книги / Теоретические основы автоматизированного управления.-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

где x(t) x1 (t)

x2 (t) T ; d (t) – белый шум с постоянной скалярной ин-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

696.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Тогда задача стохастического линейного оптимального регулирования с обратной связью по выходной переменной является задачей нахождения такого функционала

u(t) f y( ), t0			t ,	t0 t t1 ,	(11.4)
при котором критерий
M	t1				(11.5)
M		xT (t)R1 x(t) uT (t)R2u(t) dt			(11.5)
	t0

достигает минимума. Здесь R1, R2 – симметрические весовые матрицы, та-

кие, что R1 > 0, R2 > 0, t0 ≤ t ≤ t1.

Запишем решение задачи стохастического линейного регулирования с обратной связью по выходной переменной. Для входной переменной

имеем
u(t) F0 xˆ(t) ,					(11.6)
где
F R 1BT P .					(11.7)
	0	2
Здесь P – решение уравнения Риккати
0 R PBR 1BT P				AT P PA .	(11.8)
1	2
Оценка xˆ(t) получается как решение уравнения
			0	y(t) Cxˆ(t) ,
xˆ(t) Axˆ(t) Bu(t) K				y(t) Cxˆ(t) ,	(11.9)
xˆ(t0 ) x0 ,					(11.9)
xˆ(t0 ) x0 ,
где	0 QCTV 1 .
K	0 QCTV 1 .				(11.10)
			2
Матрица дисперсий Q является решением уравнения Риккати
0 QCTV 1CQ AQ QAT V .					(11.11)
2				1

Решение типовых задач

Задача 11.1. Система управления положением описывается дифференциальным уравнением вида

	0	1	0	0	d (t),	(11.12)
	x(t)	x(t)	(t)
	0
где x(t) x1 (t)	x2 (t) T ; d (t) – белый шум с постоянной скалярной ин-

тенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная определяется выражением

(t) 1

0 x(t) m (t) ,

(11.13)

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm. Критерий оптимальности имеет вид

xT (t)

x(t)

(t)

dt .

Определить u(t), K0.

Решение. В обозначениях (11.1) – (11.11) имеем

u(t) (t);

;

B ;

;

R2 ;

y(t) (t);

C 1

0 ;

(t) 0

(t);

(t)

(t);

V2 Vm ;

Подставляя (11.15) в (11.8), получим

(11.14)

(11.15)

0	1	0	P 0		1	0	P 0	0 P P 0		1 .	(11.16)
	0	0					1		0

Пусть Рij, i,j = 1,2 обозначают элементы матрицы Р. Тогда, учитывая Р12 = Р21, получим из (11.16)

0	1	0	P11				P12			0		0		P11	P12
0	0	0 P					P			0		2 P			P
				12				22						12	22	(11.17)
	0	0	P11				P12				P11		P12	0	1 .	(11.17)
	0	0	P11				P12				P11		P12	0	1 .

	1		P12				P22				P12		P22	0
Из (11.17) получим следующие алгебраические уравнения:
		0 1 2					P2		;
								12


		0		2		P12 P22 P11										(11.18)
		0				P12 P22 P11						P12 ;				(11.18)


		0			2
		0				P2 2P 2 P .
							22				12	22

Из (10.18) определим Р11, Р12, Р22. Имеем
						P		P					;			(11.19)
						P		P					;			(11.19)
						12				21

						2
P			2			2	;
P		2	2				;
22		2

	P			2	2	.
	P			2		.
	11

Определим матрицу F0 из соотношения (11.7). Имеем

F	1	0	P11	P12	1	P	P .
0			P	P		12	22
			12	22

Соотношение (11.22) с учетом (11.19), (11.20) примет вид

	1		1		2
F		,		2		.
F		,		2		.
0

Таким образом

u(t) F0 xˆ(t) .

(11.20)

(11.21)

(11.22)

(11.23)

(11.24)

Используя (11.11), определим Q. Пусть qij, i,j = 1,2 обозначают элементы матрицы Q. Тогда, учитывая q12 = q21, получим из (11.11)

0	0	1			0					0						0					0			1		1	1 0 Q
		Q Q																			2		Q			1
		Q Q																			2		Q
или	0				1											0					Vd			0 Vm
или
	0	1 q					q						q						q				0	0
0				11			12									11				12
	0	q12					q22						q12						q22 1
																									(11.25)
	0	0		q11					q12			1 Vm								0		q11		q12 .
		2														0
	0	Vd		q12					q22							0				0 q12				q22
Из (11.25) получим следующие алгебраические уравнения:
		0 2q						1			q2			;
		0 2q									q2			;
				12			Vm					11
							Vm
		0 q22			q12										1		q12 q11;								(11.26)
															1

													Vm
									2V										1	q2
		0 2 q																	1				.
		0 2 q																					.
						22									d			Vm			12
Из (11.26) определим q11, q12, q22													2 2 Vm ;
			q11										2 2 Vm ;												(11.27)

q12	2	2	2 Vm ;	(11.28)
q22 3	2 2		2 2 Vm ;	(11.29)
где
	Vd Vm .			(11.30)

Определим матрицу K0 из (11.10). Имеем

K	0	q11	q12		1	1			q11	1			.
		q	q		0				q
				22			V	m			V	m
		12							12

Соотношение (11.31) с учетом (11.27), (11.28) примет вид

	0					2	2	k
K	0						2		11		.
K			2								.
		2	2				2	k22

Из (11.9) имеем					C BF0 xˆ(t) K
				0						0	y(t) .
xˆ(t) A K											y(t) .

