книги / Численные методы. Ч. 5

Таблица 1.9

Матрица коэффициентов и правая часть системы линейных алгебраических уравнений для построения аппроксимации функции cos х иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов третьей степени

Значения коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, используемой для построения аппроксимации функции cos х иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов третьей степени, и правая часть этой системы приведены в табл. 1.9.

Результаты расчётов

Решением этой системы уравнений являются коэффициенты

а0 =0,999777, д1/2 = 0,070434, а\/2 = -0,00988, а, =0,706949,

разложения cos х по иерархической системе кусочно-непрерывных полиномов третьей степени. В табл. 1.10 приведены значения по­ грешности (1.1) аппроксимации функции cos* при различных значе­ ниях числа слагаемых в разложении (1.2). Эти же данные представ­ лены в графическом виде на рис. 1.18.

Таблица 1.10

Погрешность 8Шаппроксимации функции cos х иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов при различном числе т сегментов

С использованием формулы (В.1) приближенно определяется порядок погрешности аппроксимации функции cos* разложением (1.2). Для иерархической системы кусочно-непрерывных полиномов 3-й степени порядок погрешности аппроксимации оценивается зна­ чением (для прямолинейного участка)

Ь= (in 0,325789 • 10-2 - 1п0,557239 -10-7)/(In 1,570796 - In 0,098175) =

=3,95882.

Это показывает, что погрешность аппроксимации методом Галёркина функции cos* иерархической системой кусочно-непре­ рывных полиномов 3-й степени погрешности можно приближенно оценить как величину, пропорциональную четвёртой степени длины h сегментов, т.е.

8-= / - X a^ | = 0 (A4)-

В силу этого 5т ->0 при —>0 или т <». Это позволяет утвер­ ждать, что процесс аппроксимации функции COSJC иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов 3-й степени сходится равномерно на отрезке [0, я].

Выводы

1. Процедура метода Галёркина использована для аппроксима­ ции функции cos х иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов 3-й степени. Сформирована система линейных алгебраи­ ческих уравнений для определения коэффициентов разложения функции cos х по указанной системе функций.

2.Разработана вычислительная программа определения коэффи­ циентов разложения заданной функции по иерархической системе кусочно-непрерывных полиномов 3-й степени.

3.С использованием разработанной программы определены ко­ эффициенты и построены разложения функции COSJC по иерархиче­ ской системе кусочно-непрерывных полиномов 3-й степени для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины.

4.Для указанной последовательности разложений определены

погрешности аппроксимации заданной функции (см. табл. 1.10) с помощью иерархической системы кусочно-непрерывных полино­ мов 3-й степени.

5. Показано, что с уменьшением длин сегментов погрешность ап­ проксимации уменьшается (см. рис. 1.18). Установлено, что погреш­ ность аппроксимации пропорциональна четвёртой степени длин сег­ ментов (шагам интегрирования).

6. Выполненное исследование показывает, что процесс аппрок­ симации функции cos х иерархической системой кусочно-непрерыв­ ных полиномов 3-й степени сходится равномерно на заданном отрез­ ке [0, тс].

7. На компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) для аппрок­ симации функции cos х на разностной сетке, содержащей 64 сегмен­ та, с использованием иерархической системы кусочно-непрерывных полиномов второй степени требуется 3,8-10"2 с.

1.4.4. Кусочно-непрерывные полиномы 4-й степени

Задание. Аппроксимировать методом Галёркина на отрезке [0, к] функцию cos х с использованием иерархической системы ку­ сочно-непрерывных полиномов 4-й степени. Сформировать систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения этой функции по заданнной системе функций; разрабо­ тать вычислительную программу для определения коэффициентов

|(48-A 2)(cosA + cos2A)/2A-(5A2 -48)(sinA -sin 2A)/A2

- (cos A - 2 cos 2A + cos 3A)/A

-^1 + C O S ((/W -1)A)J/A

В приведённой системе уравнений выделены столбцы и строки, добавление которых, по сравнению с системой уравнений, приведён­ ной в подразд. 1.4.3, обусловлено включением функции

в разложение (1.2).

Алгоритм решения

Текст Программы 1.6 на языке Си описывает вычислительный ал­ горитм, реализующий процедуру аппроксимации функции COSJC с ис­ пользованием иерархической системы кусочно-непрерывных полино­ мов 4-й степени.

Программа 1.6

//Аппроксимация функции. Система иерархических пробных функций

//Полиномы четвёртой степени

//Neчисло сегментов

//С массив для коэффициентов

//F массив правых частей

//х массив координат узлов

for(k=0; k<4*Ne+l; k++)__________________________________________

for(k=0; k<Ne; k++)

{ if(k==0) { C[4*k][4*k]=h/3.0;

F [4*k] = (1.0-cos(h))/h;

2.0*cos(k*h)+cos((k+1)*h))/h;

}

C [4*k] [4*k+l]=C[4*k+l] [4*k]=h/3.0; C [4*k+l] [4*k+1]=8.0*h/15.0;

C [4*k] [4*k+2]=C[4*k+2] [4*k]=-h*h/30.0; C [4*k+l] [4*k+2]=C[4*k+2] [4*k+l]=0.0;

C [4*k+2] [4*k+2]=2.0*h*h*h/105.0;

C [4*k+2] [4*k+4]=C[4*k+4] [4*k+2]=h*h/30.0; C[4*k+4] [4*k]=C[4*k] [4*k+4]=h/6.0; C[4*k+l][4*k+4]=C[4*k+4][4*k+l]=h/3.0;

C [4*k] [4*k+3]=C[4*k+3] [4*k]=h*h*h/120.0;

C [4*k+l] [4*k+3]=C[4*k+3] [4*k+l]=h*h*h/105.0; C [4*k+2] [4*k+3]=C[4*k+3] [4*k+2]=0.0;

C [4*k+3] [4*k+3]=C[4*k+3] [4*k+3]=h*h*h*h*h/2520.0; C[4*k+4] [4*k+3]=C[4*k+3] [4*k+4]=h*h*h/l20.0;

F[4*k+l]=-4.0*(cos(k*h)+cos((k+1)*h))/h - 8 .0*(sin(k*h)- sin((k+1)*h))/ (h*h);

F [4*k+2] = (2.0*h*h-24.0)*(cos(k*h)-cos((k+1)*h))/ (h*h) + 12 . 0*(sin(k*h)+sin((k+1)*h))/h;

F [4*k+3] = (48.0-h*h)* (cos(k*h)+cos((k+1)*h))/ (2.0*h)- (5.0*h*h-

48 . 0)*(sin(k*h)-sin((k+1)*h))/ (h*h);

}

C[4*Ne][4*Ne]=h/3.0;

F[4*Ne]=-(1.0+cos((Ne-1)*h))/h;

Ь _______________________________________________________

Реализация алгоритма

Заданный отрезок разбивается на четыре сегмента равной длины

[0,Jt]=G, UG2UG3UG4,

где G, =[0,л/4], G2 =[тс/4 ,л/2], G3 =[л/2,З д/4] и G4 =[Зл/4 ,д]. Заданная функция cos х представляется разложением (1.2). Соотношения (1.3) принимают вид системы линейных алгебраических уравнений

лл