Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теоретические основы автоматизированного управления.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

696.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Определить матрицу М.

Задача 8.6. Матрица перехода имеет вид:

0,4	0,6
	.
0,8	0,2

Определить матрицу М.

Задача 8.7. Матрица перехода имеет вид:

0,8	0,2
	.
0,6	0,4

Определить матрицу М.

Задача 8.8. Матрица перехода имеет вид:

0,4	0,6
	.
0,5	0,5

Определить матрицу М.

Практическое занятие №9. Каноническое разложение случайного процесса

Теоретические сведения

Пусть случайный процесс X (t) представлен в виде:

X (t) mx (t) Vi i (t),

i 1

где mx (t) – математическое ожидание случайного процесса X (t) ; неслучайные функции времени; Vi – случайные величины, причем:

M[Vi ] 0; M[ViVj ] 0; если i j

M [Vi2 ] Di .

(9.1)

i (t) –

Здесь Di – дисперсия случайной величины Vi , m – количество неслучайных функций в каноническом разложение.

Соотношение (9.1) называется каноническим разложением											случайного
процесса X (t) .
Соотношение (9.1) соответствует корреляционная функция вида:
K		(t , t			m	(t )		(t		) D .	(9.2)
K	x	(t , t	2	)		(t )		(t	2	) D .	(9.2)
	x	1	2		i 1 i	1	i		2	i
Соотношение (9.2) называется каноническим разложением корреля-
ционной функции K x (t1,t2 ).
Из (9.2) определим дисперсию Dx (t)					случайного процесса X (t) .

Имеем:

		m
	Dx (t) Kx (t,t) i (t) 2 Di .		(9.3)
		i 1
	Решение типовых задач
Задача 9.1. Случайная функция X (t) задана каноническим разложе-
нием:
X (t) 3t X1	cos t X 2 sin t X3 cos 2 t X 4		sin 2 t.
Случайные величины	X1, X 2 , X3 , X 4	имеют следующие математические
ожидания и дисперсии:
mX1 mX 2 mX3 mX 4 0; DX1 DX2 1; DX3 DX 4			3.
Определить mx (t), Kx (t1,t2 ), Dx (t).
Решение. Найдем mx (t). Имеем:
	mx (t) 3t.
Определим Kx (t1,t2 ). Получим:
Kx (t1,t2 ) cos t1 cos t2 sin t1 sin t2
3cos 2 t1 cos 2 t2		3sin 2 t1 sin 2 t2
cos (t1 t2 ) 3cos 2 (t1 t2 ).
Определим Dx (t). Имеем:
	Dx (t) Kx (t,t) 4.
Задача 9.2. Случайная функция		X (t) задана каноническим разло-
жением:	X (t) 2t X1	sin t X 2 cos t.
	X (t) 2t X1	sin t X 2 cos t.

Случайные величины X1, X 2 имеют следующие математические ожидания

и дисперсии:

mX1 mX2 0; DX1 DX2 3.

Найти каноническое разложение случайной функции Y (t) вида:

Y (t) t X (t) t2.

Определить my (t), K y (t1,t2 ), Dy (t).

Решение. Найдем каноническое разложение Y (t) . Имеем:

Y (t) t2 X1t sin t X 2t cos t.

Определим my (t). Получим:

my (t) t2.

Найдем K y (t1,t2 ). Имеем:

K y (t1,t2 ) 3t1t2 sin t1 sin t2 3t1t2 cost1 cost23t1t2 cos(t1 t2 ).

Определим Dy (t). Получим:

Dy (t) K y (t,t) 3t2 .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 9.3. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции:

X (t) X1 sin t X 2 cos t 3t2 ,

где X1, X2 – некоррелированные случайные величины с

mX1 2; mX2 0,1; DX1 0,01; DX2 0,04.

Задача 9.4. Случайная функция X (t) задана каноническим разложе-

нием:

X (t) sin t X1 sin 2t X 2 cos 2t.

Случайные величины X 1 , X 2 имеют следующие математические ожида-

ния и дисперсии:

mX1 mX 2 0; DX1 0,2; DX 2 0,3.

