книги / Численные методы. Ч. 5
.pdfД/4 |
|
«s'! |
|
J^-tps/2 (*)f |
= |
= 475,343, |
|
rn |
|
ЭП |
|
Зл/2 |
Зя/2 |
|
у |
{ М >2 (*)ф'э (x)dx= |
}^ф'з(* Ж |
{x)dx = - - = -89,1268, |
|
Jf/2 |
я/2 |
|
" |
Зя/2 |
|
. |
|
fX[(p;(x)fЛ = - |
= 89,1268, |
||
Ф |
|
h |
|
Зя/2 |
|
Зя/2 |
|
JX(p;/2(хЖз (*>fc = |
/я.фз (x V 5/2 (x>ic = 0,0; |
||
я/2 |
|
я/2 |
|
W0 jsinxcp, {x)dx = 0^cos2A - sin3^ ~ sm2^j = 373,933,
Зл/2 |
8(cos2/*-cos3A) 4(sin2A + sin3A) = 476,323, |
Jsin xcp5/2 (x)dx = WQ |
|
Я/2 |
|
Зя/2
Jsinx<p3(.r)a!r = 0'o sin3/*-sin2/j -cos ЗА =334,184;
Ф
89,1268Г2 +0,0Г5/2 +89,1268Г3 =372,923,
-0,0Г2 +475,343Г5/2 + 0,0Г3 =476,323, 89,1268Г2 +0,0Г5/2 +89,12687’3 =334,184;
-коэффициенты и правая часть системы уравнений для сегмента [Зл/2,я]:
[Я,[фз(дг)]2dx =— =89,!268,
зф |
h |
]х<р;(дсЖ/г |
= ^ф'7 /2 (*)фз(*)* =0,0, |
Зл/2 |
Зл/2 |
|^[ф7/2 (*)? ^ = ~^г = 475,343,
JXq»;(jc)q»;(jc)£& = Jb q tfx M * )* = ~ J =-89,1268,
Зл/2 Зл/2 7
|Х[ф' (х)]2<& = ^ = 89,1268,
Зл/2 h
JX(p'7/2(х)ф'4(х>& = |
|Хф'4(х)ф'7/2(х>& = 0,0; |
|||
Зл/2 |
|
Зл/2 |
|
|
Ж0 Jsin хфз (X)G6C= |
f cos3^ + |
|
= 1 93,209, |
|
Зл/2 |
|
^ |
^ |
' |
л |
8(COS3A -COS4/7) |
4(sin 3/г+ sin 4/г) = 197,299, |
||
W0 \smx<S}in{x)dx = W0 |
||||
Зл/2 |
|
|
|
|
W0 jsin хф4 (x)dx = fVg - S |
f i ) . |
99,6837. |
||
Зл/2 |
|
|
|
|
' 89,1268T3+ 0,0T7/2+ 89,1268Г4 =193,209,
«+0,0Г3 +475,343Г7/2 + 0,0Г4 =197,299,
89,1268Г3 + 0,0Г7/2 + 89,1268Г4 =99,6837.
Ансамблирование систем, полученных для каждого сегмента, приводит к формированию общей для всего стержня системы линей ных алгебраических уравнений относительно коэффициентов 7} при
ближённого решения (2.9) дифференциального уравнения. |
|
|||
Учёт граничного условия |
первого |
рода Г(х)|х=() = Г° |
на левом |
|
торце |
стержня и граничного |
условия |
третьего рода |
A.7T/(JC)|JC=JC= |
= - а |
на правом конце стержня приводят к системе ли |
нейных алгебраических уравнений, приведённой в табл. 2.7.
Таблица 2.7
Матрица коэффициентов и правая часть системы линейных алгебраических уравнений для построения приближённого решения дифференциального уравнения с использованием кусочно-квадратичных пробных функций
1,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
100,0 |
0,0 |
475,343 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
197,299 |
-89,1268 |
0,0 |
178,254 |
0,0 |
-89,1268 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
527,393 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
475,343 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
476,323 |
0,0 |
0,0 |
-89,1268 |
0,0 |
178,254 |
0,0 |
-89,1268 |
0,0 |
0,0 |
745,847 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
475,343 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
476,323 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
-89,1268 |
0,0 |
178,254 |
0,0 |
-89,1268 |
527,393 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
475,343 |
0,0 |
197,299 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
-89,1268 |
0,0 |
119,127 |
699,684 |
Результаты расчётов
Использование Программы 2.2 даёт решение этой системы урав нений:
Г0 =100,0, 7^=102,119, 7] = 103,407, Г3/2 = 103,154, Г2 = 100,897,
Т5/2 =96,4594, Г3 =90,018, Г7/2 =82,0351, Г4 =73,2219.
Приближённые решения дифференциального уравнения на отрез ке [0, п], полученные на основе кусочно-квадратичного представления (2.9), приведены на рис. 2.7 с использованием 4 (а) и 64 (б) сегментов. Полученное приближённое решение даёт возможность определить по токи тепла с торцевых поверхностей стержня. Первое
|
\т* + 0,0Т]/2 - |
= WQ[ |
\ |
- Q°, |
и последнее |
|
|
|
|
--Т., + or„ n*h•. - w,{1 |
h |
) |
||
h |
1 h |
m \ |
уравнения, исключённые ранее из системы, преобразуются к виду
+Г,-Г Д
Точное решение (2.18) поставленной задачи позволяет опреде лить точные значения потоков на торцах стержня
e ° = m * L 0 = JT0cos;t + |
'о- « ( г 0 - 7 L )) ] |
|
Л |
||
|
А + ап |
|
e i = - x r (x) | „ i = - ff0cosx + |
^(^0 -g (r° - r j ) ' |
|
Х + ал |
||
|
_ m t x( w0- а{т° |
- 7 L )> |
|
"0 |
\л +ап |
5 |
X(fV0 - а(т° - Tr
= Wn-
X+ CLK
и оценить погрешность полученных приближённых значений тех же потоков.
Приближённые значения тепловых потоков, полученных при раз личном числе сегментов, приведены в табл. 2.8. Значения потоков, по лученные с использованием точного решения: 0° = 403,34 Вт/м2 и Ql =1596,66 Вт/м2
а
50 ---------------------------------- |
|
---------------- |
---------------- |
|
0 |
к/4 |
л/2 |
371/4 |
х |
б
Рис. 2.7. Приближённое решение уравнения AT*(jt)+ W(x)= 0 с граничными условиями 7’(дг)| = Т° и
= - « при использовании 4 (а) и 64 (б)
сегментов на отрезке [0,7t]
Таблица 2.8 Приближённые значения тепловых потоков на торцах
стержня при различном числе m сегментов
m |
0° |
& |
тп |
с?и |
of- |
2 |
403,341 |
1596,66 |
16 |
403,341 |
1596,66 |
4 |
403,340 |
1596,66 |
32 |
403,339 |
1596,66 |
8 |
403,340 |
1596,66 |
64 |
403,341 |
1596,67 |
На рис. 2.8, а показана зависимость от координаты х погрешности
А(дс)= Т(х)~ Т4(дг)= Т(х) - X Tit?, Ы •
В табл. 2.9 приведены значения погрешностей
S-.2- = \К ~ ТЛ = М - TmИ = max Z r<<Pf(jc)- Z 7’/<i)'W
[0,7t]
определённых с помощью точного решения Г(х) дифференциаль ного уравнения и сравнением двух последовательных приближён ных решений Тт и Т2т дифференциального уравнения при различ ных значениях числа т и 2т сегментов с использованием чебышёвской нормы. Эти же данные представлены в графическом виде на рис. 2.8, б.
Таблица 2.9
Погрешность 8Шприближённого решения дифференциального уравнения при различном числе т сегментов
171 |
И |
5т |
Sт2т |
т |
h |
8т |
^т.2т |
2 |
1,570796 |
0,316257 |
0,301400 |
16 |
0,196350 |
0,000859 |
0,000810 |
4 |
0,785398 |
0,051171 |
0,049650 |
32 |
0,098175 |
0,000104 |
0,000200 |
8 |
0,392699 |
0,006753 |
0,006610 |
64 |
0,049087 |
0,000013 |
0,000010 |
С применением формулы (В.1) приближенно определяется поря док погрешности численного решения дифференциального уравне ния разложением (2.9) по иерархической системе кусочно-непре рывных полиномов второго порядка. Для 5Шпорядок погрешности оценивается значением
Ът= (In 0,316257 - In0,000013)/(ln 1,570796 - In0,049087) = 2,91405.
Для 82тэта величина
bm2m = (In0,30140-In 0,000015)/(1п 1,570796-In 0,049087) = 2,85888.
А |
|
|
5/п> §2т |
|
|
|
0,04 |
|
|
0,1 |
|
|
|
0,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,001 |
|
|
|
|
|
|
0,0001 |
|
|
|
|
|
|
0,00001 |
|
|
|
0 |
к/4 |
к/2 Зл/4 х |
0,01 |
0,1 |
1 |
h |
|
|
а |
|
|
б |
|
Рис. 2.8. Погрешность приближённого решения дифференциально го уравнения, полученного на 4 сегментах с использованием проб ных кусочно-квадратичных функций (а); зависимость погрешно стей 5Ш(—о—) и §2m(-А-) приближённого решения
от длин сегментов (б)
Погрешность полученного решения дифференциального уравне ния методом Галёркина с использованием иерархической системы кусочно-непрерывных полиномов второго порядка в обоих случаях приближённо оценивается как величина 3-го порядка относительно длин А сегментов, т.е.
6*. |
|
|
8иЛи = Ё г <Ф(- J |
T; J = O (A 3). |
|
II |
/'=0 |
|| |
II i=0 |
/=0 |
|| |
В силу этого Ът |
|
0 при А -> 0 или m |
«>. Это позволяет утвер |
ждать, что последовательность приближённых решений дифферен циального уравнения, полученных аппроксимацией иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов второго порядка (2.9), сходится равномерно на отрезке [0, к].
Выполненные расчёты (см. табл. 2.9, рис. 2.8, б) показывают, что погрешности 8т и 8 ^ практически одинаково оценивают по грешность приближённого решения. Это означает, что при от сутствии точного решения, когда погрешность 5Шопределить невоз-
Рис. 2.9. Зависимость времени / выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки
можно, для контроля погрешности можно применять оценку 82^- На рис. 2.9 приведена зависимость времени t выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки.
Выводы
1.Процедура метода Галёркина использована для приближённо го решения дифференциального уравнения. Сформирована система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициен тов разложения искомого решения по иерархической системе кусоч но-непрерывных полиномов второго порядка.
2.Разработана вычислительная программа определения коэф фициентов разложения решения дифференциального решения по иерархической системе кусочно-непрерывных полиномов второго порядка.
3.С использованием разработанной программы определены ко эффициенты и построены приближённые решения дифференциаль ного уравнения для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 2.4).
4.Для указанной последовательности разложений определены оценки 8Ши &2Шпогрешности приближённого решения (см. табл. 2.5) для различного числа т сегментов.
5.Показано, что с уменьшением длины h сегментов погрешность приближённого решения дифференциального уравнения, определяе мая чебышёвской нормой, уменьшается (см. рис. 2.5, б). Установле
но, что погрешность аппроксимации имеет третий порядок относи тельно длины h сегментов (шага интегрирования).
6. Выполненное исследование показывает, что последователь ность приближённых решений дифференциального уравнения, полу ченных методом Галёркина при аппроксимации иерархической сис темой кусочно-непрерывных полиномов второго порядка, сходится равномерно на отрезке [0, к].
Для численного решения дифференциального уравнения методом Галёркина с использованием иерархической системы кусочно непрерывных полиномов второго порядка на разностной сетке, со держащей 64 сегмента, на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) тре буется 2,5-10-3 с.
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Уравнение нестационарной теплопроводности (концентрации или диффузии) - дифференциальное уравнение параболического типа - в общем случае имеет вид
cp7,M = V-[a.V7’(/,x)] + H'(/,x), |
(/,x )e[< U ]-n |
(3-1) |
||
с граничными условиями первого рода |
|
|
||
|
T{l,x) = Tl(t), |
[/,х]е[0,/4]-Г„ |
(3.2) |
|
либо второго рода |
|
|
|
|
|
A.V7’(/,x) n = -^(/), [*,х]е [0 ,/Jx r2, |
(3.3) |
||
либо третьего рода |
|
|
|
|
A.V7’(/,x)-n = -a[r(/,x)| |
-7Ц/)], |
[f,x]e [0,^]хГ3, |
(3.4) |
|
где Т{\) - |
искомое распределение температуры (концентрации веще |
|||
ства); / - |
время; X - коэффициент теплопроводности |
(диффузии); |
Щх) - мощность внутренних источников тепла (вещества); q - за данный поток тепла (вещества); п - вектор единичной нормали к по верхности; а - коэффициент теплоотдачи (поступления вещества) с поверхности; Too - температура окружающей среды (концентрация вещества в окружающей среде); П - область, занятая телом; Г - гра ница области £2, Г = Г, и Г2 и Г3.
Нестационарное температурное поле T(t9х) в тонком однород ном стержне стержне длиной L, теплоизолированном с боковой по верхности, описывается одномерным уравнением нестационарной
теплопроводности |
|
ср7,(/,дс) = [А.Г(/,*)]' + |
(3.5) |
Для единственности решения уравнения (3.5) задаются начальшле |
|
T{t,x\__0 = T{x) |
(3.6) |
и граничные условия первого рода |
|