книги / Экономические задачи линейного программирования и их решение с использованием Microsoft Excel

Ограничения на количество материала – в ячейку H3 ввести формулу =СУММ(G3:G8), а в ячейку H9 ввести формулу =СУММ(G9:G15).

Вячейку G17 ввести формулу =СУММПРОИЗВ(C3:C15;G3:G15), в ячейку G18 ввести формулу =СУММПРОИЗВ(D3:D15;G3:G15), в ячейку G19 ввести формулу=СУММПРОИЗВ(E3:E15;G3:G15).

Вячейку G16 записать формулу для целевой функции

=G19/H19.

Вячейку G20 ввести формулу суммы всех деталей

=СУММ(G17:G19).

Для поиска оптимального набора значений переменных, который соответствует максимальному значению целевой функции, следует воспользоваться надстройкой Поиск решения. Заполните диалоговое окно надстройки

(рис. 3.4.2):

1. В поле Оптимизировать целевую ячейку введите адрес ЦФ G16.

2. Ниже выберите параметр Максимум.

3. В поле Изменяя ячейки переменных введите диапа-

зон ячеек с искомыми переменными G3:G15.

4. Установите флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберите параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.

5. Щелчком по кнопке Добавить вызовите окно Добавление ограничения. В этом окне введите ссылки на ячейки ограничений, а также выберите оператор ограничений. Для решения данной задачи нам необходимы следующие ограничения:

– H3 ≤ 50 – ограничение на количество материала первого вида;

101

–H9 ≤ 60 – ограничение на количество материала второго вида;

–G17 ≥ 3·G16 – условие комплектности заготовок первого вида;

–G18 ≥ 2·G16 – условие комплектности заготовок второго вида;

–G19 ≥ 1·G16 – условие комплектности заготовок третьего вида.

6. Нажав кнопку Найти решения, получим результаты решения.

Рис. 3.4.2. Диалоговое окно Поиск решения

102

В окне Результаты поиска решения выберем отчет и сохраним полученный результат как сценарий (кнопка

Сохранить сценарии) с именем Раскрой.

На рис. 3.4.3 приведен оптимальный раскрой материала.

Рис. 3.4.3. Результаты выполнения поиска решения

Анализ отчетов

Теперь необходимо проанализировать отчеты, которые получили при решении задачи.

На рис. 3.4.4 представлен отчет о результатах. Оптимальное значение целевой функции

z(х)max = 56 комплектов, z(х)max = 336 деталей.

103

Рис. 3.4.4. Фрагмент листа Excel с отчетом о результатах

Значения основных переменных прямой задачи:

Значения использованных ресурсов и произведенных заготовок:

Заготовки первого вида = 168. Заготовки второго вида = 112. Заготовки третьего вида = 56. Материал первого вида = 50. Материал второго вида = 60.

Остатки ресурсов и произведенных заготовок (значение дополнительных переменных оптимальной задачи):

Заготовки первого вида = 0.

104

Заготовки второго вида = 0. Заготовки третьего вида = 0. Материал первого вида = 0. Материал второго вида = 0.

На рис. 3.4.5 представлен отчет об устойчивости.

Рис. 3.4.5. Фрагмент листа Excel с отчетом об устойчивости

Проанализировав данные отчета об устойчивости, получим следующие значения:

Приведенная стоимость – это значения дополнительных переменных двойственной задачи; они соответствуют основным переменным прямой задачи и оценивают тот или иной вариант плана.

х1 соответствует приведенная стоимость, равная 0; х2 соответствует приведенная стоимость, равная –0,2; х3 соответствует приведенная стоимость, равная 0; х4 соответствует приведенная стоимость, равная –0,1; х5 соответствует приведенная стоимость, равная 0;

105

х6 соответствует приведенная стоимость, равная –0,1; х7 соответствует приведенная стоимость, равная 0; х8 соответствует приведенная стоимость, равная –0,2; х9 соответствует приведенная стоимость, равная 0; х10 соответствует приведенная стоимость, равная 0; х11 соответствует приведенная стоимость, равная 0; х12 соответствует приведенная стоимость, равная –0,1; х13 соответствует приведенная стоимость, равная –0,1.

