книги / Экономические задачи линейного программирования и их решение с использованием Microsoft Excel

годно и оно не вошло в оптимальный план, то оценка затрат на единицу продукции больше результата от единицы продукции. Дополнительная переменная соответствующего неравенства двойственной задачи больше нуля.

2. Если в оптимальном плане переменная прямой задачи больше нуля (xj* > 0), то из условия (1.6.13) соответствующее ограничение двойственной задачи выполняется

как строгое равенство aij yi* cj . Для изделия, которое

выгодно производить и которое вошло в оптимальный план, оценка затрат на одну единицу продукции равна результату от единицы продукции. Дополнительная переменная двойственной задачи равна нулю. Можно судить о выгодности производства той или иной продукции по дополнительным переменным соответствующих ограничений двойственной задачи. Чем меньше дополнительные переменные, тем выгоднее производить эту продукцию. Самая выгодная продукция та, у которой дополнительная переменная равна нулю.

3. Если какое-либо ограничение прямой задачи выполняется как строгое равенство aij x*j bi 0, то из ус-

ловия (1.6.14) соответствующая переменная двойственной задачи больше нуля (yi* > 0). Если какой-либо вид ресурса полностью тратится на оптимальный план, то его оценка больше нуля.

4. Если какое-то ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство aij x*j bi 0, то из условия

(1.6.14) соответствующая переменная двойственной задачи равна нулю (yi* = 0). Если какой-либо ресурс потрачен не полностью на оптимальный план, то его оценка равна нулю. Избыточные ресурсы имеют нулевую оценку.

31

Для небольших изменений объемов ресурсов bi двойственная оценка yi не изменяется, т.е. устойчива; важно найти пределы этой устойчивости двойственной оценки.

Из пунктов 3 и 4 следует, что можно использовать переменные двойственной задачи для оценки дефицитности (эффективности) какого-либо ресурса: чем выше оценка переменной двойственной задачи, тем эффективнее ресурс.

Величина двойственной оценки ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу. Это утверждение для небольших изменений объемов ресурсов в пределах устойчивости двойственной оценки. Утверждение вытекает из первой теоремы двойственности.

Использование двойственных оценок:

1.Оценки как мера дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс – полностью используемый в оптимальном

плане, он имеет положительную оценку yi > 0. Избыточный (недефицитный) ресурс – не полностью

используемый в оптимальном плане, имеет нулевую оцен-

ку yi = 0. Чем больше оценка, тем дефицитнее (эффективнее) ресурс.

2.Оценки как мера влияния ограничения на целевую

функцию. z(x) yi* bi (из 1-й теоремы) – величина

двойственной оценки характеризует прирост (снижение) значения целевой функции при увеличении (уменьшении) объема соответствующего ресурса bi на одну единицу.

3. Оценки как инструмент для определения эффективности отдельных вариантов плана. Это свойство вытекает из 1-го и 2-го условий дополняющей нежесткости, по ве-

32

ный (неплохой). Дополнительная переменная двойственной задачи характеризует соответствующий вариант плана. Чем меньше дополнительные переменные, тем лучше соответствующий вариант плана.

4.Оценки как инструмент балансирования суммарных затрат и результата z(x*) = F(y*).

5.Двойственная оценка относительно устойчива, т.е. при небольших изменениях свободных членов прямой задачи двойственная оценка не меняется. Важно знать пределы устойчивости двойственной оценки.

33

ГЛАВА 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАДСТРОЙКИ MICROSOFT EXCEL

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.1. Описание надстройки Поиск решения

Задача оптимизации – это математическая модель определенного процесса производства продукции, его распределения, хранения, переработки, транспортирования, покупки или продажи, выполнение комплекса сервисных услуг и т.д. Это обычная математическая задача типа дано / найти / при условии, но имеющая множество возможных решений. Таким образом, задача оптимизации – задача выбора из множества возможных вариантов наилучшего, оптимального.

Решение такой задачи называют планом или программой, например план производства или программа реконструкции. Другими словами, это те неизвестные, которые нам надо найти, например количество продукции, которое даст максимальную прибыль. Задача оптимизации – поиск экстремума, т.е. максимального или минимального значения определенной функции, которую называют целевой функцией, например это может быть функция прибыли – выручка минусзатраты. Поскольку всевмире ограниченно(время, деньги, природные и человеческие ресурсы), взадачах оптимизации всегда есть определенные ограничения, например количество материала, рабочих и станков на предприятии по изготовлениюдеталей.

Оптимизационные модели широко используются в экономике для решения различных задач: определение

34

оптимального ассортимента выпускаемой продукции, распределение однородных ресурсов, подбор сбалансированного рациона питания, транспортная задача, задача о назначении и пр.

Модели всех задач на оптимизацию состоят из следующих элементов:

–Переменные – неизвестные величины, которые нужно найти при решении задачи.

–Целевая функция – величина, которая зависит от переменных и является целью, ключевым показателем эффективности или оптимальности модели.

–Ограничения – условия, которым должны удовлетворять переменные.

Мощным средством анализа данных Excel является надстройка Поиск решений.

Надстройка Поиск решений является частью набора команд, которые иногда называют средствами анализа «что– если». С помощью этой надстройки можно найти оптимальное значение (максимум или минимум) формулы, содержащейся в одной ячейке, называемой целевой, с учетом ограничений на значения в других ячейках с формулами на листе. Надстройка Поиск решений работает с группой ячеек, называемых ячейками переменных решения или просто ячейками переменных, которые используются при расчете формул вцелевых ячейках и ячейках ограничения. Надстройка Поиск решений изменяет значения в ячейках пере-

менных решения согласно пределам ячеек ограничения и выводит результатв целевойячейке.

