книги / Численные методы. Ч. 5

__________ а__________

*Фз/гОО/Л

“ . . Л .

-0,2 ---------------------------------

0 7С/4 л/2 Зл/4 я

Рис. 1.9. Кусочно-квадратичные пробные функции на сегменте [0,л/4] (а); кусочно-квадратичные функции,

ассоциированные с узлами сегментов (б-к)

Матрица коэффициентов и правая часть системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения функции cos х по системе кусочно-квадратичных пробных функций

На рис. 1.11, я показана зависимость от координаты х погрешности

9

Д = С08(*)-£в,ф/(*)

1=0

представления функции cos х разложением (1.2) при т = 4.

В табл. 1.6 приведены значения погрешности (1.1) аппроксима­ ции функции cos х при различных значениях числа слагаемых в раз­ ложении (1.2). Эти же данные представлены в графическом виде на рис. 1.11,6.

С использованием формулы (В.1) приближенно определяется по­ рядок погрешности аппроксимации функции cos х разложением (1.2):

6 = ( In0,2748 • 10~' - In0,9335 • 1 (Г6)Д In1,570796 - In0,049087) = 2,96909.

Это показывает, что погрешность аппроксимации заданной функции методом Галёркина с использованием кусочно-квадра­ тичных функций можно приближенно оценить как величину третьего порядка относительно длин h сегментов одинаковой длины,

т.е. 8Ш= | / - 1 ^ | | = ° ( Л3)-

А

0,002

0

-0,002

-0,004

Рис. 1.11. Погрешность кусочно-квадратичной аппроксимации функции COSJC с использованием 4 сегментов на отрезке [0, я] (а) и зависимость погрешности аппроксимации от длин h сегментов (б)

3.С использованием разработанной программы определены ко­ эффициенты и построены разложения заданной функции COSJC по системе кусочно-квадратичных функций для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сег­ ментов постоянной длины (см. рис. 1.8).

4.Для указанной последовательности разложений определены по­ грешности аппроксимации заданной функции (см. табл. 1.4) соответст­ вующими линейными комбинациями кусочно-квадратичных функций.

5.Показано, что с уменьшением длин сегментов погрешность ап­ проксимации уменьшается (см. рис. 1.9). Установлено, что погреш­ ность аппроксимации имеет третий порядок относительно длины сег­ ментов (шага интегрирования).

6.Выполненное исследование показывает, что процесс аппрок­ симации функции cos* линейной комбинацией кусочно-квадратич­

ных функций сходится равномерно на заданном отрезке [0, тс].

7. Для аппроксимации функции cos * с использованием кусочно­ линейных функций на разностной сетке, содержащей 64 сегмента, на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требуется 1,2-10-2с.

1.4. Иерархическая система кусочно-непрерывных функций

Заданный отрезок [0, тс] разбивается на т сегментов G, =

система кусочно-непрерывных пробных функций (рис. 1.13):

Фм/2 М = - 2 ( * - * ы )(* - * м/2)2( * - * ;)/Л2 . •••>

=[хн ,лг,].

Линейные функции ф,_, (х) и <р, (х) построены так, что в «своём» (одноимённом) узле принимают значения, равные 1, а в «чужом» узле - значения, равные 0:

Фм (*,-> ) = Ф, ( * / ) = Ь Фм {*1) = Ф/ ( * м ) = °-

Квадратичная функция (рм/2 (х ) в «своём» узле имеет значение, равное 1; в «чужих» узлах - значения, равные 0:

Ф/-1/2 (*/-1/2 ) = 1» ’ Ф/—1/2 (*/-1 ) = Ф/-1/2 ( * / ) =

Кубическая функция ф-_,/2(*) в узлах хм , *м/2 и xt имеет значе­ ния, равные 0; в центральном узле х._1/2 первая производная этой функции равна 1:

Рис. 1.13. Иерархическая система кусочно-непрерывных пробных функций

Функция четвёртой степени <р'_|/2 (х) в узлах хм , х_|/2 и х, имеет значения, равные 0; в центральном узле х,_1/2 первая производная этой функции равна 0, вторая производная равна 1: