Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теоретические основы автоматизированного управления.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

696.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Определить:

1)( j ) ?

2)Sx*( ) ?

3)Уравнение формирующего фильтра.

Задача 6.4. Дано:

*	( )	Dy	16 3 4		.
Sy
			( 2	2 )4

Определить:

1)( j ) ?

2)Sx* ( ) ?

3)Уравнение формирующего фильтра.

Задача 6.5. Дано:

S* ( )	2(T1 T2 )Dy		.
S* ( )	(1 2T 2 )(1 2T 2 )		.
y	(1 2T 2 )(1 2T 2 )
	1	2

Определить:

1)( j ) ?

2)S x* ( ) ?

3)Уравнение формирующего фильтра.

Задача 6.6. Дано:


S* ( ) aD		1 b 2		.
S* ( ) aD				.
y	x	1 a j b ( j )2	2

Определить:

1)( j ) ?

2)Sx* ( ) ?

3)Уравнение формирующего фильтра.

Задача 6.7. Дано:

S*y ( )	2D	2		2
	x				.
			( 2	2 )2

Определить:

1)( j ) ?

2)Sx* ( ) ?

3)Уравнение формирующего фильтра.

Задача 6.8. Дано:

*	( )		2 a2			.
Sy
Sy		2	(	2	1)
				2
				2
				2

Определить:

1)( j ) ?

2)Sx* ( ) ?

3)Уравнение формирующего фильтра.

Практическое занятие №7. Цепи Маркова

Теоретические сведения

Основной задачей исследования марковской цепи является нахождение безусловных вероятностей нахождения системы S на любом (k-м) шаге

в состоянии Si ; обозначим эту вероятность Pi (k) :
Pi (k) P{S(k) Si } (i 1,2,..., n; k 0,1,...),	(7.1)

где n – число дискретных состояний системы S.

Для нахождения вероятностей Pi (k) необходимо знать условные ве-

роятности перехода системы S на k-м шаге в состояние S j , если известно,

что на предыдущем (k – 1)-м шаге она была в состоянии Si.

Обозначим эту вероятность:

ij (k) P S(k) S j		S(k 1) Si (i, j 1,2,..., n).	(7.2)

Вероятности ij (k) называются вероятностями перехода цепи Маркова на

k-м шаге.

Вероятности перехода можно записать в виде матрицы перехода размерности n n :

11(k)	12 (k)	1n (k)
21(k)	22 (k) 2n (k)		(k 0,1,2,...)	(7.3)
(k)			(k 0,1,2,...)	(7.3)


	n2 (k) nn (k)
n1(k)	n2 (k) nn (k)

Цепь Маркова называется однородной, если ij (k ) не зависят от номера

шага k : ij (k) ij . Соотношение (7.3) примет вид:
	11 12 1n
		2n
	21 22	2n		(7.4)
			.	(7.4)

		nn
	n1 n2	nn

Матрица безусловных вероятностей состояний на шаге k определяется соотношением:

P P (k)		P (k)...... Pn (k)			(k 0,1,2,...)		(7.5)
k	1	2
Для Pk справедливо соотношение:
Из (7.6) имеем:		Pk Pk 1 ,	k 1,2,...				(7.6)
Из (7.6) имеем:		P1 P0
		P1 P0
		P2 P1					(7.7)
		P3 P2					(7.7)
		P3 P2
		..............
Матрица финальных вероятностей Т вида:					P2	.....Pn
			P1		P2	.....Pn
			P		P	.....P	(7.8)
T lim (m) lim m				1	2	n	(7.8)

	m	m	.... .... .......
			P		P	.....P
			P		P	.....P
				1	2	n

может быть определена путем решения системы алгебраических уравне-

ний:

; j 1,2,..., n 1

k 1 k

(7.9)

1 P .

j 1 j

Здесь P lim P

(k), j

–

финальные вероятности.

1, n

Решение типовых задач

Задача 7.1. Система представляет собой техническое устройство, состоящего из m узлов (m = 3) и время от времени (в моменты t1,t2 ,...,tk ) под-

вергается профилактическому осмотру и ремонту. После каждого шага (момент осмотра и ремонта) система может оказаться в одном из следующих состоянии: x1 – все узлы исправны; x2 – один узел заменен новым,

остальные исправны; x3 – два узла заменены новыми, остальные исправны; x4 – все три узла заменены новыми. Рассматривая состояния системы

как марковскую цепь, вычислить вероятности состояний после трех шагов, т.е. Pj (3) ?, j 1,2,3,4. В начальный момент времени все узлы исправны.

Матрица перехода имеет вид:

								0,1	0,3	0,3 0,3
	11	12		13	14
	21	22		23	24			0	0,4	0,4 0,2
									0	0,5 0,5
	31		32	33		34
								0
Таким образом:	41 42			43 44				0	0	0 1

P3 [P1(3)				P2 (3)			P3 (3)		P4 (3)]=?
Решение. Определим матрицу P0 :
P0 [P1(0)				P2 (0)				P3 (0)	P4 (0)]

Так как в начальный момент времени система находится в состоянии x1, то:

P0 [1	0 0	0]
Из (7.7) имеем:
P1 P0 [0,1	0,3	0,3	0,3]
	0,1		0,3	0,3	0,3
		0	0,4	0,4
P2 P1 [0,1 0,3 0,3		0	0,4	0,4	0,2	;
P2 P1 [0,1 0,3 0,3	0,3]	0	0	0,5		;

					0,5
		0	0	0	1

P2 [P1 (2)		P2 (2)		P3 (2)	P4 (2)] .
P2 [0,01		0,15 0,30			0,54];
P3 P2 [P1 (3)			P2 (3) P3 (3) P4 (3)]
P3 [0,001		0,063		0,213	0,723]
Задача 7.2. Задана матрица перехода вида:
		0,1	0,5	0,4
	0,2		0,3	0,5 .
		0	0,4

				0,6

Найти матрицу финальных вероятностей Т вида:

T lim (m) lim m P1

m m

Решение. Из (7.9) имеем для n = 3:

P	P
2	3
P2	P3	.
P2	P3
P2	P3

				P P P								21	P	31	;
				1				1	11		2	21	3	31
			P2 P1 12 P2 22 P3 32													;
								1 P1 P2 P3.
								1 P1 P2 P3.
или				P1 0,1 P1 0,2 P2 ;
				P1 0,1 P1 0,2 P2 ;
		P2 0,5 P1							0,3 P2 0,4 P3								(7.10)
		P2 0,5 P1							0,3 P2 0,4 P3							;	(7.10)
							1 P1 P2 P3.
Из (7.10) имеем:							1 P1 P2 P3.
Из (7.10) имеем:				0,9				P1 0,2 P2 0;
				0,9				P1 0,2 P2 0;
		0,5 P1						0,7 P2									(7.11)
		0,5 P1						0,7 P2			0,4 P3 0;						(7.11)
							P1 1 P2 P3.
Из (7.11) имеем:							P1 1 P2 P3.
Из (7.11) имеем:		0,9(1 P2 P3 ) 0,2P2											0;
		0,9(1 P2 P3 ) 0,2P2											0;
или		0,5(1 P2							P3 ) 0,7P2 0,4P3								0;
или							1,1P2 0,9P3				0,9;
							1,1P2 0,9P3				0,9;						(7.12)
							1,2P2 0,1P3										(7.12)
							1,2P2 0,1P3				0,5.
Решим систему уравнений (7.12), используя правило Крамера. Имеем:
						1,1		0,9		0,11 1,08 0,97.
						1,1		0,9		0,11 1,08 0,97.
						1,2		0,1
				0,9				0,9		0,09 0,45 0,36.
		2		0,9				0,9		0,09 0,45 0,36.
				0,5				0,1
		3					1,1	0,9		0,55 1,08 0,53.
		3					1,1	0,9		0,55 1,08 0,53.
							1,2	0,5
P	2 0,37.							P		3	0,546.			P P 0,916.
2									3							2	3
Таким образом:					P1 1 (P2 P3 ) 0,084.
Таким образом:
		P	P					P		0,084			0,37			0,546
T		1		2				3					0,37
T		P1	P2					P3		0,084			0,37			0,546 .
			P2										0,37
		P1	P2					P3		0,084			0,37			0,546

