книги / Экономические задачи линейного программирования и их решение с использованием Microsoft Excel

Рис. 2.6.3. Диалоговое окно функции СУММПРОИЗВ для ввода целевой функции

Оптимизация рассматриваемой модели, т.е. поиск неизвестных, при которых достигается максимум целевой функции и удовлетворяются все введенные условия, выполняется встроенной процедурой автоматического поиска решения. Вызовем диалоговое окно Поиск решения

ипроизведем следующие установки (рис. 2.6.4):

1.В поле Оптимизировать целевую ячейку введите адрес ЦФ Е7.

2.Ниже выберите параметр Максимум.

3.В поле Изменяя ячейки переменных введите диапа-

зон ячеек с искомыми переменными B8:С8.

4.Установите флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберите параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.

5.Щелчком по кнопке Добавить вызовите окно Добавление ограничения. В этом окне проставьте ссылки на

51

ячейки ограничений, а также выберите оператор ограничений. Аналогично введите другие ограничения.

6. Кнопкой Найти решение запустите процедуру выполнения поиска решения.

Рис. 2.6.4. Диалоговое окно Поиск решения

Выполнение процедуры завершается выводом окна

Результаты поиска решения.

Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Устанавливаем флажок в положе-

нии Сохранить найденное решение. Для анализа резуль-

52

татов решения задачи сформируем отчет, для этого выделим Отчеты (рис. 2.6.5) и нажмем ОК. Отчет автоматически сформируется на отдельном листе Excel.

Рис. 2.6.5. Диалоговое окно Результаты поиска решения

В результате поиска решения получаем значения плана производства продукции А = 57,14 шт. и В = 71,43 шт. А максимум выручки при этом составит 2643 руб.

Анализ отчетов

Теперь необходимо проанализировать отчеты, которые получили при решении задачи.

На рис. 2.6.6 представлен отчет о результатах. Таким образом, проанализировав данные отчета о ре-

зультатах, получим следующие значения.

53

Рис. 2.6.6. Фрагмент листа Excel с отчетом о результатах

Оптимальное значение целевой функции:

z(х)max = 2643 руб.

Значения основных переменных:

х1 = 57,14 шт., х2 = 71,43 шт.

Основные переменные не являются целочисленными. Значения использованных ресурсов:

S1 = 57,14, S2 = 200, S3 = 240, S4 = 57,14.

Остатки ресурсов (значение дополнительных переменных оптимальной задачи):

S1 = 62,85, S2 = 0, S3 = 0, S4 = 12,86.

На рис. 2.6.7 представлен отчет об устойчивости.

Рис. 2.6.7. Фрагмент листа Excel с отчетом об устойчивости

Проанализируем данные отчета об устойчивости.

54

Приведенная стоимость – это значения дополнительных переменных двойственной задачи; они соответствуют основным переменным прямой задачи и оценивают тот или иной вариант плана.

А соответствует приведенная стоимость, равная 0. В соответствует приведенная стоимость, равная 0.

Поскольку приведенная стоимость равна 0, то соответствующие изделия А и В производить выгодно, они вошли в оптимальный план.

Значения коэффициентов эффективности целевой функции и их диапазон:

12,5 ≤ с1 = 15 ≤ 21,25, 17,65 ≤ с2 = 25 ≤ 30.

Это означает, что изменение коэффициентов целевой функции в данных пределах не повлияет на оптимальный план производства (т.е. цены на продукцию А и В могут варьировать в этих пределах).

Значения основных переменных двойственной задачи

(теневая цена) – двойственная оценка ресурсов:

S1 – 0, S2 – 8,93, S3 – 3,57, S4 – 0.

Наиболее дефицитными ресурсами являются ресурсы S2 и S3. Теневая цена этих ресурсов составляет 8,93 и 3,57 руб. соответственно, т.е. при изменении запасов соответствующих ресурсов на единицу, выручка увели-

чится на 8,93 + 3,57 = 12,5 руб.

Диапазонустойчивости двойственных оценокресурсов:

57,14 ≤ S1 ≤ ∞, 143,75 ≤ S2 ≤ 240,

200 ≤ S3 ≤ 270, 57,14 ≤ S4 ≤ ∞.

Таким образом, изменение количества запасов ресурсов в данных пределах не повлияет на значения двойст-

55

венных оценок, а следовательно, и на эффективность дополнительной единицы соответствующего ресурса.

На рис. 2.6.8 представлен отчет о пределах.