Найти каноническое разложение случайной функции Y (t) вида:

Y (t) 2t X (t) t3 1.

Определить my (t), K y (t1,t2 ), Dy (t).

Задача 9.5. Случайная функция X (t) задана каноническим разложе-

нием:

X (t) t 2 X1t 2 X 2t3 X 3t 4 .

Случайные величины X1, X2 , X3 имеют следующие математические ожи-

дания и дисперсии:

mX1 mX 2 mX3 0; DX1 1; DX2 2; DX2 0,1.

Найти каноническое разложение случайной функции Y (t) вида:

Y (t) t2 dxd((tt)) 3t.

Определить my (t), K y (t1, t2 ), Dy (t).

Задача 9.6. Корреляционная функция K x (t1, t2 ) случайной функции X (t) задана каноническим разложением:

Kx (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 4 cos t1 cos t2.

Найти каноническое разложение случайной функции X (t) , если ее математическое ожидание: mx (t) t2 3.

Практическое занятие №10. Задача детерминированного линейного

оптимального управления

Теоретические сведения

Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается в первом приближении уравнением

x(t) A x(t) B u(t);

x(t0 ) x(0) , t0 0 ,

(10.1)

где А и В – заданные матрицы чисел размеров n×n и n×m соответственно; x(t) – вектор состояния размерности n×1; u(t) – вектор управления размерности m×1.

Рассмотрим также критерий

J		xT (t)R x(t) uT (t)R u(t) dt		(10.2)
	t0	1	2
	t0

где R1 и R2 – положительно определенные симметрические матрицы размеров n×n и m×m. Тогда задача определения u(t), t0 t , при которой

критерий минимален, называется задачей детерминированного линейного оптимального регулятора с постоянными параметрами.

Закон управления определяется соотношениями

u(t) Fx(t) ,	(10.3)
где
F R 1BT P .	(10.4)
2

Установившееся решение Р является решением алгебраического уравнения Риккати

0 R	PBR 1BT P AT P PA .	(10.5)
1	2

Р является неотрицательно определенной матрицей.

Решение типовых задач

Задача 10.1. Система управления положением.

Движение антенны может быть описано дифференциальным уравне-

нием

		(10.6)
J (t) B (t) (t) .

Здесь J – момент инерции всех вращающихся элементов конструкции, включая антенну; В – коэффициент вязкого трения; (t) – момент, разви-

ваемый двигателем. Предполагается, что момент, развиваемый двигателем, пропорционален входному напряжению (t) , т.е.

(t) k (t) .

Определяя переменные состояния x1(t) (t)									запи-
Определяя переменные состояния x1(t) (t)						и x2 (t) (t) ,			запи-
шем дифференциальное уравнение состояния в виде
	0			1	0				(10.7)
x(t)				x(t) (t) ,					(10.7)
	0
где					B ,		k
x(t) [x (t)	x	2	(t)]T ,				k	.
x(t) [x (t)	x		(t)]T ,					.
1					J		J
Критерий оптимальности имеет вид					J		J
Критерий оптимальности имеет вид
	1			0					(10.8)
J [xT (t)				x(t) 2 (t)]dt .					(10.8)
t0	0			0

Определить u(t), устойчивость замкнутой системы. Решение. В обозначениях (10.1) – (10.5) имеем

A	0		1	0		;	u(t) (t);	R1	1		0	;
A				; B		;	u(t) (t);	R1				;
	0								0		0
Подставляя (10.9) в (10.5), получим
0		1	0	0	1	0	0	0			0
0				P	1	0	P		P	P
		0	0				1				0

Пусть Рij, i,j =1,2 обозначают элементы матрицы Р12 = Р21, получим из (10.10)

R2 .