Соответствующие способы раскроя 1, 3, 7 и 10 использовать выгодно, они вошли в оптимальный план, так как приведенная стоимость равна 0.

Значения основных переменных двойственной задачи

(теневая цена) – двойственная оценка продукции и материала:

Продукция а1 = –0,2. Продукция а2 = –0,1. Продукция а3 = 0.

Материал первого вида = 0,4. Материал второго вида = 0,6.

Диапазон устойчивости двойственных оценок ресурсов:

22,5 ≤ Материал первого вида ≤ 60.

50 ≤ Материал второго вида ≤ 133,3, т.е. изменение количества материала в данных пределах

не повлияет на значения двойственных оценок, а следовательно, и на эффективность дополнительной единицы соответствующего материала.

Анализ отчетов и выводы по анализу представлены в п 2.6 и 2.7.

106

3.5.Транспортная задача

Вданном параграфе рассматривается задача транспортировки продукта, который в определенных количествах предлагается различными производителями. Известен спрос каждого потребителя на этот продукт. Требуется определить, от каких производителей и в каких объемах должны получать продукт потребители. Поставки должны осуществляться таким образом, чтобы совокупные издержки на транспортировку продукта были минимальными.

Моделирование

Обозначения:

аi – величина предложения продукта в пункте i (i = = 1, ..., n);

bj – величина спроса на продукт в пункте j (j = 1, ..., т); cij – затраты на транспортировку единицы продукта из

пункта i в пункт j;

xij – количество продукта, перевозимого из пункта i в пункт j.

1. Закрытая транспортная задача

Общее предложение равно общему спросу:

при следующих условиях:

107

(3.5.2) – целевая функция (минимум затрат на транспортировку продукта);

(3.5.3) – ограничения по величине предложения в каждом пункте производства;

(3.5.4) – ограничения по величине спроса в каждом пункте потребления;

(3.5.5) – условия неотрицательности объемов перевозок. Условие (3.5.1) – необходимое и достаточное условие существования допустимого плана задачи (3.5.2)–(3.5.5).

2. Открытая транспортная задача

Излишек продукта

Математическаямодельтранспортнойзадачиприметвид

108

Дефицит продукта

3. Транспортная задача с запретами

Пусть Е – множество пар индексов (ij), таких, что из пункта i в пункт j допускается транспортировка продукта. Между любыми другими двумя пунктами транспортировка не допускается.

Пусть М – большое число, например:

Транспортная задача решается с коэффициентом sij.

109

В оптимальном плане {xij*} транспортной задачи при ограничениях (3.5.3)–(3.5.4) xij = 0, если (i,j) не принадлежит Е.

4.Транспортная задача сфиксированнымиперевозками

Если объем перевозок между пунктами i и j задан, то

взадаче (3.5.2)–(3.5.5) вводится дополнительное ограничение xij = Vij, где Vij – заданный объем перевозок.

5.Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность

Если объем перевозок из пункта i в пункт j ограничен

величиной wij, то в задаче (3.5.2)–(3.5.5) вводится дополнительное ограничение xij ≤ wij.

6.Транспортная задача сфиксированнымидоплатами

Предположим, что в открытой транспортной задаче

имеет место дефицит продукта и для его устранения в пунктах i = п + 1, ..., k возможно создание новых мощ-

ностей di.

Пусть переменные zi = 1, если в пункте i (i = п + 1, ..., k) вводятся мощности di, и zi = 0, если в пункте i мощности не вводятся. Издержки на ввод мощностей di в пункте i (i =

=n + 1, ..., k) составляют иi.

Сучетом возможности создания новых мощностей транспортная задача может быть записана в следующем виде.

Математическая модель примет вид

при следующих условиях:

110