книги / Прикладная математика, механика и процессы управления.-1

2.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. –

М.: Мир, 1979.

3.Хан Х. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения. – Штутгарт, 1985.

4.Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Теория упругости. – М., 1987.

5.Новацкий В. Вопросы термоупругости: пер. с пол. – М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1962.

6.Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. – Вена, 1953.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ ПОДВИЖНОГО ЛОКАЛЬНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА НА ГРАНИЦЕ ТЕЛА

М.С. Пермяков, П.В. Максимов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

В современном машиностроении все чаще начинают применять детали, изготовленные методом селективного лазерного спекания. Принцип этого метода заключается в послойном наращивании детали из порошкообразного сырья путем точечного расплавления его с помощью высокотемпературного лазера. Современное оборудование позволяет изготавливать детали любой формы и сложности. Основной проблемой этого метода является учет остаточных напряжений, возникающих в материале при фазовых переходах в процессе спекания. Цели данной работы – исследование и анализ температурных полей, возникающих при точечномнагревематериалаисточникомтеплабольшоймощности.

Данная задача не имеет аналитического решения из-за сложных граничных условий, поэтому для получения решения будем применять численный метод конечных разностей, а именно метод

31

переменных направлений, схема Писмэна–Рэкфорда. Суть метода заключается в разбиении двумерной задачи на систему из одномерных задач. Это позволяет экономить вычислительные ресурсы и получать точное решение на неравномерных сетках. Для данного метода удобно использовать программный пакет MATLAB. Он упрощает работу с матрицами больших размерностей и имеет встроенные функции для решения систем линейных алгебраических уравнений. Реализованный метод позволяет определять поля температур для пластин различной формы при любых начальных

играничных условиях.

Входе работы были проведены тестовые задачи для верификации метода, а также получены распределения температурных полей для пластины, закрепленной на горячем основании, совершающей конвекционный теплообмен с окружающей средой, при наличии подвижного локального источника тепла на одной из границ пластины. Данные результаты будут в дальнейшем использованы для определения напряженно-деформированного состояния пластины поддействием температурных нагрузок.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (договор №02.G25.31.0168 от 01.12.2015 г. в составе мероприятия по реализации Постановления Правительства РФ № 218).

Список литературы

1.Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. – М.: Едиториал, 2003.

2.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.:

Наука, 1989.

3.Мазо А.Б. Основы теории и методы расчета теплопередачи: учеб. пособие. – Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та, 2013.

4.Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Разностные методы решения задач теплопроводности: учеб. пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2007.

5.Конюхов В.М. Численные методы математической физики. – Казань, 2009.

32

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

МНОГОУРОВНЕВАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И ЭВОЛЮЦИИ ПОВРЕЖДЕННОСТИ В ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ

К.А. Курмоярцева

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

Внастоящее время во многих областях промышленности,

впервую очередь в авиастроении и аэрокосмической технике, широкое распространение получили материалы на основе титана и его сплавов. В связи с этим актуальной задачей является разработка моделей для описания поведения поликристаллических материалов с гексагональной плотноупакованной (ГПУ) структурой, позволяющих анализировать процессы накопления повреждений (микропоры и микротрещины) при изготовлении и эксплуатации изделий. Для идентификации и верификации моделей необходимы также экспериментальные исследования поведения указанных материалов.

Целью настоящей работы является построение математиче-

ской модели, основанной на физических теориях упругопластичности. На первом этапе разработки модели требуются тщательный физический анализ процессов деформирования и накопления повреждений в титановых сплавах и его математическое описание. Для достижения поставленной цели наиболее перспективным представляется использование в качестве теоретической основы подхода, базирующегося на введении внутренних переменных, и многоуровневого моделирования. Данный класс моделей позволяет анализировать процессы деформиро-

33

вания на различных масштабных уровнях и учитывать эволюцию микроструктуры материала. Поскольку внутренняя структура определяет свойства материала и рабочие характеристики готового изделия, то корректное математическое описание реальных физических процессов, проходящих в процессах изготовления и эксплуатации деталей из поликристаллических материалов, позволяет прогнозировать поведение различных изделий.

Предполагается разработать трехуровневую статистическую модель, позволяющую описать поведение поликристаллического материала с учетом накопления повреждений и разрушения материала. Представительным объемом на макроуровне является поликристаллический агрегат, который состоит из большого количества зерен, каждое из которых принимается представительным объемом мезоуровня-I. На мезоуровне-II в качестве представительного объема рассматриваются субзерна и системы скольжения кристаллитов, для которых записываются кинетические уравнения для плотностей дефектов различной природы и размерности (дислокаций, микропор и т.д.). Для каждого из указанных уровней формулируются эволюционные уравнения и определяющие соотношения с параметрами, имеющими четкий физический смысл.

На мезоуровне-II рассматриваются эволюционные уравнения для плотностей дислокаций на системах скольжения и диффузии примесных атомов. Именно на этом уровне происходит учет повреждений и их эволюция. Предполагается учесть такие повреждения, как микропоры, появляющиеся при слиянии вакансий; микротрещины на пересечении полос скольжения, стыках (границах) зерен, в результате взаимодействия двойников, больших растягивающих напряжений из-за скопления дислокаций около препятствий и т.д.