Задачи для самостоятельного решения

Задача 7.3. Рассматривается следующий процесс: система представляет собой техническое устройство (ТУ), которая осматривается в определенные моменты времени (скажем, через сутки), и ее состояние регистрируется в отчетной ведомости. Каждый осмотр с регистрацией представляет собой “шаг” процесса. Возможные состояния ТУ следующие: x1 – полно-

стью исправно; x2 – частично неисправно, требует наладки; x3 – обнаружена серьезная неисправность, требует ремонта; x4 – признано непригодным, списано. Матрица перехода:

0,7		0,1	0,1	0,1
0,2		0,6	0	0,2
		0	0,5		;

0,2				0,3
0		0	0	1
В начальный момент (t0 0 ) ТУ находится в состоянии x1						(исправно).
Найти распределение вероятностей		состояний			для первых	трех шагов
( k 1,2,3).
Задача 7.4. Задана матрица перехода вида:
	0,5	0,25		0,25
	0,5		0	0,5	.
		0,25		0,5

0,25

Найти матрицу финальных вероятностей T вида:

T lim (m)

lim m P1

P	P
2	3
P2	P3	.
P2	P3
P2	P3

Задача 7.5. В процессе эксплуатации ЭВМ может рассматриваться как физическая система, которая в результате проверки может оказаться в одном из следующих состояний: x1 – ЭВМ полностью исправна; x2 – ЭВМ

имеет незначительные неисправности в ОП, но может решать задачи; x3 –

ЭВМ имеет существенные неисправности, может решать ограниченный класс задач; x4 – ЭВМ полностью вышла из строя. В начальный момент

ЭВМ полностью исправна. Проверка ЭВМ производится в фиксированные моменты времени t1,t2 ,t3. Процесс, протекающий в системе, можно рас-

сматривать как цепь Маркова с тремя шагами (1-я, 2-я, 3-я проверки ЭВМ). Матрица перехода:

Z I ( T ) 1.

0,3		0,4	0,1	0,2
	0	0,2	0,5
				0,3
	0	0	0,4	.

				0,6
	0	0	0	1

Определить вероятности состояний после трех проверок, т.е.:

P3 [P1(3) P2 (3) P3 (3) P4 (3)]=?

Задача 7.6. Задана матрица перехода вида:

0,3	0,3	0,4
0,4	0,4	0,2 .
	0,4

0,2		0,4

Найти матрицу финальных вероятностей T вида:

T lim (m)

lim m P1

P	P
2	3
P2	P3	.
P2	P3
P2	P3

Практическое занятие №8. Определение матрицы M среднего времени

перехода к некоторому состоянию из других состояний

Теоретические сведения
Матрица М определяется соотношением:
M (I Z E Zdg ) D,	(8.1)

где

(8.2)

Здесь I – единичная матрица; – матрица перехода; Т – матрица финальных вероятностей; E – матрица, состоящая из единиц, т.е. все элементы матрицы E равны единице; Zdg – матрица, получающаяся из матрицы Z

обнулением внедиагональных элементов; D – диагональная матрица с элементами, равными обратным значениям элементов диагонали матрицы финальных вероятностей T.

Решение типовых задач

Задача 8.1. Система может находиться в одном из трех состояний S1 1, S2 2, S3 3. Процесс в системе описывается цепью Маркова. Мат-

рица перехода имеет вид:

	0,33	0,34	0,33
		0,32		(8.3)
0,42		0,32	0,26 .	(8.3)
	0,19	0,43
	0,19	0,43	0,38

Определить матрицу M.

Решение. Найдем первоначально матрицу финальных вероятностей T вида:

T lim (m)

Из (7.9) имеем для n = 3:

lim m t1

t2	t3
t2	t3		(8.4)
		.
t2	t3

t	t	t		21	t	31	;
1	1	11	2	21	3	31
t2	t1 12 t2 22 t3 32							;
	1 t1 t2 t3.
или	1 t1 t2 t3.
или

t	0,33	t	0,42 t	2	0,19	t	3	;
1		1		2			3
t2	0,34 t1		0,32 t2		0,43 t3				; .	(8.5)
		1 t1 t2 t			3.
		1 t1 t2 t			3.