Определим матрицу D вида

(11.31)

(11.32)

(11.33)

							D = A – K0C – BF0.																		(11.34)
Имеем								k					k				0
					K 0C			k					k				0	;
					K 0C			11		1		0		11				;
								k22					k22				0
					0 P							1		0						0
			BF		0 P			P				1		2	P12			2			;
			0				12			22					P12					P22

			A K	0C		0		1			k		0				k				1	;
			A K	0C								11						11				;
						0					k22		0				k22
	k		1			20			20							k11		2					1	2
	11						P12											2	P12					2	P22
D k							P12			P22			k22						P12						P22	.
		22

Примем следующие численные значения параметров:

0,787 радВ с2 ,

4,6 с 1,

0,00002 рад2 В2 ,

(t) 1 0 x(t) m (t) ,

		0,1 кг 1		м 2 ,
		V 10 Н2	м2 с,
		d
		V 10 7 рад2 с.
Имеем		m
Имеем
k11 40,36;	k22 814,34; P12			0,00568;		P22 0,00047
		40,36		1
	D				.
		990,24		19,155
Характеристический полином матрицы D можно найти в виде
		S 40,36		1
		990,24
det(SI D) det		990,24		S 19,155

(S 40,36)(S 19,155) 990,24 S 2 59,5S 1763,3

Характеристическое уравнение имеет вид

S 2 59,5S 1763,3 0 .

Найдем корни характеристического уравнения. Имеем

S1,2	59,5	59,52 4 1763,3	59,5	3512,95	29,75	i59,27 .
		2		2

Таким образом, система, описываемая уравнением (11.33), устойчива.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 11.2. Система описывается дифференциальным уравнением

тенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная определяется выражением

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm. Критерий оптимальности имеет вид

M t1 xT (t) 10

0
	x(t) 2
0		(t) dt

Параметры имеют следующие значения:

0,787;

0,002;

0,1;

Vd 10;

Vm 10 4 .

Определить матрицы F0, K0; проверить на устойчивость систему xˆ(t) A K 0C BF0 xˆ(t) K 0 y(t) .

Задача 11.3. Система описывается дифференциальным уравнением

тенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная определяется выражением

(t) 0 1 x(t) m (t) ,

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm. Критерий оптимальности имеет вид

t1		0	0
	xT (t)			x(t)
M		0	1
t
0

Параметры имеют следующие значения:

0,787;

0,002;

0,1;

2 (t) dt

Vd 10; Vm 10 4 .

Определить матрицы F0, K0; проверить на устойчивость систему xˆ(t) A K 0C BF0 xˆ(t) K 0 y(t) .

Задача 11.4. Система описывается дифференциальным уравнением

вида

				0	b		d (t) ,
	x(t)		1	0 x(t)	0 u(t)	0	d (t) ,
где x(t) x1 (t)	x2 (t) T ;	d (t)		– белый шум с постоянной скалярной ин-

тенсивностью Vd. Наблюдаемая переменная определяется выражением

(t) 0 1 x(t) m (t) ,

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm. Критерий оптимальности имеет вид

M t1 xT (t) 00

0
	x(t) u2
1		(t) dt

Параметры имеют следующие значения:

b 0,787;

4,6;

0,00002;

0,1;

Vd 10;

Vm 10 7 .

Определить матрицы F0, K0; проверить на устойчивость систему xˆ(t) A K 0C BF0 xˆ(t) K 0 y(t) .

Задача 11.5. Система описывается дифференциальным уравнением

вида

x(t) x(t) b u(t) d (t) ,

где d (t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vd. Наблюдаемая переменная определяется выражением

y(t) 1 x(t) m (t) ,

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm. Критерий оптимальности имеет вид

M t1 xT (t) 1	x(t) u2 (t) dt .
t0

Параметры имеют следующие значения:

b 0,787;

4,6;

0,002;

0,1;

Vd 10;

Vm 10 4 .

Определить матрицы F0, K0; проверить на устойчивость систему xˆ(t) A K 0C BF0 xˆ(t) K 0 y(t) .

Практическое занятие №12. Система массового обслуживания с ожиданием

Теоретические сведения

Система массового обслуживания (СМО) называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы обслуживания занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Рассмотрим n-канальную СМО. Поток заявок пуассоновский с интенсивностью . представляет собой среднее число заявок, приходящихся на единицу времени. Поток обслуживания заявок одним каналом пуассоновский с интенсивностью . представляет собой среднее число

обслуженных заявок, приходящееся на единицу времени. 2 занятых канала имеют интенсивность обслуживания заявок, равную 2 . k занятых каналов

имеют интенсивность обслуживания заявок, равную k . Число мест в оче-

реди неограниченно.