34

ОПИСАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЗЕРЕННОЙ СТРУКТУРЫ В ДВУХУРОВНЕВЫХ МОДЕЛЯХ НЕУПРУГОСТИ МЕТАЛЛОВ

Е.В. Чудаков, А.И. Швейкин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь

Впоследние десятилетия популярны методы обработки металлов с достижением больших неупругих деформаций, которые могут приводить к существенному изменению зеренной структуры. Например, методы равноканального углового прессования [1, 2] и осадки с кручением [3] используются для получения объемных субмикро- и нанокристаллических конструкционных материалов, которые имеют уникальные свойства – повышенную прочность при сохранении свойства пластичности. Поэтому задача создания конститутивных моделей материалов, описывающих зеренную структуру, является актуальной.

Вкачестве базовой принималась предложенная ранее двухуровневая модель неупругого деформирования поликристаллических металлов [4]. В данной статистической модели в соответствие представительному макрообъему ставится выборка кристаллитов – эллипсоидов (зерен), для которых описываются основные физические механизмы неупругого деформирования: внутризеренное дислокационное скольжение с учетом упрочнения и ротации решеток кристаллитов. Для описания внутризеренного дислокационного скольжения используется вязкопластический закон с критерием Шмида (если касательные напряжения на системе скольжения меньше критических, то сдвиг отсутствует), при описании поворотов решетки кристаллитов используется модель поворота Тейлора [4]. При формулировке определяющих соотношений макромасштабного уровня используется условие согласования определяющих соотношений различных уровней [4].

35

Процесс дробления кристаллитов описывается по аналогии с вязким разрушением. При реализации модели на мезоуровне (уровне кристаллита) в каждый момент времени определяется скорость неупругих деформаций, комплексно характеризующая скорости внутризеренных сдвигов по системам скольжения. Определенная ее коротационным интегрированием мера неупругих деформаций характеризует накопленные сдвиги по системам скольжения [5]. Возможный процесс вязкого разрушения характеризуется накопленной к текущему моменту мерой неупругой деформации и геометрией зерна: по мере неупругой деформации определяются плоскость и направление, где накоплены наибольшие сдвиги. В критерии дробления также учитывается вытянутость зерна в направлении, перпендикулярном плоскости сдвига: чем она меньше, тем больше вероятность дробления зерна. В первом приближении принято, что при дроблении зерно разделяется на две равные части, подобные по форме исходной (отношения полуосей получающихся зерен равны отношению полуосей исходного эллипсоида в момент дробления), суммарный объем равен объему исходного зерна.

Разработан алгоритм численной реализации предложенной двухуровневой модели с использованием методов явного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, создана вычислительная программа, с помощью которой проведены тестовые расчеты для различных нагружений поликристаллической меди, результаты, в том числе описание изменения зеренной структуры, находятся в согласовании с известными опытными данными.

Список литературы

1.Процессы пластического структурообразования металлов / В.М. Сегал, В.И. Резников, В.И. Копылов [и др.]. – Минск: Наука и техника, 1994. – 232 с.

2.Валиев Р.З. Развитие равноканального углового прессования для получения ультрамелкозернистых металлов и сплавов //

Металлы.– 2004.– № 1. – С. 15–22.

36

3.Валиев Р.З., Александров И.В. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. –

М.: Логос, 2000. – 272 с.

4.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15, № 1. – С. 33–56.

5.Трусов П.В., Янц А.Ю. О физическом смысле неголономной меры деформации // Физическая мезомеханика. – 2015. –

Т. 18. – № 2. – С. 13–21.

ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТОИМОСТИ КОМПРЕССОРА СРЕДНЕГО ДАВЛЕНИЯ ДВИГАТЕЛЯ НК-25

И.В. Грешнов, Е.А. Грешнова, О.А. Кузнецова

Самарский государственный аэрокосмический университет, Самара

Актуальным вопросом в настоящее время является снижение стоимости авиационных двигателей. Традиционные способы уже практически не помогают. Единственным возможным способом является уменьшение числа ступеней, а соответственно, и массы двигателя.

НК-25 выполнен по трехвальной схеме: каскады низкого, среднего и высокого давления. Каскад включает в себя компрессор и турбину. Каждый из компрессоров состоит из нескольких ступеней. Рассмотрим КСД (компрессор среднего давления), состоящий из 5 ступеней. Каждая из ступеней представляет собой рабочее колесо и направляющий аппарат.

Согласно составленной модели, если снизить число ступеней, то стоимость процессора значительно уменьшится. Для уменьшения количества ступеней, нужно увеличить средний диаметр. Для этого предлагается изменить форму компрессора с ПВД (постоянный втулочной диаметр) на ПДД (постоянный

37

периферийный диаметр) и разнести компрессор от оси вращения с учетом габаритов корпуса двигателя.

Список литературы

1.Небесный П.В., Моляков В.Д. Оптимизация числа ступеней компрессора газогенератора ГТД // Молодежный научно-тех- нический вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. – Эл. № ФС77-51038.