Рис. 2.6.8. Фрагмент листа Excel с отчетом о пределах

Проанализировав данные отчета о пределах, сделаем вывод, что при А = 57,14 и В = 0 получим z = 857,14;

а при А = 0 и В = 71,43 получим z = 1785,71.

2.7. Пример оформления отчета решения задачи

После того как задача решена, необходимо составить отчет о решении данной задачи. Приведем пример оформления отчета задачи, решенной в п. 2.5.

Сначала необходимо указать ФИО и группу студента, затем переписать задание, составить математическую модель задачи и решить ее. После этого выписать значения, полученные при решении задачи, и сформулировать вывод.

ФИО, группа

Постановка задачи

Фирма производит два вида продукции – А и В по определенной цене. На их производство требуется четыре вида ресурсов: S1, S2, S3, S4, которые есть в наличии в оп-

56

ределенном количестве. Также имеется информация о том, сколько нужно каждого ресурса на производство

Моделирование

Обозначим переменные величины. Пусть х1 – количество выпускаемой продукции А (шт.); х2 – количество выпускаемой продукции В (шт.).

Тогда целевая функция z = 15x1 + 25x2 → max, а система ограничений примет вид

0,5x1 0, 4x2 120;x1 2x2 200;

1,7x1 2x2 240;0,5x1 0, 4x2 70;

х1, х2 ≥ 0.

57

Решение

Значения основных переменных:

x1 = 57,14 шт., x2 = 71,43 шт.

Значение целевой функции z(x)max = 2643 руб.

Значения дополнительных переменных прямой задачи:

S1 – 62,85, S2 – 0, S3 – 0, S4 – 12,86.

Значения основных переменных двойственной задачи (двойственная оценка ресурсов – теневая цена):

S1 – 0, S2 – 8,93, S3 – 3,57, S4 – 0.

Диапазонустойчивостидвойственных оценок ресурсов:

57,14 ≤ S1 ≤ ∞, 143,75 ≤ S2 ≤ 240,

200 ≤ S3 ≤ 270, 57,14 ≤ S4 ≤ ∞.

Значения дополнительных переменных двойственной задачи (для соответствующих видов продукции):

А соответствует приведенная стоимость, равная 0. В соответствует приведенная стоимость, равная 0.

Значения коэффициентов эффективности целевой функции и их диапазон:

12,5 ≤ с1 = 15 ≤ 21,25, 17,65 ≤ с2 = 25 ≤ 30.

Выводы

Выпуск продукции: в данной задаче максимум выручки составит 2643 руб. при производстве продукции А = 57,14 шт. и В = 71,43 шт.

Использование ресурсов: ресурсы вида S2 и S3 использованы полностью вобъемах соответственно 200 и 240 кг. Ресурс вида S1 использован не полностью, останется 62,85 кг. РесурсвидаS4 использованнеполностью, останется12,86 кг.

58

Оценки ресурсов: для избыточных ресурсов вида S1

иS4 двойственные оценки равны 0. Полностью используемые ресурсы вида S2 и S3 имеют двойственные оценки больше 0. Самый эффективных ресурс вида S2, так как его двойственная оценка максимальная. Величина двойствен-

ной оценки (например для S2) показывает, что на 8,93 руб. увеличится выручка фирмы; если при всех равных усло-

виях увеличить объем ресурса S2 на 1 кг, т.е. взять не 200, а 201 кг и оптимально решить задачу, то целевая функция будет равна 2643 + 8,93 = 2651,93 руб. Данное утверждение справедливо для всех оценок в пределах их устойчивости. Например, для S2 можно увеличить объем на 40 кг

ииметь увеличение выручки на величину 8,93 · 40 = 357,2 руб.

Оценки вариантов плана: продукцию вида А и В выгодно производить, так как соответствующие дополнительные переменные двойственной задачи равны нулю. Эти изделия вошли в оптимальный план.

Оценка коэффициентов эффективности: объем выручки не изменится, если цены на продукцию будут находиться в следующих пределах:

12,5 руб. ≤ Цена продукции А ≤ 21,25 руб. 17,65 руб. ≤ Цена продукции В ≤ 30 руб.

59

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ НАДСТРОЙКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В данном разделе показаны возможности использования модели линейного программирования (ЛП) для определения плана производства. Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказаться для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей. Рассматривается также задача производственного планирования, учитывающая динамику спроса, производства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оперативного управления микроэкономическими объектами.

3.1. Определение оптимального ассортимента

Задача определения оптимального ассортимента позволяет спланировать из имеющегося ассортимента такие виды продукции и в таком количестве, которое дает максимальный эффект при заданных ограниченных ресурсах.

Постановка задачи

Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план

60