книги / Цифровая обработка сигналов

Выпишем результаты для X(m) и X(m+N/2):

Проанализируем полученные выражения. Вместо вычисления N-точечного ДПФ необходимо выполнить два N/2-точечных ДПФ и воспользоваться их результатами для вычисления всех N компонентов ДПФ. Иллюстрация БПФ для значения N = 8 дана на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Иллюстрация 8-точечного БПФ с использованием двух 4-точечных ДПФ

51

Черными точками обозначены выходы N/2-точечного ДПФ, представляющего собой ДПФ для определенного значения m. Также указаны поворачивающие коэффициенты, которые умножаются на соответствующую сумму отсчетов с нечетными индексами. Очевидно, что количество математических операций (комплексных умножений как операций, требующих наибольшую вычислительную мощность) для N-точечного ДПФ больше, чем для двух N/2- точечных ДПФ, поэтому эффективность БПФ доказана.

Для повышения эффективности БПФ (снижения количества операций по сравнению с соответствующим ДПФ) можно разбивать каждое БПФ еще напополам до тех пор, пока все преобразования не сведутся к 2-точечному (наиболее простому).

ПредставимотсчетыБПФ X(m) иX(m+N/2) следующимобразом:

X (m) A(m) (WN )m B(m), X (m N / 2) A(m) (WN )m B(m).

Каждую сумму (N/2-точечное ДПФ) A(m) и B(m) можно аналогично представить через два N/4-точечных ДПФ (это возможно, поскольку выбрано преобразование по основанию 2). Покажем это:

n 0

m 0,(N / 4) 1.

Указанным способом можно дойти до 2-точечного ДПФ. Покажем реализацию 8-точечного БПФ через четыре 2-точечных ДПФ

(рис. 3.12).

Структура, иллюстрирующая БПФ, в литературе часто называется «бабочкой». С учетом упрощений ((WN)0 = 1, (WN)N/2 = –1) по-

строим сигнальный граф БПФ для N = 8 (рис. 3.13).

52

Покажем, какие могут быть структуры при прореживании по времени или по частоте (рис. 3.14–3.19).

Рис. 3.14. 8-точечное БПФ с прореживанием по времени, бит-реверсивным порядком следования входных данных и нормальным порядком следования выходных данных

Рис. 3.15. 8-точечное БПФ с прореживанием по времени, нормальным порядком следования входных данных

и бит-реверсивным порядком следования выходных данных

55

Приведем структуры «бабочек» для 2-точечного ДПФ

(рис. 3.20, 3.21).

а

б

в

Рис. 3.20. Структура «бабочек»: а – исходная, б – упрощенная; в – оптимизированная формы

а б

Рис. 3.21. Другой способ изображения «бабочек»: а – с прореживанием по времени, б – с прореживанием по частоте

58

3.4.Недостатки дискретного преобразования Фурье

иих нивелирование вейвлет-преобразованием

Преобразование Фурье является обратимым образованием, т.е. из его коэффициентов посредством обратного преобразования может быть получен исходный сигнал. Однако только одно из представлений доступно для нас в каждый момент времени: частотную информацию нельзя извлечь из временной, а временную – из частотной. Возникает естественный вопрос: возможно ли получить со-

вместное частотно-временное представление сигнала?

Преобразование Фурье дает частотную информацию, содержащуюся в сигнале – каково содержание каждой частоты в сигнале. Однако в какой момент времени возникла та или иная частота, когда она закончилась – на эти вопросы ответ получить не удастся. Впрочем, эта информация и не требуется, если сигнал стационарный и его параметры (например, частота) не изменяются во времени. Поэтому при частотном анализе таких сигналов и не требуется временная информация – все частоты присутствуют в сигнале на протяжении всего времени [5].

Преобразование Фурье позволяет увидеть частотное наполнение сигналов, но не позволяет определить, в какой момент времени существует та или иная частота. Поэтому оно непригодно для анализа нестационарных сигналов, за исключением применения для анализа нестационарных сигналов, если нас интересует лишь частотная информация, а время существования спектральных составляющих неважно. В случае если требуется временная локализация спектральных компонент, необходимо обратиться к частотно-

временному представлению сигнала [5].

Вейвлет-преобразование относится как раз к этому типу преобразований. Оно обеспечивает частотно-временное представление сигналов. При вейвлет-анализе сигнал перемножается с базисной функцией (вейвлетом), и преобразование выполняется раздельно для разных участков времени сигнала.

Слово вейвлет означает маленькая волна. Под маленькой понимается то, что эта функция (окно) имеет конечную ширину (компактный носитель). Слово «волна» отражает тот факт, что вейвлет-

59

функция осциллирует. «Материнский вейвлет» является прототипом для всех оконных функций. Вместо частотного параметра имеется параметр масштаба, который можно определить как величину, обратную частоте. Более подробно про вейвлет-анализ можно прочитать в [5].

Контрольные вопросы и задания

1.Как связаны количество отсчетов во временной области n

ив частотной области m?

2.Что означают и как определяются аналитические частоты?

3.Чем важно для практического применения свойство симметрии ДПФ?

4.К чему приводит сдвиг ДПФ?

5.Какие причины появления утечки ДПФ?

6.Способы снижения эффекта утечки ДПФ?

7.Какой эффект дает дополнение ДПФ нулями?

8.Практические аспекты применения ДПФ.

9.Быстрое преобразование Фурье – аппроксимация или точное вычисление?

10.Виды прореживания БПФ.

11.Недостатки ДПФ.

12.Сущность вейвлет-преобразования.

60