книги / Экономические задачи линейного программирования и их решение с использованием Microsoft Excel

менится общая сумма запасов на складе, и в ячейке N8 появится сообщение «Открытая модель».

Рис. 3.5.7. Таблица для решения Открытой модели 1

Эта ситуация приведет к тому, что будут израсходованы не все запасы. Поэтому изменится ограничение M4:M6 ≤ N4:N6 – условие неполного распределения запа-

сов (рис. 3.5.8).

Рис. 3.5.8. Диалоговое окно Поиск решения

121

Результат выполнения поиска решения сохраним в виде сценария с именем «Открытая модель 1».

Результаты решения приведены на рис. 3.5.9.

Рис. 3.5.9. Результаты выполнения поиска решения

Открытая модель 2. Запасы поставщиков меньше потребностей.

Откроем лист Excel с закрытой моделью, удалим из плана доставки полученные результаты и изменим данные в столбце «Потребность» (рис. 3.5.10). Изменится общая сумма потребности, и в ячейке N8 появится сообщение «Открытая модель».

Рис. 3.5.10. Таблица для решения Открытой модели 2

Эта ситуация приведет к тому, что будут удовлетворены не все потребности. Поэтому изменится ограниче-

122

ние I7:L7 ≤ I8:L8 – условие неполного удовлетворения потребностей (рис. 3.5.11).

Рис. 3.5.11. Диалоговое окно Поиск решения

Результат выполнения поиска решения сохраним в виде сценария с именем «Открытая модель 2».

Результаты решения приведены на рис. 3.5.12.

123

Рис. 3.5.12. Результаты выполнения поиска решения

3.6.Задача оптимального развития

иразмещения производства

Нередко возникают ситуации, когда мощность предприятия формируется за счет крупных, неделимых агрегатов и изменяется дискретно, принимая только вполне определенные значения, кратные составляющим ее агрегатам. В этом случае функция, отражающая зависимость затрат от объема производства, будет представлять дискретный набор точек, соответствующих дискретно меняющимся значениям мощности. Получаем задачу целочисленного программирования.

Такие же задачи возникают и тогда, когда для каждого пункта рассчитывается конечное число проектов строительства предприятий различной мощности и оптимальная мощность должна совпадать с мощностью одного из проектов.

Постановка задачи

Имеется т возможных пунктов производства какой-то продукции одного наименования и п пунктов потребления.

124

В каждом пункте потребления известен перспективный спрос bi (i = 1, 2, …, n). Задана матрица транспортных затрат

на единицу продукции tij m n (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

В каждом из возможных пунктов производства задано ki вариантов строительства предприятий, пронумерованных

в порядке возрастания их мощности xi (Ai1, Ai2 ,..., Aik ) . Каж-

дому варианту соответствует значение функции φi (xi), характеризующей зависимость приведенных затрат на продукцию отобъема производства впункте i.

Требуется определить показатели хij – величины поставок i-го поставщика j-му потребителю с целью получения минимума суммарных затрат на производство и транспортировку продукции.

i

ектному варианту.

125

Это задача целочисленного программирования. Одним из наиболее удачных (с практической точки

зрения) способов решения задач развития и размещения в целочисленной постановке является предложенный В.Н. Гофманом метод «коэффициентов интенсивности».

Суть этого метода состоит в следующем. Решается открытая транспортная задача с максимально возможными мощностями для всех пунктов производства xi Aik i 1, 2, , m и ограничением

j1

Воптимальном решении могут оказаться поставщики

(предприятия), связанные с реальными потребителями и фиктивными (строки таких предприятий в транспортной модели называются смешанными). Для всех смешанных строк вычисляются коэффициенты интенсивности как отношения сумм поставок реальным потребителям к мощности:

Очевидно, что коэффициент интенсивности для предприятия, связанного с реальными потребителями, равен 1, а с фиктивными – 0. Для смешанных строк коэффициент больше нуля, но меньше единицы.

Далее среди всех смешанных строк выбирается та, которой соответствует наименьший коэффициент. Она называется переходной. Для этой строки осуществляется переход на меньшую мощность, что ведет, естественно,

126

к увеличению затрат на единицу продукции в этой строке и уменьшению ее конкурентоспособности, так что по тенденции она на последующих итерациях получит еще меньший, а может быть, и нулевой коэффициент интенсивности. Затем вновь решается открытая транспортная модель, вычисляются коэффициенты, выбирается очередная переходная строка и т.д. Процесс итерационный,

вконечном счете все коэффициенты будут равны 0 или 1. Выбор в качестве переходной строки, обладающей наименьшим коэффициентом интенсивности, основан на гипотезе, что вероятность вхождения такого предприятия

воптимальный план крайне мала.

Пример решения задачи в Microsoft Excel

Постановка задачи

Имеется четыре пункта потребления однородного продукта (b1, b2, b3, b4). Спрос потребителей на конечный год планового периода известен и составляет соответственно: 15; 5; 10; 10 т. К моменту начала расчетов в отрасли существует всего два предприятия а1 и а2, мощности которых составляют: а1 – 15 т, а2 – 15 т. Как видим, необходимо развитие отрасли, так как спрос на перспективу составит 40 т. Предприятия а1 и а2 могут расширяться за счет добавления новых технологических линий, каждая из которых обеспечивает увеличение мощности на 5 т. При этом возможно расширение на одну или две технологические линии, не более. Планируется строительство нового предприятия в пункте а3 мощностью 15 или 20 т.

127

Все варианты возможного функционирования предприятий на перспективу и их показатели приведены в табл. 3.6.1.

Таблица 3.6.1

Варианты возможного функционирования предприятий

Потребители продукции и все предполагаемые поставщики связаны транспортной сетью. Затраты на перевозки представлены в табл. 3.6.2.

Таблица 3.6.2

Затраты на перевозки

Требуется определить оптимальный план развития отрасли (где строить и какой мощности) с целью получения минимума суммарных затрат на производство и транс-

128

портировку готовой продукции, а также установить оптимальные связи между производителями и потребителями.

Моделирование

Обозначим переменные величины: хmn – искомые переменные;

х11 – количество ресурсов, перевозимых от поставщика а1 к потребителю b1;

х12 – количество ресурсов, перевозимых от поставщика а1 к потребителю b2;

х13 – количество ресурсов, перевозимых от поставщика а1 к потребителю b3;

х14 – количество ресурсов, перевозимых от поставщика а1 к потребителю b4.

Аналогично для остальных поставщиков. Тогда целевая функция

z = 27x11 + 23x12 + 22x13 + 23x14 + 22x21 + 21x22 +

+23x23 + 25x24 + 22x31 + 25x32 + 26x33 + 25x34 → min,

асистема ограничений примет вид

x11 x21 x31 15;x12 x22 x32 5;

x13 x23 x33 10;x14 x24 x34 10;

x11 x12 x13 x14 25;x21 x22 x23 x24 25;x31 x32 x33 x34 20,

xmn ≥ 0.

Решение

На рабочий лист Excel введем исходные данные и таблицу с изменяемыми ячейками, как и в транспортной задаче

129