Решая систему алгебраических уравнений (8.5), получим:

t1 0,32; t2	0,36; t3 0,32.
Из (8.4) имеем:
0,32	0,36	0,32
T 0,32	0,36	0,32 .
	0,36

0,32		0,32

Определим T. Имеем:
	0,01	0,02		0,01
T	0,10	0,04		0,06 .
		0,07		0,06

0,13
Определим матрицу I. Получим:
	1	0	0
	I 0	1	0 .
		0

	0		1

Найдем матрицу Z 1 I ( T ). Имеем:

		0,99	0,02	0,01
Z 1	0,10		1,04	0,06	.
		0,13	0,07	0,94

Определим матрицу Z. Получим:

	1	A11	A21	A31
Z	1	A	A	A
Z	Z 1	A	A	A
	Z 1	12	22	32
			A23	A33
		A13	A23	A33

где Z 1 – определитель матрицы Z 1. Здесь:

A	1,04	0,06	0,9818;

11	0,07	0,94

A	0,99	0,02	1,0316;
A	0,99	0,02	1,0316;
33	0,1	1,04
Матрица Z имеет вид:					1,01
					1,01
			Z		0,1
			Z		0,1

				0,13

A			0,99	0,01		0,9319;
A			0,99	0,01		0,9319;
22			0,13	0,94
			0,13	0,94
A	0,1			0,06	0,1018; и т.д.
A	0,1			0,06	0,1018; и т.д.
12		0,13		0,94
		0,13		0,94
0,01			0,01
0,96
0,96			0,06 .
0,07
0,07			0,97

Определим матрицы I Z, E Zdg . Имеем:
0,01		0,01	0,01
I Z	0,1	0,04	0,06 .
	0,13	0,07

			0,03

1	1	1			1,01		0	0
E 1	1	1 ;	Z	dg		0	0,96	0	;
	1			dg
						0	0	0,97
1		1				0	0	0,97

			1,01		0,96		0,97
	E Zdg				0,96
	E Zdg		1,01		0,96		0,97 ;
					0,96
			1,01		0,96		0,97

					1		0,97	0,96
	I Z E Zdg						1	0,9
	I Z E Zdg				0,91		1	0,9	.
							1,03	1
					1,14		1,03	1
Опередим матрицу D. Получим:
1/ t		0		0		3,126		0	0
D	0 1	1/ t	2	0			0	2,778	0	;
	0	0	2				0	0

				1/ t3					3,126
Определим матрицу M. Имеем:
						3,126		2,695	3,001
M (I Z E Zdg ) D								2,778
M (I Z E Zdg ) D						2,845		2,778	2,885 .
								2,861
						3,564		2,861	3,126

Каждый элемент полученной матрицы M характеризует среднее время перехода из одного в другое соответствующее состояние. Так, время перехода из первого в первое состояние в среднем равно 3,126 шага, из первого во второе – 2,695 шага, из первого в третье – 3,001 шага и т.д.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 8.2. Матрица перехода имеет вид:

	0,3	0,7
		.
0,4		0,6

Определить матрицу М.

Задача 8.3. Матрица перехода имеет вид:

0,2	0,8
	.
0,6	0,4

Определить матрицу М.

Задача 8.4. Матрица перехода имеет вид:

0,5	0,5
	.
0,3	0,7

Определить матрицу М.

Задача 8.5. Матрица перехода имеет вид:

0,2		0,8
	0,3	.
	0,3	0,7

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20235.24 Mб4Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики..pdf
#
12.11.202314.93 Mб2Теоретическая механика. Сопротивление материалов.pdf
#
20.11.20232.25 Mб8Теоретическая механика.-1.pdf
#
12.11.2023784.25 Кб3Теоретическая механика..pdf
#
12.11.20236.86 Mб1Теоретические и методологические положения процесса управления предприятиями энергетики в условиях модернизации экономики..pdf
#
20.11.2023696.22 Кб2Теоретические основы автоматизированного управления.-1.pdf
#
13.11.202324.2 Mб16Теоретические основы автоматизированного управления..pdf
#
12.11.20231.52 Mб0Теоретические основы безопасности производственной деятельности..pdf
#
12.11.202321.7 Mб6Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов)..pdf
#
19.11.202332.46 Mб12Теоретические основы переработки полимеров..pdf
#
12.11.20231.7 Mб9Теоретические основы поиска и разведки месторождений нефти и газа..pdf