Размер задачи, которую можно решить с помощью базовой версии этой программы, ограничивается следующими предельными показателями:

35

–количество неизвестных – 200;

–количество формульных ограничений на неизвест-

ные – 100;

–количество предельныхусловийнанеизвестные– 400. Разработчик программы Поиск решений компания

Frontline System уже давно специализируется на разработке мощных и удобных способов оптимизации, встроенных в среду популярных табличных процессоров разнообразных фирм-производителей.

Высокая эффективность их применения объясняется интеграцией программы оптимизации и табличного биз- нес-документа. Благодаря мировой популярности табличного процессора MS Excel встроенная в его среду программа Поиск решений является наиболее распространенным инструментом для поиска оптимальных решений в сфере современного бизнеса.

2.2. Организация рабочего листа для решения задач линейного программирования

Существует множество задач, решение которых может быть осуществлено с помощью инструмента Поиск решений. Но для этого следует начать с организации рабочего листа в соответствии с пригодной для поиска решений моделью, для чего нужно хорошо понимать взаимосвязи между переменными и формулами. Хотя постановка задачи обычно представляет основную сложность, время и усилия, затраченные на подготовку модели, вполне оправданны, поскольку полученные результаты могут уберечь от излишней траты ресурсов при неправильном планировании, помогут увеличить прибыль за счет оптимального управление финансами или выявить

36

наилучшее соотношение объемов производства, запасов и наименований продукции.

Рассмотрим пример оформления задачи оптимизации, с помощью которого можно легко понять принцип построения таблицы для эффективности решений практической проблемы оптимизации.

Пусть дана модель оптимизационной задачи: z = 15x1 + 25x2 → max;

0,5x1 0, 4x2 120;x1 2x2 200;

1,7x1 2x2 240;0,5x1 0, 4x2 70.

Организуем рабочий лист для решения данной задачи

(рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1. Построение таблицы исходных данных в MS Excel

Каждая задача оптимизации обязательно должна иметь три компонента:

1)переменные (что ищем, т.е. план);

2)ограничения (область поиска);

3)целеваяфункция(цель, длякоторойищемэкстремум).

37

2.3.Алгоритм постановки и решения задачи

внадстройке Поиск решения

1.Создайте таблицу исходных данных и введите формулы, которые устанавливают связи между ячейками

(см. рис. 2.2.1).

2.На вкладке Данные в группе Анализ щелкните По-

иск решения (рис. 2.3.1).

Примечание: если команда Поиск решения отсутствует, необходимо загрузить надстройку Поиск решения. Для это-

го на вкладке Файл выберите команду Параметры, а затем – категорию Надстройки. В поле Управление выберите значение Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти. В поле Доступные надстройки установите флажок рядомс пунктом Поиск решения инажмите кнопку ОК.

Рис. 2.3.1. Диалоговое окно Поиск решения

38

3.В поле Оптимизировать целевую функцию введите ссылку на ячейку или имя целевой ячейки. Целевая ячейка должна содержать формулу.

4.Выполните одно из указанных ниже действий:

1)Чтобы значение целевой ячейки было максимальным из возможных, установите переключатель в по-

ложение Максимум.

2)Чтобы значение целевой ячейки было минимальным из возможных, установите переключатель в положение Минимум.

3)Чтобы задать для целевой ячейки конкретное значение, установите переключатель в положение Значения и введите в поле нужное число.

5.В поле Изменяя ячейки переменных (рис. 2.3.2) вве-

дите имена диапазонов ячеек переменных решения или ссылки на них. Несмежные ссылки разделяйте запятыми. Ячейки переменных должны быть прямо или косвенно связаны с целевой ячейкой.

Рис. 2.3.2. Диалоговое окно Добавление ограничения

6. В поле В соответствии с ограничениями введите любые ограничения, которые требуется применить. Для этого выполните указанные ниже действия:

39

1)В диалоговом окне Параметры поиска решения нажмите кнопку Добавить.

2)В поле Ссылка на ячейки введите ссылку на ячейку ограничения или имя диапазона ячеек, на значения которых налагаются ограничения.

3)Выберите в раскрывающемся списке отношение (<=, =, >=, цел, бин или раз), которое нужно использовать между ссылкой и ограничением.

Примечание: если выбрать вариант «цел», в поле Ограничение появится значение «целое число». Если выбрать вариант «бин», в поле Ограничение появится значение «двоичное число». Если выбрать вариант «раз», в поле Ограничение появится значение «все разные».

4)Если в поле Ограничение было выбрано отношение <=, = или >=, введите число, ссылку на ячейку (или имя ячейки) или формулу.

5)Выполните одно из указанных ниже действий:

–Чтобы принять данное ограничение и добавить другое, нажмите кнопку Добавить.

–Чтобы принять ограничение и вернуться в диалоговоеокноПараметрыпоискарешения, нажмитекнопкуОК.

6) Чтобы изменить или удалить существующее ограничение, выполните указанные ниже действия:

–В диалоговом окне Параметры поиска решения щелкните ограничение, которое требуется изменить или удалить.

–Нажмите кнопку Изменить и внесите изменения либо нажмите кнопку Удалить.

7.Выберите метод решения:

1) Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ – длягладкихнелинейных задач.

40