. – СПб.: Лань, 2002. – 208 с.

2.Каменских А.А., Труфанов Н.А. Закономерности взаимодействия элементов сферического контактного узла с антифрикционной полимерной прослойкой // Трение и износ. – 2015. –

Т. 36. – № 2. – С. 222–229.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЧНОСТИ С УЧЕТОМ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ МАТЕРИАЛА

Р.Т. Швецова, О.А. Плехов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

Внастоящее время хорошо известно, что реальные твердые тела обладают сложной структурой, представляющей из себя иерархию взаимодействующих друг с другом масштабных уровней [1]. Для их описания требуется значительный объем экспериментальной информации, поэтому построение детерминированной модели прочности является практически невыполнимой задачей. Преимущество статистических моделей прочности перед детерминированными заключается в том, что они учитывают случайный характер расположения и возникновения дефектов материала и статистический разброс его свойств.

Вработе [2] была предложена иерархическая модель предсказания времени жизни системы, качественно отражающая основные особенности процесса разрушения реальных систем.

25

Ключевая идея модели заключается в постоянном уточнении глобальной вероятности времени жизни за счет накопления информации о степени поврежденности системы, что позволяет получить для нее наиболее вероятную оценку оставшегося времени жизни.

В работе рассматривается структура из 8 элементов, объединенных в 4 уровня. Первый уровень состоит из отдельных элементов, каждый из которых находится под напряжением σ, второй уровень– из пары элементов, третий – из пары пар и так далее. Для описания процесса разрушения примем следующее правило: когда один элемент пары разрушается, то его нагрузка мгновенно переходит на другой элемент, то есть нагрузка на уцелевшем элементе удваивается. При разрушении пары/ пары пар нагрузка переходит аналогично.

Предположим, что время разрушения отдельного элемента описывается распределением Вейбулла. На последующих уровнях полученные пары элементов представим как системы двух независимых случайных величин.

Временно-зависимая иерархическая модель прогнозирования времени жизни системы была численно реализована в среде

WolframMathematica 10.3.1 № 3670-7770. Были получены плот-

ности вероятности времени жизни системы при n = 0, 2, 3, 6,7 разрушениях.

На втором уровне иерархической системы было получено аналитическое решение и была произведена оценка максимальной относительной погрешности от величины шага сетки. Вычисления показали, что с уменьшением шага сетки погрешность уменьшается. Для шага p = 0,0015 погрешность составила примерно 1,3 %.

Из анализа полученных данных было установлено, что с увеличением информации о повреждениях системы дисперсия и наиболее вероятное оставшееся время жизни системы уменьшаются, что позволяет наиболее точно предсказать остаточный ресурс системы.

26

Список литературы

1.Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровнидеформациитвердыхтел. – Новосибирск: Наука, 1985. – 230 с.

2.Sornette D., Andersen J.V. Optimal prediction of time-to – failure from information revealed by damage // Europhys. Lett. – 2006. –74 (5). – P. 778–784.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ КАК МЕТОД РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

А.А. Кротких, П.В. Максимов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

Развитие аддитивных технологий и 3D-печати позволяет производить объекты, формы которых невозможно получить традиционными технологиями. В связи с этим необходима конкретика в выборе формы объектов, необходимо проанализировать критерии выбора той или иной формы объекта.

Топологическая оптимизация и ее методы решают задачу о распределении материала в произвольной области для нахождения оптимальной топологии. Оптимальной топологией будем называть такую топологию, которая наибольшим образом подходит под решаемую задачу. Примером таких задач может быть нахождение тела, обеспечивающего наилучшее поглощение тепла из внешней среды или наилучшее распределение напряжений в теле. Теоретическая база и методы оптимизации были разработаны достаточно давно, проблема заключалась в том, что традиционными технологиями нельзя было получить нужные формы, либо это было слишком дорого. Сейчас появилась технология 3D-пе- чати, которая игнорирует такой показатель, как технологичность конструкции. Этопозволяетизготавливатьмоделилюбойформы.

На данный момент используются два метода оптимизации. Это методы двунаправленной «эволюции»: SIMP (Solid Isotropic

27

Material with Penalization) и BESO (Bi-directional Evolutionary Structural Optimization). Они используются в совокупности с методом конечных элементов, который позволяет определить топологию объекта через свойства конечных элементов. BESO позволяет получить однозначное черно-белое решение. Следовательно, результатом этого метода будет область, в которой присутствует четкое разделение на «есть» и «нет» материала. SIMPметод получает распределение плотности в области. Таким образом, результатом метода будет плотность материала, распределенная определенным образом. Алгоритм обоих методов выглядит одинаково, различие лишь в математической постановке и самом алгоритме оптимизации.

Приведем несколько примеров задач, которые можно решить с помощью методов оптимизации. Самыми простыми задачами являются задача о распределении тепла в теле и задача о консольной балке. Задача о распределении тепла подразумевает собой создание оптимального радиатора, то есть необходимо снизить максимальную температуру в области. Результатом решения такой задачи является дендритная структура. Различие в результатах методов будет лишь в том, что у BESO в результате получится четко выраженная область, в которой нужно разместить материал. В SIMP-методе получится звездообразная область с большой ветвистостью. Плотность в SIMP-методе переменная, поэтому необходимо определить реальный параметр исследуемой системы, который эквивалентен этой плотности. Рассмотрим задачу о консольной балке. Обычно рассматривается балка, защемленная с одного конца, и прикладывается точечная или распределенная в малой области нагрузка. В случае применения метода BESO мы получим несколько соединенных между собой ферм. Если же применим метод SIMP, получим два стержня, которые соединены с границами защемления и точкой приложения силы. При этом рядом с этими стержнями также будет распределена плотность.

Между двумя используемыми методами оптимизации видна существенная разница, которая сильно сказывается на ре-

28

зультатах и на их применимости. Необходимы анализ и дальнейшее исследование методов оптимизации в рамках различных прикладных задач. В ходе анализа необходимо будет также учитывать адекватность результатов и их корректность.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (договор №02.G25.31.0168 от 01.12.2015 г. в составе мероприятия по реализации Постановления Правительства РФ № 218).

Список литературы

1.Bondsoe M.P., Sigmund O. Topology Optimization Theory, Methods and Applications. – Berlin, Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH, 2002.

2.Brackett D.J., Ashcroft I.A., Hague R. Topology optimization for additive manufacturing // 22nd Annual International Solid Freeform Fabrication Symposium. – Texas, USA. – 2011. – 348–362.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ПОДВИЖНОГО ЛОКАЛЬНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА НА ГРАНИЦЕ ТЕЛА

М.С. Пермяков, П.В. Максимов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

В современном машиностроении все чаще начинают применять детали, изготовленные методом селективного лазерного сплавления. Принцип этого метода заключается в послойном наращивании детали из порошкообразного сырья путем точечного расплавления его с помощью высокотемпературного лазера. Современное оборудование позволяет изготавливать детали любой формы и сложности. Основной проблемой этого метода является учет остаточных напряжений, возникающих в материале при фазовых переходах в процессе спекания. Цели данной

29

работы – исследование и анализ напряженно-деформированного состояния пластины под действием температурных нагрузок, возникающих при точечном нагреве материала источником тепла большой мощности.

Известно, что задачи теории упругости имеют очень сложное аналитическое решение, а данная задача вовсе не имеет аналитического решения в силу неоднородности температурных полей. Для получения точного решения будем применять метод конечных элементов с использованием лагранжевой аппроксимации треугольных элементов.

В ходе работы были решены следующие задачи:

–сформулирована математическая постановка решаемой задачи;

–изучена теоретическая база метода конечных элементов

иреализован численный алгоритм решения термоупругой задачи в плоской постановке;

–выполнена верификация разработанного алгоритма;

–проведена серия вычислительных экспериментов с целью установления основных законов изменения НДС в теле при воздействии заданных краевых условий. Проведен анализ полученных решений.

Численный метод решения термоупругой задачи реализован в пакете MATLAB. Разработанный численный алгоритм в дальнейшем будет адаптирован для учета процесса послойного аддитивного формирования поверхности и применен для решения температурно-конверсионной задачи с учетом фазовых превращений материала, расплавляемого лазерным лучом.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (договор №02.G25.31.0168 от 01.12.2015 г. в составе мероприятия по реализации Постановления Правительства РФ № 218).

Список литературы

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – Лондон, 1971.

30