Р. Тогда,

(10.9)

(10.10)

учитывая

1	0	P11	P12	0		0		P11	P12
0 0	0	P	P	0		2		P	P
		12	22					12	22	.	(10.11)
0	0	P	P	P			P	0	1	.	(10.11)
0	0	P	P	P			P	0	1
		11	12		11		12
1		P12	P22	P12			P22	0

Из (10.11) получим следующие алгебраические уравнения:

		0 1		2		P2	;
						12


		0		2													(10.12)
		0			P12 P22 P11 P12 ;												(10.12)


		0		2	P2 2P				2 P
		0			P2 2P				2 P			.
						22		12			22

Из (10.12) определим Р11, Р12, Р22. Имеем
							P	P					;				(10.13)
							P	P					;				(10.13)
							12		21
						2	P2	2 P				2		0;
							P2	2 P				2		0;
							22			22
	2	4 2	4			2	2

															2
P														2	2	;	(10.14)
P				2						2				2		;	(10.14)
22				2						2
22		2

	2						2								2	2
P11		P12 P22 P12 P12						P22									;



Определим матрицу F из соотношения (10.4). Имеем
		F 1 0		P11		P12			1	P			P ;
				P		P					12			22
					12		22
Соотношение (10.16) с учетом (10.13) и (10.14) примет вид
			1		1					2		2
		F		,									.
		F		,									.

Таким образом

(t) F x(t) . Подставим (10.18), (10.19) в (10.7). Получим

(10.15)

(10.16)

(10.17)

(10.18)

0	1		0		1					2
x(t)	x(t)				1		,	1	2	2	x(t)
x(t)	x(t)						,	1	2		x(t)
0
или
или		0		1
		0		1
	x(t)			2		2		x(t).			(10.19)

Таким образом, оптимальная замкнутая система описывается уравнением

(10.19).

Введем обозначение

		0					1
С							2			2		.									(10.20)




Определим характеристический полином замкнутой системы. Имеем
	S				1
									2						2 S				2	2		.
det(SI C) det			S			2						S								2
det(SI C) det						2						S



Характеристическое уравнение имеет вид
S 2 S			2	2							0 .										(10.21)
S 2 S			2								0 .										(10.21)

Определим корни характеристического уравнения. Имеем
		1		2				2					2			2
S1,2		2																4
S1,2																		4

или
или
			1			2			2					2			2
S1,2			2																.		(10.22)
S1,2																			.		(10.22)

Следовательно, оптимальная замкнутая система устойчива. Задача 10.2. Задача стабилизации угловой скорости.

Объект состоит из двигателя постоянного тока, управляемого входным напряжением (t) , с угловой скоростью вала ξ(t). Система описывает-

ся скалярным дифференциальным уравнением состояния

	(t0 ) 1 0	,	( ) 0 ,	(10.23)
(t) (t) (t),	(t0 ) 1 0	,	( ) 0 ,	(10.23)
где α и – известные константы.
Критерий оптимальности имеет вид
J [xT (t) 1 x(t) 2 (t)]dt .				(10.24)
t0
В обозначениях (10.1) – (10.5) имеем
x(t) = ξ(t); u(t) = (t) ; A = -α; B =χ; R1 = 1; R2 = ρ.				(10.25)

Подставляя (10.25) в (10.5), получим

0 1	2	P2	2 P .	(10.26)

Из (10.26) определим Р. Имеем

P 2 2 2

Определим матрицу F из (10.4). Получим

1									2
1					2
F		2
или
или
						2
F 1 2								.

Таким образом
Таким образом	(t) F (t) .
	(t) F (t) .
Подставим (10.28), (10.27) в (10.23). Имеем
							2			2
			1				2				(t)
(t) (t)											(t)

или
			2	2
(t)				(t)

Эта система асимптотически устойчива.

