книги / Численные методы. Ч. 5

Складывая третье и четвёртое уравнения этой системы и учиты­ вая условие теплового баланса qt + q,, = 0 , можно исключить неиз­ вестные величины внутренних тепловых потоков между соседними сегментами и [xi9xi+l], что снизит размерность системы ли­ нейных алгебраических уравнений:

Аналогичная процедура ансамблирования выполняется для всех остальных уравнений этой системы. В результате система линейных алгебраических уравнений для определения температурного поля всего стержня принимает вид

(6sinA+sin2A) 4(l-cos2A)

АР

где Q° и - тепловые потоки на левом и правом торцах стержня соот­ ветственно. Для учёта граничного условия первого рода 7’(^)|х=0= Т° на

левом торце стержня следует первое уравнение приведённой системы заменить уравнением Т0 = Т°. Для включения в систему уравнений гра­

ничного условия третьего рода АТ'(х)|м = - а [r(;t)|j=ji - r j на правом

конце стержня используется соотношение 0 1=а [г(х)| -71,]=

= а[Гт -Г те]. Последнее уравнение приведённой системы

Исключённые из системы уравнения в дальнейшем, после вы­ числения узловых коэффициентов 7}, могут быть использованы для определения тепловых потоков 0 ° и

Алгоритм решения

Ниже приведён фрагмент программы на языке Си, реализующей процедуру построения приближённого решения дифференциального уравнения с использованием кусочно-линейных пробных функций.

Программа 2.2

//h длина сегмента

//W0 амплитуда мощности источников

//L коэффициент теплопроводности

#define Ne 64

void main(void)

{double globalC[2*Ne+l] [ 2*Ne+l], globalF[2*Ne+l], x[Ne+l]; double locale[2] [2], localF[2], x0=0., xl=M__PI, h=(xl-xO)/Ne; double L = 7 0 .0, W=1000.0, T0=100.0, Te=20.0/ A=30.0;

int i, j, k, Nk=Ne+l;

//определение координат и номеров узлов каждого сегмента for(k=0; k<Nk; k++) x[k]=xO+h*k;

//инициализация массивов коэффициентов и правых частей

//системы уравнений

for(i=0; i<2*Ne+l; i++)

for(globalF[i]=0.0/ j=0; j<2*Ne+l; j++) globalC[i] [j]=0.0; for(k=0; k<2*Ne+l; k++)

// формирование матриц коэффициентов и правых частей для сегмента

{locale [0] [0]=7.0 *L/(3.0*h);

locale [0] [1] =localC[1] [0]= - 8 .0*L/(3.0*h) ; locale [0] [2] =localC [2] [0] =L/ (3.0*h) ; locale [1] [1]=16.0 * L / (3.0*h);

locale [1] [2]=localC [2] [1]= - 8 .0*L/(3.0*h) ;

locale[2] [2]=7.0*L/(3.0*h);

localF [0] =W0* ((3.0*sin (x [kj )+sin (x [k+1] ))/h- (4.0/ (h*h) -

1.0)*cos(x[k])+4.Q*cos(x [k+l])/ (h*h) );____________

l o c a l F [1]= W 0 * (8.0*(cos(x[k])-cos(x[k+1]))/ (h*h)- 4 . 0 * (sin(x[k])+sin(x[k+1]))/ h ) ;

localF [2]= W 0 * ((sin(x[k])+3.0*sin(x [k+1]))/ h + (4.0 / (h*h)- 1.0)*cos(x [k+1])-4.0*cos(x[k])/ (h*h));

// формирование матриц коэффициентов и правых частей для объекта globalC[2*k] [2*k]+=1оса1С [0] [0];

globalC [2*k] [2*k+l]+=localC [0] [1]; globalC[2*k] [2*k+2]+=localC [0] [2]; globalC[2*k+l][2*k]+=localC[1][0]; globalC[2*k+l][2*k+l]+=localC[1][1]; globalC[2*k+l][2*k+2]+=localC[1][2]; globalC[2*k+2] [2*k]+=localC [2] [0]; globalC [2*k+2] [2*k+l]+=localC [2] [1]; globalC[2*k+2] [2*k+2]+=localC [2] [2]; globalF[2*k]+=localF[0]; globalF[2*k+l]+=localF [1]; globalF[2+k+2]+=localF [2];

}

// определение граничного условия 1-го рода на левом торце globalC [0] [0] =1.0;

for(k=l; k<2*Ne+l; k++) g l o balC[0] [k]=0.0; globalF [0]=T0;

// определение граничного условия 3-го рода на правом торце globalC [2*Ne] [2*Ne]+=А;

globalF[2*Ne]+=A*Te;

//решение системы линейных алгебраических уравнений GAUSS(globalC, globalF, 2*Ne+l);

i _______________________________________________________________

Реализация алгоритма

Первоначально отрезок [0, п\ разбивается на четыре сегмента равной длины

[О, л] = [0,л/4] U[л/4,л/2] U [я/ 2,3л/4] U [3л/4,л].

На каждом из этих сегментов в соответствии с выражением (2.11) определяются кусочно-квадратичные пробные функции. Ре­ шение дифференциального уравнения представляется разложением (2.9). Для построения приближённого решения необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффи­ циентов 7).

В соответствии с приведёнными выражениями и количествен­ ными значениями физических констант подсчитываются значения интегралов (с учетом определения (2.19) пробных функций):

- коэффициенты и правая часть системы уравнений для сег­ мента [0, л/4]:

к/Л —^

Mp'oWP <& = ~ = 207,962,

оЗА

*/} •/* о т

р Ж (*Ж/2(*)* = JWifi (*Ж (*)<Ь= - — = -237,671,

ПП

' 207,962Го - 237,6717;/2 + 29,70897; = 1,03391,

- - 237,671Г0+ 475,3437;/2- 237,6717; = 197,299,

29,70897’o - 237,67\Ty2+ 207,9627; = 94,5598;

- коэффициенты и правая часть системы уравнений для сегмента [л/4,я/2]: