книги / Цифровая обработка сигналов
..pdf4. АНАЛИЗ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Цифровая фильтрация является одной из основных и важнейших операций цифровой обработки сигналов. Ее развитие стимулировано повсеместным внедрением вычислительной техники, разработкой специализированных устройств, а также необходимостью применения эффективных преобразований различных сигналов.
Само понятие «фильтрация» унаследовано от электроники
иозначает обработку сигнала, при которой изменяются его спектральные характеристики (частотные свойства). В общем случае можно сказать, что фильтрация приводит к подавлению нежелательных частотных составляющих сигнала или даже к восстановлению исходного сигнала.
Рассмотрим принципы построения цифровых фильтров. Общий принцип цифровой фильтрации заключается в вычислении текуще-
го значения выходного сигнала в зависимости от текущего и не-
скольких предшествующих значений входного и, для некоторых фильтров, выходного сигналов. Наличие памяти – главная особенность цифрового фильтра [1].
Фильтры, текущее значение выходного сигнала которых зависит от текущего и нескольких предшествующих значений только входного сигнала, получили название «фильтры с импульсной характеристикой конечной длины». Их еще называют «фильтры с конечной импульсной характеристикой» – КИХ-фильтры. Фильтры, текущее значение выходного сигнала которых зависит от текущего
инескольких предшествующих значений входного и выходного сигналов, получили название «фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины». Их еще называют «фильтры с бесконечной импульсной характеристикой» – БИХ-фильтры. Поскольку КИХ-фильтры проще для анализа и синтеза, начнем рассмотрение именно с них.
61
4.1. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
В общем виде для КИХ-фильтра можно записать выражение относительно n-го выходного отсчета:
M 1
y(n) h(k)x(n k),
k 0
где М – количество входных значений, участвующих в вычислении текущего выходного значения, h(k) – весовой коэффициент при соответствующем (n–k)-м отсчете входного сигнала x(n).
Пример 4.1.
1. y(n) = x(n) + x(n–1).
Вход: [1 –1 1 –1 1 –1 …] (рис. 4.1,а); [1 –1 1 –1 1 –1 …] (рис. 4.1,б); [1 0 –1 0 1 …] (рис. 4.1,в); [1 1 1 … 0 0 0] (рис. 4.1,г).
а б
в |
г |
Рис. 4.1. Входные, выходные и амплитудно-частотные характеристики
62
2. Фильтр среднего значения:
y(n) = 1/5 [x(n) + x(n–1) + x(n–2) + x(n–3) + x(n–4)].
Вход: случайная последовательность (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Входная и выходная характеристики фильтра среднего значения
Как и аналоговый, цифровой фильтр описывается импульсной характеристикой. Импульсная характеристика – это реакция системы (фильтра) на единичный импульс (дельта-функцию). Для определения импульсной характеристики цифрового фильтра в качестве единичного импульса выбирается единственный отсчет с амплитудой, равной 1, до и после которого на вход подаются 0. Зная структуру КИХ-фильтра (выражение для определения текущего выходного значения), можно определить, что единичный импульс проходит через все слагаемые, умножаясь на соответствующий коэффициент h(k). При этом на выходе формируется значение y(n) = h(k). Это означает, что импульсная характеристика совпадает со значениями коэффициентов h(k).
Пример 4.2. Проанализируем свойства фильтра: y(n) = 0,1x(n) + + 0,2x(n–1) + 0,3x(n–2) + 0,2x(n–3) + 0,1x(n–4) (рис. 4.3).
63
Рис. 4.3. Импульсная характеристика КИХ-фильтра
Выражение для вычисления выходного отсчета есть уравнение свертки применительно к КИХ-фильтрам. Свертку традиционно принято обозначать через знак *: y(n) = h(k)*x(n) (читается как «свертка h от k и x от n»). Применительно к КИХ-фильтрам свойство свертки формулируется следующим образом: свертка импульсной характеристики фильтра и входной последовательности во временной области равна произведению ДПФ импульсной характеристики и спектральной характеристики входной последовательности. Справедливо также и обратное преобразование:
ДПФ
y(n) h(k)* x(n) H (m) X (m) Y (m).
ОДПФ
Зная значения и спектральную характеристику входного сигнала и ДПФ импульсной характеристики, можно определить коэффициенты импульсной характеристики (что и необходимо определить для синтеза цифрового фильтра). Соотношения свертки применительно к КИХ-фильтрам приведены на рис. 4.4. Можно сделать вывод, что частотная характеристика цифрового фильтра есть ДПФ импульсной характеристики.
64
Рис. 4.4. Соотношения свертки применительно к КИХ-фильтрам
Для получения АЧХ- и ФЧХ-фильтра с известными коэффициентами нужно, при необходимости, дополнить последовательность нулями для увеличения точек ДПФ, а затем взять ДПФ и его характеристики: модуль и фазовый угол.
Пример 4.3. Дан КИХ-фильтр следующего вида:
y(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n–1) + h(2)x(n–2) + + h(3)x(n–3) + h(4)x(n–4).
Наборы коэффициентов:
h1 = [0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2], h2 = [0,1; 0,2; 0,2; 0,2; 0,1], h3 = [0,04; 0,12; 0,2; 0,12; 0,04].
Построим и сравним АЧХ и ФЧХ фильтров (рис. 4.5). Структура КИХ-фильтра с М составляющими (ответвлениями),
формирующими выходное значение, представлена на рис. 4.6. Элементы задержки представляют собой память (в аппаратной
или программной реализации). В общем случае при вычислении одного выходного отсчета нужно выполнить M двухразрядных умножений и одно M-разрядное сложение.