Составим перечень состояний системы. Имеем: x0 – все каналы свободны

x1 – занят 1 канал, остальные свободны x2 – занято 2 канала, остальные свободны

xk – занято k каналов, остальные свободны

xn – заняты все n каналов

xn+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди xn+2 – заняты все n каналов, две заявки стоят в очереди

xn+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди Приведем граф состояния СМО. Имеем

Рис. 12.1

Обозначим через Pk(t) (k = 0, 1, …, n+r, …) вероятности состояний системы в момент времени t. Правило составления дифференциальных уравнений для вероятностей P0(t), P1(t), …, Pn+r(t), … следующее:

1)Производная вероятности данного состояния равно определенной сумме слагаемых.

2)Число слагаемых равно числу стрелок, соединяющих данное состояние со всеми остальными состояниями.

3)Слагаемое берется со знаком “+”, если стрелка направлена к данному состоянию и со знаком “–”, если стрелка направлена от данного состояния.

4)Каждое слагаемое равно произведению вероятности того состояния, из которого выходит стрелка, на интенсивность пуассоновского потока по этой стрелке.

Пользуясь правилом построения дифференциальных уравнений на основе графа состояний, получим систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний вида

dP0 (t) P (t) P

(t);

dP1 (t)

( ) P (t) P (t) 2 P (t);

dP2 (t)

( 2 ) P2 (t) P1 (t)

3 P3 (t);

dPk (t)

( k ) P

(t)

(k 1) P

(t);

(12.1)

k 1

dPn (t)

( n ) Pn (t) Pn 1 (t) n Pn 1 (t);

dPn r (t) ( n ) P

(t) P

(t)

n P

(t).

n r

n r 1

Так как СМО может находиться только в одном из состояний, то справедливо соотношение

Pk (t)

k 0

В установившемся режиме имеем

Pk (t) Pk

dPk (t) 0. dt

const;

(12.2)

(12.3)

В результате получим из (12.1) систему алгебраических уравнений вида

0 P0 P1;
0 ( ) P1 P0 2 P2 ;
0 ( ) P1 P0 2 P2 ;
0 ( 2 ) P2 P1 3 P3 ;


0 ( k ) Pk Pk 1 (k 1) Pk 1		(12.4)
0 ( k ) Pk Pk 1 (k 1) Pk 1	;	(12.4)


0 ( n ) Pn Pn 1 n Pn 1;
0 ( n ) Pn Pn 1 n Pn 1;



0 ( n ) Pn r Pn r 1 n Pn r 1.

Из 1-го уравнения системы (12.4) имеем

P	P	P ,	(12.5)
1	0	0
где		.
		.	(12.6)

Из 2-го уравнения системы (12.4) получим

P 2 P 0;		P	1	P	2
			2		2
1	2	2		1

Из 3-го уравнения системы (12.4) имеем

P 3 P 0;		P	1	P	3
			3		3!
2	3	3		2

Для любого k < n получим

Pk kk! P0 .

Для k = n имеем

Pn n P0 . n!

Для k = n+1 имеем

n 1

Pn 1 n n! P0 .

Для k = n+2 имеем

n 2

Pn 2 n2 n! P0 .

Для k = n+r имеем

	n r
Pn r	nr n! P0 ;	r 1, 2,....

Из уравнения

P0 .

(12.7)

(12.8)

(12.9)

Pk 1

k 0

имеем

n 1

n r

n n!

Откуда

P0					1								.	(12.10)
P0		2	3	n	n		2		3		r		.	(12.10)
		2	3	n	n		2		3		r
	1							2		3		r
	1	2!	3!	n!	n!		n	2	n	3	n	r
		2!	3!	n!	n!	n	n		n		n

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20235.24 Mб4Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики..pdf
#
12.11.202314.93 Mб2Теоретическая механика. Сопротивление материалов.pdf
#
20.11.20232.25 Mб8Теоретическая механика.-1.pdf
#
12.11.2023784.25 Кб3Теоретическая механика..pdf
#
12.11.20236.86 Mб1Теоретические и методологические положения процесса управления предприятиями энергетики в условиях модернизации экономики..pdf
#
20.11.2023696.22 Кб2Теоретические основы автоматизированного управления.-1.pdf
#
13.11.202324.2 Mб16Теоретические основы автоматизированного управления..pdf
#
12.11.20231.52 Mб0Теоретические основы безопасности производственной деятельности..pdf
#
12.11.202321.7 Mб6Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов)..pdf
#
19.11.202332.46 Mб12Теоретические основы переработки полимеров..pdf
#
12.11.20231.7 Mб9Теоретические основы поиска и разведки месторождений нефти и газа..pdf