книги / Цифровая обработка сигналов

При уменьшении частоты дискретизации (что хорошо) уменьшаются и защитные полосы (что плохо), поэтому рабочая точка выбирается где-то примерно в середине разрешенной зоны (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Выбор рабочей точки для определения частоты дискретизации

Рассмотрим два способа определения рабочей точки. 1. Выбираем среднее значение:

fscntr [ fs fs ] / 2 [(2 fs B) / m (2 fs B) / (m 1)] / 2.

2. Выбирается значение, которое позволит центрировать спектр дискретного сигнала относительно частоты, равной ¼ частоты дискретизации:

fsi 4 fc / modd ,

где modd – нечетное целое число.

Второй способ более предпочтительнее для последующего понижающего преобразования (переноса по частоте), которое применяется во многих алгоритмах цифровой обработки сигналов.

При некоторых допустимых значениях частоты дискретизации, позволяющих избежать явления наложения, имеет место инверсия основного спектра (копии, сосредоточенной в районе частоты 0 Гц). В некоторых случаях, например при симметрии относительно центральной частоты fc, инверсия спектра не оказывает влияния, и ее можно не учитывать. Однако в других случаях, в частности при

31

обработке однополосных сигналов, инверсия спектра может привести к искажениям, и ее нужно избегать.

Условие определения оптимальной частоты дискретизации, при которой копии спектра не соприкасаются, кроме частоты 0 Гц, и не инвертируются в районе частоты 0 Гц, выглядит так:

fsопт (2 fc B) / meven ,

где meven – целое четное число.

Общее количество копий N спектра определяется как отношение ширины полосы частот к удвоенной ширине спектра:

N (2 fc B) / 2B ( fc B / 2) / B.

Чтобы избежать перекрытия спектра, количество копий должно быть равно целому числу, не превышающему N. Определим целое число копий Nint как

Nint ( fc B / 2) / B Nint 1.

Отсюда минимальное значение частоты дискретизации определяется так:

fsmin ( fc B / 2) / Nint .

Обратим внимание, что при выборе частоты дискретизации необходимо учитывать создание защитных полос наряду с исключением наложения и инверсии спектра.

Рис. 2.15. Инверсия спектра сигнала

32

Для обратного преобразования (реинверсии) инвертированного спектра достаточно умножить отсчеты сигнала на последовательность следующего вида (1, –1, 1, –1, …), которую можно обозначить (–1)n. Эта операция эквивалентна умножению на косинус с частотой fs/2 (рис. 2.15).

В результате преобразований можно использовать для обработки получившуюся характеристику.

Контрольные вопросы и задания

1.Способы вычисления периода дискретизации по теореме В.А. Котельникова.

2.Причины проявления наложения (aliasing).

3.Как избежать явления наложения при дискретизации сигналов со спектром, примыкающим к 0?

4.Для полосового сигнала (дана центральная частота fc и ширина спектра B) выполнить следующие действия:

–построить таблицу m, fs' и fs'';

–построить спектральные характеристики для разных m и вы-

брать оптимальные значения частоты дискретизации;

–рассчитать минимальное значение частоты дискретизации без инверсии спектра;

–выбрать оптимальное значение частоты дискретизации из анализа разрешенных зонпо обоимкритериям выборарабочих точек.

Варианты заданий:

33

3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

3.1. Математическое описание ДПФ

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) наряду с цифровой фильтрацией является наиболее распространенной и важной процедурой цифровой обработки сигналов. ДПФ позволяет анализиро-

вать, преобразовывать и синтезировать сигналы такими спосо-

бами, которые принципиально невозможны при непрерывной (аналоговой) обработке [1].

ДПФ – это математическая процедура, которая представляет собой определение частотного представления сигналов. Основу ДПФ составляет, конечно, непрерывное преобразование Фурье:

X ( f ) x(t)e j 2 ft dt,

где x(t) – некоторый непрерывный сигнал во временной области;

j – 1 .

Определим ДПФ в экспоненциальной и тригонометрической

форме:

где X(m) – компонент ДПФ с индексом m, x(n) – отсчет входного непрерывного сигнала с индексом n, N – количество отсчетов входной последовательности, равное количеству частотных отсчетов ДПФ.

Частоты, которые соответствуют индексам m компонента ДПФ, называются аналитическими и определяются так:

fm (mfs ) / N, m 0, N 1.

34

В приведенном выражении частота анализа fm зависит от индек-

са компонента ДПФ m, количества отсчетов N и частоты дискретизации входной последовательности fs.

Каждый отсчет ДПФ X(m) представляет собой комплексной число с действительной частью Xreal(m), мнимой частью Ximag(m), амплитудой (модулем) Xmag(m) и фазовым углом Xang(m):

X (m) Xreal (m) jXimag (m) Xmag (m)e jXang (m) ,

X mag (m) X real2 (m) Ximag2 (m),

Xang (m) arctan(Ximag (m) / X real (m)).

Мощность отсчетов ДПФ, которая называется спектром мощности, представляет собой квадрат амплитуды, или сумму квадратов действительной и мнимой частей.

Пример 3.1.

Задана функция x(t) = sin(2π 1000 t) + 0.5sin(2π 2000 t + 3π/4).

Необходимо выполнить дискретизацию с частотой fs = 8 кГц, а затем ДПФ с N = 8.

Частоты для анализа ДПФ будут определяться как mfs/N =

=m 8000/8 = 0, 1, …, 7 кГц.

Временные отсчеты:

Частотные отсчеты ДПФ:

(рис. 3.1). Для расчета можно воспользоваться программой (см. Приложение).

35

3.2. Свойства ДПФ

Симметрия ДПФ

Для действительных входных последовательностей (каковыми и являются все реальные сигналы) компоненты X(m) и X(N – m) являются комплексно-сопряженными. Это означает, что их модули одинаковы, а фазовые углы – противоположны:

X mag (m) X mag (N m), Xang (m) Xang (N m).

Поэтому для анализа достаточно взять половину компонентов ДПФ, например, от 0 до N/2.

Отметим, что при m = N/2 компонент ДПФ соответствует частоте fs/2, т.е. частоте заворота (частоте Найквиста).

Линейность ДПФ

Свойство линейности заключается в том, что если входная последовательность x1(t) имеет ДПФ X1(m), x2(t) имеет ДПФ X2(m), то ДПФ суммы входных последовательностей xsum(t) = x1(t) и x2(t) рав-

на сумме ДПФ Xsum(m) = X1(m) + X2(m). Это свойство дает возможность анализировать сложные сигналы, которые представляются

суммой гармонических функций в ряду Фурье.

Модули ДПФ

Если преобразуется действительная последовательность, то мо-

дуль (амплитуда) отсчета Xmag(m) = A0m N/2, где A0m – амплитуда гармонического сигнала на частоте, соответствующей отсчету ДПФ

с индексом m.

Сдвиг ДПФ

Сдвиг периодической входной последовательности во времени проявляется в результатах ДПФ как добавка к фазовым углам. Таким образом, если берутся отсчеты не с индекса n = 0, а с индекса n = k, то ДПФ сдвинутой последовательности будет следующим:

Xshifted (m) e j 2 km/ N X (m).

Пример 3.2.

Задана функция x(t) = sin(2π 1000 t) + 0.5sin(2π 2000 t + 3π/4).

Необходимо выполнить дискретизацию с частотой fs = 8 кГц, а затем ДПФ с N = 8. Отсчеты брать со сдвигом k = 3.

37

Явление утечки ДПФ можно предсказать и минимизировать (но не устранить полностью). С учетом утечки амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) отсчета с индексом m при N-точечном ДПФ может быть аппроксимирована функцией, называемой sinc и представленной в виде:

X (m) (N / 2){sin( (k m)) / (k m)},

где k – количество периодов преобразуемой функции на N отсчетах (рис. 3.3). Если входная последовательность имеет целое число k периодов на N отсчетах (центральная частота отсчета точно совпадает с отсчетом с индексом m), утечки не возникает, поскольку значение (k – m) целое число, значение аргумента синуса кратно π и равно 0. Нужно помнить, что ДПФ – дискретизированный вид непрерывного спектра, имеющий значения в точках с индексами m.

а

b

Рис. 3.3. АЧХ ДПФ

40