65
Рис. 4.5. АЧХ и ФЧХ КИХ-фильтра с разными коэффициентами
x(n) |
x(n–1) |
x(n–2) |
x(n–3) |
x(n–(M–1)) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задержка |
|
|
|
Задержка |
|
|
Задержка |
|
Задержка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(0) |
h(1) |
h(2) |
h(3) |
h(M–1) |
|||||||
y(n)
Рис. 4.6. Структура КИХ-фильтра с М ответвлениями
Основной задачей, решаемой при проектировании цифровых фильтров, является определение коэффициентов h(k) по заданной частотной характеристике. Рассмотрим процесс проектирования КИХ-фильтров для ФНЧ, ПФ, ФВЧ. Проанализируем два наиболее широко распространенных метода: метод окон и оптимизационный метод.
66
Проектирование КИХ-фильтров нижних частот
При проектировании КИХ ФНЧ методом окон выполняются следующие этапы решения:
1. Задается дискретная частотная характеристика фильтра
H(m). Для этого необходимо задаться такими параметрами, как количество точек преобразования N, частота дискретизации fs, частота среза фильтра fср. Дискретная частотная характеристика строится для идеального фильтра, т.е. для частот, меньших по модулю частоты среза, она равна 1, а для остальных – 0. Дискретная частотная характеристика центрируется относительно 0 и анализируется
вдиапазоне [–N/2 N/2), или [–fs/2 fs/2).
2.Определяется импульсная характеристика фильтра h(k) как обратное дискретное преобразование Фурье для последовательности H(m).
3.Для удобства дальнейших вычислений импульсная характеристика сдвигается вправо на N/2 точек, т.е. центрируется относительно точки N/2 в диапазонеположительныхчастот[0 N–1], или [0 fs].
4.Симметрично относительно точки N/2 выбираются M/2 значений сдвинутой импульсной характеристики, где М – количество ответвлений (коэффициентов) фильтра.
При построении частотных характеристик фильтра можно уви-
деть пульсации в диапазоне [–fср fср]. Эти пульсации, называемые также явлением Гиббса, возникают из-за наложения отсчетов ДПФ, каждый из которых представляет собой выражение вида sin(x)/x. Очевидно, что пульсации принципиально неустранимы и могут быть минимизированы за счет применения взвешивания окном. Для этого полученная последовательность h(k) умножается (во временной области) на последовательность окна (Хэннинга–Ханна, Хэмминга, Блэкмана, Чебышева, Кайзера и т.д.). В результате пульсации в диапазоне пропускания КИХ ФНЧ значительно сглаживаются.
Пример 4.4. Построить КИХ ФНЧ: частота среза фильтра 3
fs/N, количество точек N = 32, частота дискретизации fs = 32 кГц, количество ответвлений М = 9, 19, 31. Применить окна для сглаживания пульсаций в полосе пропускания (рис. 4.7).
67
а |
б |
в
Рис. 4.7. Характеристики ФНЧ для разных М
Проектирование полосовых КИХ-фильтров
При проектировании полосовых КИХ-фильтров выполняется следующая последовательность действий:
1.Проектируется КИХ ФНЧ с частотой среза B/2, где B – ширина полосы пропускания полосового фильтра.
2.Для сдвига частотной характеристики вверх по частоте необходимо умножить рассчитанную для ФНЧ последовательность h(k) на последовательность, представляющую отсчеты синусоиды час-
тотой fc, где fc – центральная частота полосового фильтра.
Для уменьшения пульсаций можно использовать метод взвешивания окном.
Пример 4.5. Построить КИХ ПФ: центральная частота fs/4, полоса пропускания B = 4 кГц, количество точек N = 32, частота
дискретизации fs = 32 кГц, количество ответвлений М = 9, 19, 31 (рис. 4.8).
68
а |
б |
в
Рис. 4.8. Характеристики ПФ для разных М
Проектирование КИХ-фильтров верхних частот
При проектировании КИХ-фильтров верхних частот выполняется следующая последовательность действий:
1.Проектируется КИХ ФНЧ с заданной частотой среза (берется частота среза для ФВЧ относительно частоты fs/2).
2.Для сдвига частотной характеристики вверх по частоте необходимо умножить рассчитанную для ФНЧ последовательность h(k) на последовательность, представляющую отсчеты косинусоиды частотой fs/2, где fs – частота дискретизации, или последовательность 1
счередованием знака (1, –1, 1, –1, 1, –1, …).
Для уменьшения пульсаций можно использовать метод взвешивания окном.
Пример 4.6. Построить КИХ ФВЧ: частота среза фильтра 12 кГц, количество точек N = 32, fs = 32 кГц, количество ответвле-
ний М = 9, 19, 31 (рис. 4.9).
69
а |
б |
в
Рис. 4.9. Характеристики ФВЧ для разных М
Проектирование КИХ-фильтровоптимизационнымметодом
Суть оптимизационного метода (называемого еще методом замен Ремеза, методом Паркса–Маклеллана) заключается в том, что требуемая АЧХ фильтра задается с дополнительными параметрами, что позволяет спроектироватьвысококачественный КИХ-фильтр (рис. 4.10).
Рис. 4.10. Задание АЧХ при проектировании КИХ-фильтра оптимизационным методом
70