Задачи для самостоятельного решения

(10.27)

(10.28)

(10.29)

Задача 10.3. Рассмотрим спутник, который вращается относительно своей оси симметрии. Угловое положение спутника в момент t обозначим через (t) , а постоянный момент инерции спутника – через J. С помощью

газовых струй к спутнику может быть приложен вращающий момент (t) ,

который рассматривается как управляющее воздействие системы. Трение отсутствует. Определяя переменные состояния x1 (t) (t) и x2 (t) (t) , запишем дифференциальное уравнение состояния в виде

x(t) 0		1	x(t) 0			(t) ,			(10.30)
где	0	0
где							1
x(t) x (t)			x	2	(t) T ,		1	.
x(t) x (t)			x		(t) T ,			.
	1						J
Критерий оптимальности имеет вид							J
Критерий оптимальности имеет вид
J [xT (t) 1		0 x(t) 2 (t)]dt .							(10.31)
t0	0	0

Определить оптимальный закон управления

(t) F x(t)

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.4. Система описывается дифференциальным уравнением состояния вида

	0	1	0
x(t)		x(t) u(t) ,
0		1	b
где
x(t) x1 (t)			x2 (t) T .
Критерий оптимальности имеет вид
J [xT (t) 1		0 x(t) u2 (t)]dt .
t0	0	0

Параметры α0, α1, ρ, b имеют значения

α0 = 2; α1 = 1; ρ = 0,002; b= 0,787.

Определить оптимальный закон управления u(t) F x(t)

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.5. Система описывается дифференциальным уравнением состояния вида

	0	0	b
x(t)		x(t) u(t) ,
где	1	0	0
где	x(t) x1 (t)		x2 (t) T .
	x(t) x1 (t)		x2 (t) T .
Критерий оптимальности имеет вид
J [xT (t) 0		0 x(t) u2 (t)]dt .
t0	0	1

Определить оптимальный закон управления u(t) F x(t)

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.6. Система описывается дифференциальным уравнением состояния вида

	0	b
x(t)	x(t) u(t) ,
1	0	0
где
x(t) x1 (t)		x2 (t) T .

Критерий оптимальности имеет вид

		0	0	(t)]dt .
J	[xT (t)		x(t) u2	(t)]dt .
t0		0	1

Определить оптимальный закон управления u(t) F x(t)

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.7. Система описывается дифференциальным уравнением состояния вида

		1		0		b
x(t)	1		0		x(t) u(t) ,
						0

где	x(t) x1 (t)		x2 (t) T .
	x(t) x1 (t)		x2 (t) T .
Критерий оптимальности имеет вид
J [xT (t) 0		0 x(t) u2		(t)]dt .
t0	0	1

Параметры α0, α1, ρ, b имеют значения

α0 = 2; α1 = 1; ρ = 0,002; b= 0,787.

Определить оптимальный закон управления u(t) F x(t)

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Практическое занятие №11. Стохастическое линейное оптимальное регулирование

с обратной связью по выходной переменной

Теоретические сведения

Рассмотрим систему
x(t) Ax(t) Bu(t) w1 (t),		t t0	(11.1)
x(t0 ) x0 ,			(11.1)
x(t0 ) x0 ,
где x0 – стохастический вектор со средним значением x0			и матрицей дис-
персий Q0 . Наблюдаемая переменная описывается выражением
y(t) Cx(t) w2 (t),	t t0 .		(11.2)
Совместный случайный процесс w(t) w1 (t)	w2 (t) T является белым шу-

мом с интенсивностью		0
V		0		t 0 .	(11.3)
	1	V2	,	t 0 .	(11.3)
	0	V2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20235.24 Mб4Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики..pdf
#
12.11.202314.93 Mб2Теоретическая механика. Сопротивление материалов.pdf
#
20.11.20232.25 Mб8Теоретическая механика.-1.pdf
#
12.11.2023784.25 Кб3Теоретическая механика..pdf
#
12.11.20236.86 Mб1Теоретические и методологические положения процесса управления предприятиями энергетики в условиях модернизации экономики..pdf
#
20.11.2023696.22 Кб2Теоретические основы автоматизированного управления.-1.pdf
#
13.11.202324.2 Mб16Теоретические основы автоматизированного управления..pdf
#
12.11.20231.52 Mб0Теоретические основы безопасности производственной деятельности..pdf
#
12.11.202321.7 Mб6Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов)..pdf
#
19.11.202332.46 Mб12Теоретические основы переработки полимеров..pdf
#
12.11.20231.7 Mб9Теоретические основы поиска и разведки месторождений нефти и газа..pdf