2.Эзрохи Ю.А., Каленский С.М., Полев А.С., Дрыгин А.С.

Предварительное исследование характеристик гибридных турбореактивных двухконтурных двигателей различных схем для ближне- и среднемагистральных самолетов // Наука и образование: электрон. журн. / МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2012. – № 4.

ПЕРКОЛЯЦИОННАЯ МОДЕЛЬ СТРУКТУРЫ НАНОКОМПОЗИТА «ПОЛИМЕР – УГЛЕРОДНЫЙ НАНОНАПОЛНИТЕЛЬ»

М.М. Бузмакова

Пермский государственный национальный исследовательский университет, Пермь

Предложена перколяционная модель структуры полимерного нанокомпозита, где в качестве наполнителя представлены углеродные нити и фуллерены. Полимер – сплошная среда, в которую случайным образом упакованы фуллерены – сферы одинакового радиуса. Кроме того, в полимере присутствуют углеродные нити – цилиндры. Сферы не могут пересекаться между собой и с цилиндром. В рамках данной модели межфазные области представлены оболочками сфер, которые могут пересекаться и образовывать глобулы или сферолиты (кластеры). Также нить может быть частью кластера, если она присоединяет к себе фуллерен. Взаимодействие между фуллеренами характеризуется силами Ван-дер-Ваальса. Порог перколяции соответствует значению критической концентрации фуллеренов в полимере, при котором наноматериал приобретает или улучшает свои свойства. Моделирование проведено с помощью метода

38

Монте-Карло с использованием теории перколяции, теории фракталов, теории вероятностей и математической статистики. Выявлено влияние добавления углеродных нитей на критическую концентрацию фуллеренов в полимере.

За последнее время исследователями разработано немалое количество методов получения полимерных нанокомпозитов, содержащих углеродные наполнители. Экспериментально установлено, что при введении малой доли нанонаполнителя наноматериал приобретает новые или улучшает существующие свойства. Проведено модифицирование полимеров углеродными наночастицами [3], выявлено, что для улучшения свойств материала достаточно 0,003–2 % (мас.ч.). В работе [5] показано, что даже сверхмалые добавки фуллерена C60в-полимер (0,007–0,03 мас. %) существенно улучшают физико-химичес- кие свойства материала.

Разброс экспериментальных результатов по изучению структуры и свойств нанокомпозитов «полимер – углеродные наночастицы» подтверждает необходимость исследований в данном направлении. Теоретические аспекты для таких материалов разработаны гораздо хуже. Одной из причин отсутствия теоретических знаний о структуре и свойствах полимерных нанокомпозитов с углеродными нанонаполнителями является отсутствие адекватных теоретических моделей.

Для моделирования структуры нанокомпозитов успешно используются методы теории перколяции [например, 2, 4]. Значение порога концентрации соответствует значению критической концентрации нанонаполнителя в полимере, при которой материал приобретает улучшенные свойства.

Постановка задачи и методы моделирования. В настоя-

щей работе предлагается перколяционная модель структуры полимерного нанокомпозита, в котором в качестве полимерной матрицы выступает эпоксидная смола L (отвердитель EPH 161) и в качестве углеродного нанонаполнителя – фуллерены и углеродные нити. Полимерная матрица представлена сплошной сре-

39

дой, в которую диспергированы фуллерены – сферы, углеродная нить – это цилиндр с радиусом rn, который проходит через куб случайным образом. В рамках данной модели межфазные области представлены оболочками сфер, которые могут пересекаться и образовывать глобулы или сферолиты (кластеры). Взаимодействие между фуллеренами характеризуется силами Ван-дер- Ваальса. Два фуллерена слипаются, если расстояние между ними становится равным длине связи С-С 0,154 нм. Если расстояние больше, то вероятность образования сферолита из межфазных областей (кластера из проницаемых оболочек сфер) пропорциональна Ван-дер-Ваальсовому взаимодействию.

Величина межфазных областей (толщина проницаемой оболочки) характеризуется способностью атома углерода фуллерена связаться с атомом азота эпоксидной смолы, при этом образуется простая связь C-N длиной 0,147 нм. Углеродная нить может присоединить фуллерен, если расстояние между ближайшими атомами углерода равно длине связи С-С 0,154 нм (за счет образования двух ковалентных связей [8]). Порог перколяции соответствует значению критической концентрации фуллеренов в полимере, при котором наноматериал приобретает или улучшает свои свойства.

Моделирование проведено с помощью метода МонтеКарло с использованием теории перколяции, теории фракталов, теории вероятностей и математической статистики. Для генерации случайных чисел использовался алгоритм «вихрь Мерсенна», который обладает большим периодом [7]. Для равномерного распределения частиц в среде был использован эффективный алгоритм, разработанный автором [1]. Для поиска перколяционного кластера использовался алгоритм Дейкстры [6].

Вкуб линейным размером L случайно помещается цилиндр

срадиусом rn и равномерно упаковываются сферы с одинаковым радиусом r = 0,357 и проницаемой оболочкой d = 0,147

сзаданным значением доли упаковки (что соответствует концентрации фуллеренов в полимере). Углеродная нить имеет диа-

40